Muoni

I muoni sono particelle che cadono sulla superficie terrestre con velocità relativistiche e che percorrono distanze apparentemente non percorribili nel loro tempo di decadimento medio, dando così luogo a una presunta incongruenza che si risolve utilizzando le leggi di dilatazione dei tempi e di contrazione delle lunghezze.

 

Abbiamo già studiato le leggi base della Relatività Ristretta e abbiamo visto che esse, per velocità molto inferiori a quelle della luce, si riducono alle usuali leggi della Meccanica con cui ci confrontiamo quotidianamente. Ma se volessimo un esempio di fenomeno naturale che richiede tassativamente l'applicazione delle leggi relativistiche? I muoni forniscono un esempio perfetto per i nostri scopi.

 

Dopo aver spiegato brevemente cosa sono i muoni e quali sono le principali proprietà fisiche che li contraddistinguono, con particolare riferimento al tempo di decadimento medio, qui di seguito ne analizzeremo il comportamento e vedremo che esso implica evidenti incompatibilità fisiche con le leggi della Meccanica Classica, i quali non possono essere risolti senza l'applicazione della teoria della Relatività Ristretta.

 
 

Un approccio concreto alla Relatività Ristretta: i muoni

 

Il problema principale che si deve affrontare quando si parla di Relatività Ristretta è, per così dire, la sua impercettibilità. Nel mondo di tutti i giorni non c'è nulla che ci faccia pensare a fenomeni relativistici quali la contrazione delle lunghezze o la dilatazione dei tempi. In effetti ricordiamoci che tutti questi fenomeni diventano percepibili solo quando abbiamo a che fare con velocità prossime a quella della luce, e lo abbiamo compreso a fondo quando abbiamo analizzato le proprietà del fattore di Lorentz. Non avendo la possibilità di osservare alcun fenomeno che coinvolga velocità del genere, la relatività ristretta ci appare strana e decisamente poco familiare.

 

Esistono però alcuni fenomeni naturali per spiegare i quali la Relatività Ristretta è fondamentale e i muoni, in tal senso, forniscono un esempio perfettamente calzante. Tutti i fisici delle particelle sanno quanto siano importanti per i loro studi la contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi, ed è proprio di questi fenomeni che si ha una chiara evidenza quando si studiano i muoni, particolari particelle subatomiche che si creano in atmosfera a causa dei raggi cosmici.

 

Cosa sono i muoni

 

Il fenomeno dei muoni funziona pressapoco nel modo seguente. Dallo spazio arrivano particelle (prevalentemente protoni) che vengono dette raggi cosmici primari; una volta entrati nell'atmosfera terrestre, i raggi cosmici interagiscono con le molecole dell'atmosfera formando così altre particelle (raggi cosmici secondari) che proseguono il proprio viaggio verso il suolo, interagendo a loro volta con le molecole dell'atmosfera e creando altre particelle in un processo a cascata. Si crea così una pioggia di particelle che ci investe ogni giorno. Non crediate che si tratti di fenomeni sporadici, tutt'altro: si stima infatti che ogni secondo ogni centimetro quadrato della superficie terrestre sia raggiunto da una particella. Questo significa che anche noi quotidianamente siano attraversati da raggi cosmici senza rendercene conto.

 

Dei raggi cosmici secondari fanno parte anche i muoni, particelle simili agli elettroni ma con una massa circa 206 volte maggiore. Per avere un'idea, basta ricordare che la massa dell'elettrone è pari a m_e=9,109383\cdot 10^{-31}\ \mbox{kg}, per cui la massa del muone in kg è data da

 

m_{\mu}=1,8835315\cdot 10^{-28}\mbox{ kg}

 

I muoni sono particelle molto instabili che non vivono a lungo. Più precisamente il tempo di decadimento di un muone a riposo, ossia la vita media a riposo di un muone misurata in un sistema di riferimento in cui è fermo, è pari a 2,2 μs circa. In altri termini un muone decade mediamente in 2,2 microsecondi, cioè due milionesimi di secondo, dando origine ad altre particelle.

 

\Delta t_0=2,19704\cdot 10^{-6}\mbox{ s}

 

Il mistero dei muoni e leggi della Relatività Ristretta

 

L'aspetto interessante che chiama in causa la Relatività Ristretta è che i muoni, per via del breve tempo di decadimento medio che li caratterizza, non dovrebbero avere tempo a sufficienza per raggiungere il suolo terrestre a partire dal punto in cui si sono formati.

 

Più precisamente: supponiamo che un muone si sia originato in atmosfera ad un'altitudine di 4 chilometri e che la sua velocità sia pari a 0,99 volte la velocità della luce nel vuoto (ebbene sì, i muoni viaggiano a velocità vicinissime a quella della luce nel vuoto). Quanto tempo impiegherebbe il muone a percorrere una distanza s=4\mbox{ km} che lo separa dal suolo viaggiando a 0,99\ c?

