Trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz, introdotte nel 1904 e dette anche trasformazioni di Lorentz-Fitzgerald, sono leggi di trasformazione della posizione e del tempo che esprimono il cambiamento delle coordinate spazio-tempo tra due sistemi di riferimento inerziali, e sono alla base della teoria della relatività ristretta.

 

Entriamo subito nel cuore della teoria della relatività di Einstein e trattiamo le trasformazioni di Lorentz, ossia le formule che correggono ed estendono le leggi di trasformazione di Galileo. Come vedremo, pur racchiudendo le trasformazioni galileiane come caso particolare, esse hanno introdotto la nozione di relatività del tempo, un concetto assolutamente impensabile nella meccanica classica.

 

Ci limiteremo a trattare le trasformazioni di Lorentz per la posizione e il tempo in riferimento a due sistemi inerziali che traslano lungo una sola coordinata, che è di norma l'unico caso proposto alle scuole superiori e all'università. Ometteremo quindi la generalizzazione al caso di una traslazione lungo le tre coordinate, essendo ben più impegnativa.

 

Leggi delle trasformazioni di Lorentz

 

Le leggi relativistiche che sostituiscono le trasformazioni di Galileo vengono chiamate trasformazioni di Lorentz, dal nome del fisico che le scrisse nel 1904 quando era alla ricerca di trasformazioni tali per cui le leggi dell'elettromagnetismo risultassero invarianti.

 

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali, il primo S e il secondo S', dunque tali da essere in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro. Più precisamente supponiamo che:

 

- i due sistemi presentino gli assi x e x' coincidenti;

 

- il sistema S' si muova con velocità costante v rispetto al primo nella direzione dell'asse x=x', per cui gli assi y// y' e z// z' siano paralleli durante il moto;

 

- le due origini O,O' coincidano al tempo t=t'=0.

 

Attenzione: a differenza della relatività galileiana ora non stiamo più considerando il tempo come una coordinata assoluta, ma stiamo presupponendo che un evento descritto dalle tre coordinate spaziali x, y e z del sistema S al tempo t sia visto da un osservatore solidale col sistema S' nelle coordinate x', y' e z' in un tempo t' diverso.

 

Supponiamo infine che un raggio di luce venga emesso lungo la direzione comune x.

 

Date queste premesse, ecco come si presentano le formule delle trasformazioni di Lorentz:

 

\begin{cases}x'=\displaystyle\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\displaystyle\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}\end{cases}

 

Se si definisce un coefficiente adimensionale (ossia privo di unità di misura) \gamma, chiamato fattore di Lorentz, nel modo seguente

 

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}

 

dove \beta=\frac{v}{c} è il fattore che esprime il rapporto tra le velocità, allora le trasformazioni di Lorentz possono essere riscritte nella forma più compatta

 

 \begin{cases} x' = \gamma (x - vt) \\ y' = y  \\ z' = z \\ t' = \gamma \left(t - \frac{v}{c^{2}}x \right) \end{cases}

 

Trasformazioni di Lorentz e relatività del tempo

 

Se il primo postulato della relatività ristretta è vero, allora tutte le leggi della Fisica valide in un sistema di riferimento inerziale devono essere invarianti rispetto alle trasformazioni di Lorentz.

 

La grande rivoluzione di tali trasformazioni rispetto a quelle galileiane riguarda la presenza della coordinata temporale: le trasformazioni di Lorentz stabiliscono che il tempo non è assoluto, ossia non è uguale per tutti gli osservatori, e che dipende dal sistema di riferimento in cui ci si trova. In parole povere le trasformazioni di Lorentz hanno introdotto il concetto di relatività del tempo.

 

Il tempo, come lo spazio, è relativo e questo è un concetto completamente assente nella meccanica classica. E non finisce qui: è importante notare che il tempo t' misurato in S' non dipende solo dal tempo t misurato in S, ma anche dalla posizione x.

 

Trasformazioni di Lorentz e postulati della relatività ristretta

 

Grazie alle trasformazioni di Lorentz scompare l'apparente incompatibilità tra i due postulati della teoria della relatività ristretta. A differenza di quanto accadeva con le trasformazioni di Galileo, infatti, ora la legge di propagazione della luce rimane la medesima in tutti i sistemi di riferimento inerziali e si può dimostrare facilmente.

