Fattore di Lorentz

Il fattore di Lorentz in Relatività è un coefficiente adimensionale che regola le leggi della Relatività Ristretta e che sancisce i limiti delle velocità rispetto alla velocità della luce, oltre a delineare i confini teorici tra l'utilizzo delle leggi della Meccanica Classica e le leggi relativistiche.

 

In questa lezione di approfondimento vogliamo studiare nel dettaglio il fattore di Lorentz \gamma, con cui abbiamo già avuto a che fare nelle precedenti lezioni e nelle leggi relativistiche già studiate. Come vedremo tra un istante, la definizione del fattore di Lorentz e la scrittura della relativa formula non sono frutto del caso.

 

Il fattore \gamma compare per la prima volta nelle trasformazioni di Lorentz e viene definito per semplificare la scrittura delle formule. In realtà il suo significato e la sua utilità non sono puramente notazionali: dall'analisi delle proprietà del fattore di Lorentz e dal suo grafico scopriremo come esso condensi buona parte della teoria della Relatività Ristretta. ;)

 
 
 

Il fattore di Lorentz nella relatività ristretta

 

L'elemento caratteristico che contraddistingue le trasformazioni di Lorentz e molte formule legate ai fenomeni relativistici (come ad esempio le leggi di composizione relativistica delle velocità e di composizione relativistica delle accelerazioni) è il fattore di Lorentz, che viene sempre indicato con la lettera greca (\gamma).

 

Riscriviamo qui la formula del fattore di Lorentz che ormai ben conosciamo:

 

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

 

In questa formula è racchiuso il senso di molte riflessioni su fenomeni relativistici, quali ad esempio la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze. Comprendere bene le caratteristiche del fattore di Lorentz è un passo fondamentale verso la comprensione della Relatività Ristretta.

 

Proprietà e caratteristiche del fattore di Lorentz

 

Proviamo a vedere come si comporta il fattore di Lorentz e quali sono le principali caratteristiche che lo contraddistinguono.

 

 

1) La prima cosa da osservare è che il fattore di Lorentz non ha unità di misura: si dice pertanto che è un coefficiente adimensionale.

 

È piuttosto facile verificarlo, infatti nell'argomento della radice compare il rapporto tra due velocità al quadrato, ognuna delle quali viene misurata normalmente in metri al secondo. Si tratta dunque di un rapporto tra due grandezze omogenee con le stesse unità di misura, che quindi si possono semplificare. Non essendoci altre grandezze presenti nella formula, ecco che \gamma rimane totalmente sprovvisto di qualunque unità di misura.

 

 

2) Il secondo aspetto importante è che il fattore di Lorentz è una funzione della velocità relativa v di un sistema di riferimento in moto rettilineo uniforme rispetto a un altro.

 

Se consideriamo un sistema che si muove con velocità costante v rispetto a un altro, avremo uno specifico valore del fattore di Lorentz; ma se volessimo studiare come si comporta il fattore di Lorentz al variare dei valori di velocità v, potremmo intenderlo come una funzione

 

\gamma=\gamma(v)

 

dove la velocità è la variabile indipendente. Non dimentichiamo che l'unico altro termine che compare nella formula del fattore di Lorentz è la velocità della luce nel vuoto c, la quale è costante in accordo con il secondo postulato della relatività ristretta. Se volete, potete immaginare di sostituire la velocità v con la variabile x e il fattore di Lorentz \gamma con la variabile y, ottenendo così l'espressione analitica della funzione in una forma più familiare.

 

Pensando a \gamma come a una funzione della velocità, possiamo tracciare il suo grafico nel piano cartesiano:

 

 

Fattore di Lorentz

Grafico del fattore di Lorentz come funzione γ=γ(v).

 

 

3) Dal grafico si possono evincere diverse proprietà importanti che possono essere altresì dedotte analiticamente.

 

Analizziamo per prima cosa il dominio della funzione, ovvero l'insieme dei valori che può assumere la variabile indipendente v per far sì che la funzione sia definita. Sappiamo che l'argomento di una radice quadrata deve essere maggiore o uguale a zero; inoltre un denominatore deve sempre essere diverso da zero. Mettendo a sistema le due condizioni si ottiene che l'argomento della radice deve essere maggiore di zero:

 

1 - \frac{v^2}{c^2}>0\ \ \to\ \ \frac{c^2 - v^2}{c^2} > 0

 

Eliminiamo il denominatore, che è ovviamente positivo, e passiamo alla disequazione di secondo grado

 

c^2 - v^2 > 0\ \ \to\ \ v^2 < c^2

 

Poiché v indica il modulo della velocità, assume valori non negativi, cosicché il dominio della funzione fattore di Lorentz è dato da

 

0\leq v<c\ \ \to\ \ \mbox{Dom}(\gamma)=[0,c)

 

Ecco dunque che il fattore di Lorentz ha senso solo se le velocità sono inferiori a quella della luce nel vuoto. Se infatti la velocità v fosse esattamente uguale a c, non sarebbe possibile calcolare il valore di \gamma perché avremmo un rapporto con un denominatore nullo. Se addirittura pensassimo di superare la velocità della luce nel vuoto, allora otterremmo una funzione del tutto priva di senso in cui comparirebbe una radice quadrata con argomento negativo, che è impossibile da calcolare nel campo dei numeri reali.

 

Supponiamo ad esempio di avere un corpo che rispetto a noi viaggi a una velocità doppia rispetto a quella della luce (v=2c). Qual è il corrispondente valore del fattore di Lorentz?