 

 \Delta t = \frac{s}{v}\ \ \to\ \ \Delta t=\frac{4000\mbox{ m}}{0,99 \cdot 3 \cdot 10^{8}\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}=1,35 \cdot 10^{-5}\mbox{ s}

 

È chiaro quindi che il muone avrebbe bisogno di un tempo maggiore del suo tempo di decadimento medio, e ne concludiamo che un muone che si origina 6 km di quota non potrebbe raggiungere il suolo. Da qui nasce quello che potremmo chiamare il mistero dei muoni: la loro vita media è più breve del tempo necessario per raggiungere il suolo, eppure ci arrivano. Perché?

 

Effetto della dilatazione dei tempi sui muoni

 

La velocità del muone è vicinissima a quella della luce per cui gli effetti relativistici sono molto evidenti e non vanno trascurati per alcun motivo. Abbiamo scritto in precedenza che un muone vive mediamente per \Delta t_0=2,2\ \mu\mbox{s} e non dobbiamo assolutamente dimenticare che il tempo di decadimento a riposo del muone è misurato in un sistema di riferimento in cui il muone è a riposo.

 

In parole povere, noi vedremmo vivere il muone per un intervallo di tempo di 2,2 microsecondi se il muone fosse fermo rispetto a noi, ma così non è. Poiché il muone rispetto alla Terra si muove con una certa velocità, il tempo della sua vita media risulta dilatato per un osservatore sulla Terra, che vede così il muone vivere più a lungo.

 

Calcoliamo allora il tempo dilatato con la legge della dilatazione dei tempi, tenendo in considerazione i dati forniti in precedenza.

 

 \Delta t = \gamma \Delta t_{0}

 

Ricordiamo che \Delta t è il tempo dilatato di un osservatore sulla Terra, \Delta t_0 è il tempo proprio che in questo caso coincide con la vita media a riposo del muone e \gamma è il fattore di Lorentz.

 

 \Delta t = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} \Delta t_{0} =\\ \\ \\ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0,99\ c)^{2}}{c^{2}}}} \cdot \left(2,2 \cdot 10^{-6} \mbox{ s}\right) \simeq 1,56 \cdot 10^{-5}\mbox{ s}

 

Secondo l'osservatore sulla Terra il muone vive dunque circa 7 volte più a lungo della vita media a riposo, un intervallo di tempo sufficiente per fare in modo che il muone raggiunga la superficie terrestre e sia rilevato prima di decadere. Le leggi della Relatività Ristretta risolvono quindi il mistero dei muoni e, per l'osservatore fermo e solidale con la superficie terrestre, la risoluzione del problema risiede nella corretta misurazione del tempo di decadimento con la legge di dilatazione dei tempi.

 

Senza le leggi relativistiche l'arrivo del muone sulla superficie ci apparirebbe impossibile.

 

Nel sistema di riferimento del muone

 

Cambiamo punto di vista e immaginiamo di essere un muone; sappiamo che la nostra vita dura 2,2 μs e ci chiediamo se ce la faremo mai a raggiungere la superficie terrestre prima del nostro decadimento. La distanza di 4 km tra la superficie e il punto in cui il muone si è generato è la distanza misurata da un osservatore sulla Terra, ma non è la distanza che deve percorrere il muone nel suo sistema di riferimento.

 

Se ci collochiamo nel sistema di riferimento solidale al muone è la Terra a muoversi a una velocità pari a 0,99\ c. In accordo con la legge di contrazione delle lunghezze, il muone vede la lunghezza contratta secondo la legge:

 

 L = \frac{L_{0}}{\gamma}

 

e di conseguenza misureremo una distanza da percorrere inferiore a 4 km:

 

L= \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} L_{0} = \sqrt{1 - \frac{(0,99\ c)^{2}}{c^{2}}} \cdot (4000\mbox{ m})\simeq 564\mbox{ m}

 

564 metri, vale a dire circa 1/7 della lunghezza a riposo misurata dall'osservatore sulla Terra. Nel sistema di riferimento del muone il tempo necessario a percorrere tale distanza è

 

 \Delta t = \frac{s}{v}\ \ \to\ \ \Delta t = \frac{564 \mbox{ m}}{0,99 \cdot 3 \cdot 10^{8} \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}} = 1,9 \cdot 10^{-6} \mbox{ s}

 

Così, dal punto di vista del muone, possiamo affermare che riuscirà a raggiungere la superficie terrestre perché il viaggio ha una durata inferiore rispetto alla sua vita media. Approcciando il problema dal punto di vista dell'osservatore sulla Terra o dal punto di vista del muone e il risultato è lo stesso.

 

 


 

Nelle lezioni successive tratteremo la nozione di simultaneità degli eventi e il principio di causalità; nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti o di esempi in generale potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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