 

Sappiamo che un raggio di luce si propaga in linea retta (a patto che si possano trascurare le distorsioni spazio-temporali previste della relatività generale) a velocità costante, pertanto il suo è un moto rettilineo uniforme descritto dalla semplice legge oraria:

 

x=ct

 

dove con c indichiamo la velocità della luce nel vuoto. Qui abbiamo usato le coordinate x,t riferite al sistema S. Proviamo ora a sostituire nelle trasformazioni di Lorentz la x con ct:

 

\\ x' = \gamma (ct - vt)\\ \\ t' = \gamma \left( t - \frac{v}{c^2} ct \right) = \gamma \left( t - \frac{v}{c}t \right)

 

dove nella seconda equazione abbiamo semplificato la c. Consideriamo il rapporto tra le due equazioni

 

 \frac{x'}{t'} = \frac{\gamma (ct - vt)}{\gamma \left( t - \frac{v}{c}t \right)} = \frac{t(c-v)}{ t \left( 1 - \frac{v}{c}\right)} = \frac{c-v}{\frac{c-v}{c}} = c

 

Dunque, nel sistema di riferimento S' la luce si propaga secondo la legge oraria:

 

x'=ct'

 

che ha esattamente la stessa forma della legge oraria del sistema S, in perfetto accordo con il primo postulato, secondo cui le leggi della fisica devono avere la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Inoltre si può vedere che la luce si propaga con la stessa velocità c in entrambi i sistemi di riferimento, come stabilito dal secondo postulato.

 

Da questa breve ma istruttiva dimostrazione si capisce come le trasformazioni di Lorentz abbiano permesso di superare l'apparente incompatibilità tra i due postulati. :)

 

Trasformazioni di Galileo come caso particolare delle trasformazioni di Lorentz

 

Come ormai ben sappiamo le trasformazioni di Galileo hanno dei limiti per cui risultano incomplete. Ciononostante, prima che gli studi sull'elettromagnetismo prendessero piede, secoli e secoli di osservazione empirica avevano stabilito che le trasformazioni galileiane dovevano essere accettabili se applicate alla realtà empirica di tutti i giorni.

 

In qualche modo le trasformazioni di Galileo dovevano essere incluse nelle trasformazioni di Lorentz, e in effetti così è. Se si considerano velocità molto inferiori alla velocità della luce, come quelle a cui siamo abituati nella nostra vita quotidiana, il rapporto tra le velocità \beta=\frac{v}{c} è prossimo a zero e può quindi essere trascurato.

 

In buona sostanza quando si considerano velocità inferiori a quelle della luce le trasformazioni di Lorentz si riducono alle trasformazioni di Galileo, perché il coefficiente \gamma è in ottima approssimazione uguale a 1:

 

v<<c\ \ \implies\ \ \beta\simeq 0\ \ \implies\ \ \gamma\simeq 1

 

e quindi le trasformazioni di Lorentz coincidono con quelle di Galileo

 

 \begin{cases} x' = x - vt \\ y' = y  \\ z' = z \\ t' = t \end{cases}

 

In particolare si vede che nell'ipotesi v<<c il tempo t' coincide con il tempo t.

 

Nella nostra vita quotidiana dunque non abbiamo modo di accorgerci della relatività del tempo: per farlo dovremmo essere in grado di viaggiare a velocità prossime a quelle della luce, ed è per questo motivo che Galileo non aveva avuto modo di supporre la relatività del tempo.

 

È opportuno osservare che si arriva alle trasformazioni galileiane anche nell'ipotesi in cui la velocità della luce nel vuoto c tenda ad infinito. Tale ipotesi però è contraria ai postulati della relatività ristretta, ma possibile per la meccanica classica che non poneva limiti superiori alla velocità che un corpo avrebbe potuto raggiungere.

 

Paternità delle trasformazioni di Lorentz

 

Le leggi di trasformazione di Lorentz furono dimostrate nel 1905 da Einstein a partire dai suoi postulati sulla relatività ristretta, ma vengono denominate di Lorentz perché introdotte per la prima volta nel 1904 dal fisico olandese Hendrik Lorentz.

 

Lorentz le presentò in un suo lavoro in cui veniva dimostrato come le leggi dell'elettromagnetismo fossero invarianti rispetto a tali trasformazioni, senza però darne un fondamento teorico come fece Einstein un anno più tardi.

 

Dimostrazione delle trasformazioni di Lorentz

 

Passiamo a dimostrare le trasformazioni di Lorentz. Consideriamo quindi due sistemi di riferimento inerziali in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro lungo l'asse x e con gli assi y e z paralleli. Facciamo anche in modo che nell'istante iniziale t=t'=0, le origini O,O' dei due sistemi coincidano. Indichiamo con v la velocità costante con cui S' si muove rispetto ad S.