 

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(2c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4c^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 4}} = \frac{1}{\sqrt{-3}}

 

In conclusione, se la velocità di un corpo raggiunge o supera la velocità della luce nel vuoto, \gamma perde di significato. Il fattore di Lorentz pone quindi un limite massimo alla velocità che un corpo materiale può raggiungere: come abbiamo visto analizzando la formula, non è possibile nè raggiungere nè superare la velocità della luce nel vuoto. Il grafico del fattore di Lorentz in effetti rispetta pienamente questa caratteristiche perché in corrispondenza di valori uguali o maggiori di c non è definito.

 

 

4) Come si comporta il fattore di Lorentz per valori prossimi alla velocità della luce nel vuoto e per valori molto inferiori ad essa?

 

Il grafico mostra che il fattore di Lorentz assume valori sempre più grandi che tendono all'infinito. Ci accorgiamo di questo comportamento se facciamo tendere a c la velocità impostando il seguente limite da sinistra.

 

 \lim_{v \to c^-}{\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}} = \lim_{v\to c^-}\frac{1}{\sqrt{\frac{c^2-v^2}{c^2}}}=

 

Applichiamo la regola per le frazioni di frazioni, la regola del prodotto somma per differenza e successivamente l'algebra di infiniti e infinitesimi

 

=\lim_{v\to c^-}\sqrt{\frac{c^2}{c^2-v^2}}=\lim_{v\to c^-}\sqrt{\frac{c^2}{(c+v)(c-v)}}=+\infty

 

Ricaviamo quindi

 

\lim_{v \to c^-}{\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}} =+\infty

 

dove il risultato è dato dal rapporto tra una costante positiva e un infinitesimo di segno positivo \frac{c^2}{2c\cdot 0^+}.

 

Abbiamo scritto il limite sinistro per v che tende a c perché la velocità di un corpo può solo assumere valori minori di c. In corrispondenza del valore c abbiamo quindi un asintoto verticale.

 

Se invece consideriamo un sistema di riferimento fermo rispetto ad un altro, allora la sua velocità è nulla (v=0) e il fattore di Lorentz assume il suo valore minimo, ossia 1, come si può ben vedere dal grafico.

 

\gamma(0)=\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{0}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1

 

di conseguenza

 

\min_{v\in [0,c)}\gamma(v)=\gamma(0)=1

 

Trattandosi di una funzione continua su un intervallo, un noto corollario del teorema dei valori intermedi garantisce che il fattore di Lorentz assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e l'estremo superiore, cosicché l'immagine della funzione fattore di Lorentz è

 

\mbox{Im}(\gamma)=[1,+\infty)

 

Nel caso in cui avessimo un corpo in moto a una velocità molto inferiore a quella della luce, il fattore di Lorentz varrebbe comunque circa 1.

 

v<<c\ \ \implies\ \ \gamma(v)\simeq 1

 

 

Esempio (fattore di Lorentz per velocità molto inferiori a quella della luce)

 

Tenete presente che le velocità alle quali siamo abituati quotidianamente sono bassissime rispetto a quella della luce: se siete scettici al riguardo, provate a calcolare il fattore di Lorentz per un treno ad alta velocità che viaggia rispetto a voi alla velocità di 300 km/h. Ricordiamo che la velocità della luce nel vuoto vale 3·108 m/s.

 

Dapprima convertiamo i km/h in m/s

 

v=300\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}=(300:3,6)\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\simeq 83,3\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

per cui

 

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \simeq \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\left( 83,3\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \right)^2}{ \left( 3 \cdot 10^{8}\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \right) ^2}}} \simeq 1,0000000000004

 

Dall'esempio di evince che, per fare in modo che il fattore di Lorentz si discosti sensibilmente dal suo valore minimo, è necessario che la velocità sia decisamente maggiore di quella di un treno.

 

 

Altro esempio (velocità noto il fattore di Lorentz)

 

Facciamo un altro semplice calcolo per avere le idee più chiare. Vogliamo stabilire a quale velocità deve viaggiare il treno affinché il fattore di Lorentz \gamma sia uguale a 2.

 

Impostiamo il calcolo considerando v come incognita:

 

 \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2

 

Non dimentichiamo che dobbiamo ragionare con v\in [0,c), per cui i conti scivolano via senza particolari intoppi:

 

\frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 4\ \ \to\ \ \frac{1}{\frac{c^2 - v^2}{c^2}} = 4\ \ \to\ \ \frac{c^2}{c^2 - v^2} = 4\ \ \to \\ \\ \\  c^2 = 4 \left( c^2 - v^2 \right)\ \ \to\ \ c^2 = 4c^2 - 4v^2\ \ \to\ \ 4v^2 = 4c^2 - c^2\ \ \to \\ \\ \\ \to 4v^2 = 3c^2\ \ \to\ \ v^2 = \frac{3}{4}c^2\ \ \to\ \ v = \frac{\sqrt{3}}{2}c \simeq 0,87 \ c

 

Per fare in modo che il fattore di Lorentz sia uguale a 2, il treno dovrebbe viaggiare a una velocità pari a circa l'87% della velocità della luce. Da qui dovrebbe essere chiaro ciò che si intende quando si dice che i fenomeni relativistici iniziano a farsi notare solo quando le velocità sono prossime a quelle della luce.

 

 


 

Tenete sempre bene a mente le caratteristiche del fattore di Lorentz: vi consentiranno di comprendere al meglio qualunque legge della relatività ristretta che coinvolge \gamma.

 

Nella lezione successiva parleremo dei muoni, non perdetevela! Per tutto il resto, esempi, esercizi svolti e spiegazioni, non esitate perché potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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