Relatività Ristretta vs Meccanica Classica

Le leggi della Relatività Ristretta sviluppano e correggono le consuete equazioni e formule della Meccanica Classica, e non solo: a ben vedere stravolgono completamente le nozioni di spazio e tempo, stabilendo che essi sono concetti relativi e non assoluti.

 

Abbiamo ampliato il nostro bagaglio di teoria della Relatività Ristretta passando dalla cinematica relativistica alla dinamica relativistica, e nel farlo abbiamo analizzato costantemente le analogie e (soprattutto) le differenze tra le leggi relativistiche e quelle classiche. Prima di studiare la Relatività Ristretta però ce la siamo sempre cavata con le usuali leggi della Cinematica e della Dinamica, e lo stesso si può dire a grandi linee per i fisici fino ai primissimi studi dell'Elettromagnetismo.

 

È giunto per noi il tempo di fare un bilancio: vogliamo capire una volta per tutte quali leggi possiamo salvare dalla Meccanica Classica, quando è lecito considerare le leggi classiche come una valida approssimazione di quelle relativistiche e perché sia possibile farlo.

 
 

Leggi della Relatività Ristretta nella vita quotidiana

 

Ripensiamo per un istante ai fenomeni di dilatazione dei tempi e di contrazione delle lunghezze: quando si parla di Relatività Ristretta ci si scontra con leggi estremamente controintuitive e destabilizzanti, che scuotono le nostre più basilari nozioni di spazio e tempo. Impariamo così che lo spazio e il tempo sono relativi e che dipendono sempre dallo stato di moto di un sistema di riferimento rispetto a un altro. Essi non sono più due grandezze scorrelate, bensì costituiscono un'unica entità definita spazio-tempo.

 

Poi però quando ci guardiamo attorno e osserviamo fenomeni tipici della vita di tutti i giorni, le leggi della Relatività Ristretta sembrano non esistere. Se misuriamo la lunghezza di un'auto parcheggiata in strada e poi cerchiamo di misurare la lunghezza della medesima auto mentre viaggia a una velocità di 100 km/h rispetto a noi, otteniamo lo stesso identico valore. Eppure le leggi della Relatività Ristretta ci dicono che, se l'auto si muove rispetto a noi con una certa velocità, la sua lunghezza si contrae.

 

Immaginiamo di dire a un nostro amico che il tempo per viaggiare da Torino a Milano in treno sia di 43 minuti, così com'è scritto nella tabella degli orari. Il nostro amico compra il biglietto e parte. Che cosa pensereste del vostro amico se, al suo arrivo, ci dicesse che ci siete sbagliati e che per lui in realtà il viaggio è durato solo 20 minuti? Penseremmo sicuramente che il suo orologio non funziona: nessuno penserebbe al fenomeno della dilatazione dei tempi, per il quale il tempo dipende dallo stato di moto e rallenta man mano che ci si muove con velocità prossime alla velocità della luce.

 

Perché i fenomeni relativistici non sono percepibili nel nostro mondo quotidiano?

 

Tutti i fenomeni previsti dalla Relatività Ristretta cominciano ad essere misurabili, e dunque rilevabili, solo quando le velocità si avvicinano al valore della velocità della luce. Se volete osservare un treno con una lunghezza contratta non è sufficiente che esso viaggi a 300 km/h. A una tale velocità il treno in effetti si contrae per un osservatore che si trova fermo sulla banchina della stazione, ma la domanda è: di quanto? Beh, praticamente di un valore così piccolo da non essere misurabile. La contrazione diverrebbe ben più evidente se il treno viaggiasse a velocità nettamente superiori, ad esempio a una velocità pari alla metà di quella della luce nel vuoto. La stessa cosa si può dire per il fenomeno della dilatazione dei tempi.

 

Badate bene a non fraintendere ciò che abbiamo appena scritto. L'esempio serve a mettere in luce che le leggi della Relatività Ristretta valgono sempre e comunque e che, da un punto di vista puramente teorico, le leggi della Relatività Galileiana sono sbagliate. Ciononostante, per valori della velocità di molto inferiori rispetto a quella della luce, le leggi relativistiche producono differenze non rilevabili che possono essere trascurate. Per velocità di molto inferiori rispetto alla velocità della luce le leggi relativistiche si riducono a quelle classiche a meno di differenze del tutto trascurabili.