 

La forma più generale di una trasformazione tra due sistemi di riferimento S e S', tali per cui un moto rettilineo uniforme in S appaia rettilineo uniforme anche in S', è la seguente:

 

 \begin{cases} x' = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14}t \\ y' = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_{24}t \\  z' = a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_{34}t \\ t' = a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44}t \end{cases}

 

Visto che abbiamo supposto che il moto avvenga solo lungo la direzione x, le coordinate y' e z' sono indipendenti dal tempo e non dipendono dalle altre coordinate; così anche x' non può dipendere da y e da z, e così nemmeno il tempo t'. Grazie a questa osservazione le leggi di trasformazione si semplificano notevolmente

 

 \begin{cases} x' = a_{11}x + a_{14}t \\ y' = a_{22}y \\  z' = a_{33}z \\ t' = a_{41}x + a_{44}t \end{cases}

 

Per la proprietà di isotropia dello spazio (indipendenza dalla direzione) deve essere:

 

 a_{22} = a_{33}

 

Inoltre tutti i coefficienti rimasti sono funzioni della velocità v con cui si muove il sistema S'. Il sistema di equazioni allora può essere riscritto nella seguente forma:

 

 \begin{cases} x' = A(v)x + B(v)t \\ y' = E(v)y \\  z' = E(v)z \\ t' = C(v)t + D(v)x \end{cases}

 

Si tratta ora di determinare l'espressione di tutti i coefficienti rimasti. Cominciamo con l'osservare che l'origine O' del sistema S', in corrispondenza della quale vale ovviamente x'=0, si muove con velocità x=vt nel sistema S. Di conseguenza:

 

\\ 0 = A(v)x + B(v)t\ \to\ x = - \frac{B(v)}{A(v)}t\ \to\ vt = - \frac{B(v)}{A(v)}t\ \to \\ \\ \\ \to\  v = - \frac{B(v)}{A(v)}\ \to\ B(v) = - A(v)v

 

In questo modo possiamo esprimere le trasformazioni come

 

 \begin{cases} x' = A(v) (x - vt) \\ y' = E(v)y \\  z' = E(v)z \\ t' = C(v)t + D(v)x \end{cases}

 

Se la velocità v del sistema S' fosse zero, le coordinate dei due sistemi coinciderebbero:

 

 \begin{cases} x' = x \\ y' = y \\  z' = z \\ t' = t \end{cases}

 

e ciò implica che i coefficienti per v=0 debbano assumere i seguenti valori:

 

A(0)=1\ \ ;\ \ E(0)=1\ \ ;\ \ C(0)=1\ \ ;\ \ D(0)=0

 

Consideriamo ora un raggio di luce che si propaga in S e che raggiunge il punto P(x,y,z) al tempo t.

 

 

Trasformazioni di Lorentz

 

 

Grazie alla formula della distanza tra due punti possiamo scrivere

 

 d_{PO}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

 

mentre per le leggi del moto rettilineo uniforme risulta che

 

d_{PO}=ct

 

Uguagliamo le due espressioni elevando al quadrato entrambi i membri

 

x^2+y^2+z^2=c^2t^2

 

da cui, portando il tutto al primo membro

 

x^2+y^2+z^2-c^2t^2=0

 

Possiamo adattare tale equazione per il raggio di luce visto in S', dove manteniamo costante la velocità della luce c per via del secondo postulato della relatività ristretta

 

x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2=0

 

Uguagliamo le due ultime espressioni:

 

 x^2+y^2+z^2-c^2t^2=x'^2+y'^2+z'^2-c^2t'^2

 

e sostituiamo le relazioni scritte in precedenza con i diversi coefficienti dipendenti dalla velocità v:

 

\\  x^2+y^2+z^2-c^2t^2=A^2(x-vt)^2+E^2y^2+E^2z^2-c^2(Ct+Dx)^2\\ \\ x^2+y^2+z^2-c^2t^2=A^2(x^2-2vxt+v^2t^2)+E^2y^2+E^2z^2-c^2(C^2t^2+2CDxt+D^2x^2)\\ \\ x^2+y^2+z^2-c^2t^2=A^2x^2-2A^2vxt+A^2v^2t^2+E^2y^2+E^2z^2-c^2C^2t^2-2c^2CDxt-c^2D^2x^2\\ \\ x^2+y^2+z^2-c^2t^2=(A^2-c^2D^2)x^2+E^2y^2+E^2z^2+(A^2v^2-c^2C^2)t^2-2(vA^2+c^2CD)xt

 

Ora non ci resta che applicare il principio di identità dei polinomi e ricavare le seguenti relazioni tra i coefficienti:

 

\begin{cases}A^2-c^2D^2=1 \\ E^2=1 \\ A^2v^2-c^2C^2=-c^2 \\ vA^2+c^2CD=0\end{cases}

 

Dalla seconda equazione si ricava subito E=\pm 1, ma la soluzione col segno meno è da scartare perché in disaccordo con quanto abbiamo ricavato in precedenza (E(0)=1). Dalla terza equazione possiamo ricavare A^2:

 

A^2=\frac{c^2}{v^2}(C^2-1)

 

che possiamo inserire nella prima equazione del sistema dei coefficienti:

 

\\ \frac{c^{2}}{v^{2}} (C^{2} - 1) - c^{2}D^{2} = 1\\ \\ c^{2} (C^{2} - 1) - c^{2}v^{2}D^{2} = v^{2}\\ \\ C^{2} - 1 - v^{2}D^{2} = \frac{v^{2}}{c^{2}}\ \ \ (\bullet)

 

e successivamente anche nella quarta:

 

\\ v \frac{c^{2}}{v^{2}} (C^{2} - 1) + c^{2}CD = 0\\ \\ C^{2} - 1 + vCD = 0

 

Da quest'ultima equazione possiamo ricavare D:

 

 D = \frac{1 - C^{2}}{vC}

 

e sostituirla in (•):

 

\\ C^{2} - 1 - v^{2} \left(\frac{1 - C^{2}}{vC} \right)^{2} = \frac{v^{2}}{c^{2}}\\ \\ \\ C^{2} - 1 - \left(\frac{1 - 2C^{2} + C^{4}}{C^{2}} \right) = \frac{v^{2}}{c^{2}}\\ \\ \\ C^{4} - C^{2} - 1 + 2C^{2} - C^{4} =  \frac{v^{2}C^{2}}{c^{2}}\\ \\ \\ C^{2} - \frac{v^{2}C^{2}}{c^{2}} = 1\\ \\ \\ C^{2} = \frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}

 

Abbiamo ricavato C^2. A questo punto possiamo tornare indietro e determinare A^2:

 

\\ A^{2} = \frac{c^{2}}{v^{2}} (C^{2} - 1)\\ \\ \\ A^{2} = \frac{c^{2}}{v^{2}} \left( \frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} - 1 \right) = \frac{c^{2}}{v^{2}} \left( \frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}} - 1 \right) =\frac{c^{2}}{v^{2}} \left( \frac{c^{2} - c^{2} + v^{2}}{c^{2} - v^{2}} \right) =\\ \\ \\ =\frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}}=\frac{c^{2}}{c^{2} \left(  1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right)} =\frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}

 

Dunque A^2,C^2 hanno la stessa espressione. Per trovare A\mbox{ e }C estraiamone la radice e consideriamo solamente la soluzione positiva, in accordo con le condizioni A(0)=1\mbox{ e }C(0)=1 ricavate in precedenza.

 

 A(v) = C(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

 

Per concludere determiniamo D

 

\\ D = \frac{1 - C^{2}}{vC} = \frac{1 - \frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{v\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}} =\frac{1 - \frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}}}{v\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}} = \frac{\frac{c^{2} - v^{2} - c^{2}}{c^{2} - v^{2}}}{v\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}} =\\ \\ \\ =\frac{-v}{(c^{2} - v^{2}) \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}} =- \frac{v}{c^{2} \left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}} = - \frac{v}{c^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

 

Ed ecco allora che, una volta determinati tutti i coefficienti, abbiamo dimostrato le trasformazioni di Lorentz.

 

 \begin{cases} x' = A(v) (x - vt) \\ y' = E(v)y \\  z' = E(v)z \\ t' = C(v)t + D(v)x \end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}x'=\displaystyle\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=\displaystyle\frac{t - \frac{v}{c^{2}}x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}\end{cases}

 

 


 

Nelle lezioni successive proseguiamo con lo studio delle leggi di trasformazione della relatività ristretta ed in particolare tratteremo le trasformazioni delle velocità e le trasformazioni delle accelerazioni. Vedremo inoltre come la relatività del tempo abbia conseguenze quali il celeberrimo fenomeno di dilatazione dei tempi. Nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti e spiegati vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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