 

Possiamo inoltre affermare che tutte le leggi della Relatività Ristretta hanno senso e sono indispensabili ogni volta che abbiamo a che fare con corpi che si muovono a velocità prossime a quella della luce. Nel nostro mondo quotidiano non abbiamo modo di osservare corpi così veloci: anche gli aerei supersonici in confronto alla luce sono praticamente fermi. Ecco che allora tutti gli strani fenomeni relativistici scompaiono ai nostri occhi.

 

 

Impercettibilità dei fenomeni relativistici nella vita quotidiana in ottica matematica 

 

Da un punto di vista più matematico l'impercettibilità delle leggi relativistiche nella vita quotidiana dipendono dal fattore di Lorentz \gamma, che per basse velocità assume un valore prossimo a 1. Vediamo di rianalizzare le principali formule della Relatività Ristretta in tal senso.

 

Contrazione delle lunghezze nella vita quotidiana

 

Pensiamo alla formula della contrazione delle lunghezze:

 

 L = \frac{L_{0}}{\gamma}

 

Se sostituiamo a \gamma il valore 1 scopriamo che la lunghezza propria e la lunghezza contratta coincidono

 

v<<c\ \ \implies\ \ \gamma\simeq 1\ \ \implies\ \ L_0\simeq L

 

e che non vi è dunque alcuna sostanziale differenza tra la lunghezza di un'auto misurata da ferma e la lunghezza della stessa auto quando la vediamo viaggiare per strada.

 

Dilatazione dei tempi nella vita quotidiana

 

La stessa cosa si può vedere anche nella formula della dilatazione dei tempi.

 

 \Delta t = \gamma \Delta t_{0}

 

Anche qui, se sostituiamo a \gamma il valore 1, gli intervalli di tempo tra il verificarsi di due eventi misurati in due diversi sistemi di riferimento inerziali diventano uguali

 

v<<c\ \ \implies\ \ \gamma\simeq 1\ \ \implies\ \ \Delta t\simeq \Delta t_0

 

Il tempo in Meccanica Classica può essere tranquillamente considerato come un parametro assoluto, ossia indipendente dallo stato di moto e quindi uguale in qualunque sistema di riferimento inerziale.

 

Trasformazioni di Lorentz nella vita quotidiana

 

Anche le trasformazioni di Lorentz non sono più indispensabili quando abbiamo a che fare con corpi che si muovono a basse velocità:

 

\begin{cases} x' = \gamma(x - vt) \\ y' = y  \\ z' = z \\ t' = \gamma\left(t - \frac{v}{c^{2}}x\right) \end{cases}

 

Se consideriamo velocità molto più piccole rispetto a quelle della luce allora il fattore di Lorentz \gamma, come abbiamo già visto, si approssima a 1 e il rapporto \frac{v}{c^2} che compare nella quarta equazione è prossimo a zero, per cui le trasformazioni di Lorentz si riducono alle trasformazioni di Galileo e la grande novità della relatività del tempo (la quarta equazione) scompare.

 

v<<c\ \ \implies\ \ \gamma\simeq 1\ \ \implies\ \ \begin{cases} x' \simeq x - vt \\ y' = y  \\ z' = z \\ t' \simeq t \end{cases}

 

 

Massa relativistica nella vita quotidiana

 

Infine, pensiamo ancora alla massa relativistica: ricordiamoci che la relatività ristretta stabilisce che la massa non è una costante, bensì una funzione della velocità che cambia il proprio valore al variare della velocità con cui il corpo si muove, secondo la legge:

 

 m = \gamma m_ {0}

 

dove ricordiamo che con m_0 si indica la massa a riposo, cioè la massa di un corpo misurata in un sistema di riferimento in cui esso è fermo. Se il corpo si muove rispetto ad un sistema di riferimento, la sua massa cresce tendendo all'infinito man mano che la velocità si avvicina a c. A basse velocità però il fattore di Lorentz si approssima a 1 e così si osserva che

 

v<<c\ \ \implies\ \ \gamma\simeq 1\ \ \implies\ \ m\simeq m_0

 

Nei fenomeni non relativistici la massa di fatto non cambia e rimane uguale alla massa a riposo. Ecco perché non abbiamo mai modo di dire che un oggetto in movimento diventa effettivamente più massivo; di fatto questo accade ma la variazione della sua massa è talmente ridotta da essere praticamente irrilevante.

 

 


 

Lo studio della Relatività Ristretta è quasi giunto al termine, ci mancano solamente alcuni argomenti per chiudere il quadro della teoria. Nella lezione successiva affronteremo lo studio degli urti relativistici. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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