Composizione relativistica delle velocità

La composizione relativistica delle velocità è un sistema di leggi della relatività ristretta che permette di trasformare le componenti della velocità tra due sistemi di riferimento inerziali, ossia in moto rettilineo uniforme tra loro, e che correggono ed estendono la composizione delle velocità galileiana.

 

Dopo aver visto le trasformazioni di Lorentz, che ampliano le trasformazioni di Galileo per la posizione e introducono la trasformazione della coordinata temporale, passiamo alle leggi di composizione relativistica delle velocità.

 

Oltre a proporre il sistema di formule per le velocità relativistiche avremo cura di analizzarle nel dettaglio, evidenziando le differenze rispetto alle leggi di composizione delle velocità galileiane e proponendo alcuni esempi pratici. Da ultimo approfondiremo il discorso rivolgendoci ai soli studenti universitari e ci soffermeremo sulla dimostrazione che permette di ricavare le leggi relativistiche per la velocità.

 

Legge relativistica di composizione delle velocità

 

A partire dalle trasformazioni di Lorentz per la posizione e il tempo misurati in due sistemi di riferimento inerziali diversi è possibile ricavare le leggi relativistiche di composizione delle velocità. Per prima cosa enunciamo le formule per la trasformazione relativistica delle velocità, per poi passare ad analizzarle nel dettaglio e al ragionamento che permette di ricavarle.

 

Consideriamo come di consueto un sistema di riferimento S e uno S' in moto rettilineo uniforme rispetto al primo, e per semplificare la trattazione supponiamo che S si muova rispetto ad S' con velocità v_0 lungo la direzione dell'asse x. Supponiamo inoltre che gli assi x e x' coincidano. In questa lezione tralasceremo il caso generale, che è oggetto di studio solamente nei corsi di Fisica avanzati.

 

Le formule della velocità relativistica, ossia le equazioni che esprimono la trasformazione delle componenti della velocità tra i sistemi S ed S', sono le seguenti

 

 \begin{cases} v'_x = \dfrac{v_x - v_0}{1 - \frac{v_0}{c^2} v_x} \\ \\ v'_y = \dfrac{v_y}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x  \right) } \\ \\ v'_z = \dfrac{v_z}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x  \right) } \end{cases}

 

dove \gamma è il fattore di Lorentz, definito come

 

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}

 

e \beta=\frac{v_0}{c} è il fattore che esprime il rapporto tra le velocità. c indica la velocità della luce e v_0 denota la velocità costante del sistema S' rispetto a S. Le componenti v_x,v_y,v_z e v'_x,v'_y,v'_z si riferiscono rispettivamente alle velocità misurate nei sistemi S e S'.

 

Se vogliamo esprimere le componenti della velocità nel sistema S in funzione di quelle in S', valgono le seguenti formule di composizione:

 

\begin{cases} v_x = \dfrac{v'_x + v_0}{1 + \frac{v_0}{c^2} v'_x} \\ \\ v_y = \dfrac{v'_y}{\gamma \left( 1 + \frac{v_0}{c^2} v'_x \right) } \\ \\ v_z = \dfrac{v'_z}{\gamma \left( 1 + \frac{v_0}{c^2} v'_x \right) } \end{cases}

 

Notiamo subito che quando consideriamo velocità molto più basse di quelle della luce

 

v_0<<c\ \ \implies\ \ \beta\simeq 0,\ \ \frac{v_0}{c^2}\simeq 0\ \ \implies\ \ \gamma\simeq 1

 

ritroviamo le trasformazioni galileiane

 

\begin{cases} v'_x = v_x - v_0 \\ v'_y = v_y \\ v'_z = v_z \end{cases}

 

in netta similitudine con quanto accadeva già per le trasformazioni della posizione e del tempo.

 

Coerenza delle leggi di composizione relativistica delle velocità con i postulati della relatività ristretta

 

Vediamo un esempio di applicazione delle formule di composizione relativistica delle velocità volto a verificare che le precedenti formule non violano l'invarianza della velocità della luce nei sistemi di riferimento inerziali.

 

Vogliamo determinare le componenti della velocità, misurata da un osservatore nel sistema di riferimento S' in moto con velocità v_0 rispetto a S lungo l'asse x, di un raggio di luce che viaggia con velocità v_x=c lungo l'asse x (per cui v_y=0=v_z).

 

Calcoliamo la componente v'_x sostituendo opportunamente i dati e applicando la regola algebrica per le frazioni di frazioni:

 

v'_x=\frac{c-v_0}{1-\frac{v_0}{c^2}c}=\\ \\ \\ =\frac{c-v_0}{1-\frac{v_0}{c}}=\frac{c-v_0}{\frac{c-v_0}{c}}=(c-v_0)\frac{c}{c-v_0}=c

 

I due osservatori in S e in S' vedono il raggio di luce allontanarsi da loro alla velocità c lungo la direzione di x (coincidente con l'asse x'). Le componenti v'_y e v'_z sono invece nulle. Il modulo della velocità del raggio di luce è uguale a c in entrambi i sistemi indipendentemente dalla velocità v_0 con la quale il sistema S' si sposta rispetto ad S. Ritroviamo di nuovo il concetto di costanza del valore della velocità della luce nel vuoto in qualunque sistema di riferimento inerziale, vale a dire il secondo postulato della relatività ristretta. Ciò implica, nella fattispecie, che non esiste un sistema inerziale in cui la luce sia ferma.

 

 

Esempio numerico sulla composizione relativistica delle velocità

 

Vediamo un breve esempio numerico. Consideriamo un sistema in moto rettilineo uniforme lungo l'asse x alla velocità di 0,7\ c. Un osservatore in tale sistema vede una particella viaggiare lungo la direzione x con velocità 0,5\ c. Con quale velocità vede la particella un osservatore in un sistema inerziale in quiete rispetto al primo?

 

Svolgimento: impostiamo i dati. Abbiamo v_0=0,7\ c,\ v'_x=0,5\ c e vogliamo calcolare v_x. Facciamo riferimento al secondo gruppo di formule per le leggi di composizione relativistica delle velocità da S' a S

 

v_x = \frac{v'_x + v_0}{1 + \frac{v_0}{c^2} v'_x}=\\ \\ \\ =\frac{0,5\ c + 0,7\ c}{1 + \frac{0,7\ c}{c^2} \cdot 0,5\ c} = \frac{1,2}{1,35}\ c = 0,89\ c

 

Come vedete abbiamo ottenuto un risultato inferiore alla velocità della luce nel vuoto e un valore diverso da quello che avremmo ricavato con le leggi di composizione delle velocità galileiane che ci avrebbero portato a sommare semplicemente le due velocità v_0,\ v'_x con il risultato di 1,2\ c. Avremmo quindi ottenuto un valore di velocità superiore a quello della luce, in contrasto con il secondo postulato della relatività ristretta.

 

Dimostrazione delle formule relativistiche della velocità

 

Vediamo come è possibile dimostrare le leggi di trasformazione relativistica della velocità. Premettiamo che la dimostrazione si rivolge unicamente agli studenti universitari.

 

Partiamo dalle trasformazioni di Lorentz

 

 \begin{cases} x' = \gamma (x - v_0t) \\ y' = y  \\ z' = z \\ t' = \gamma \left(t - \frac{v_0}{c^2}x \right) \end{cases}

 

e differenziamo l'equazione della coordinata x' e quella del tempo t':

 

\\ dx' = \gamma (dx - v_0dt)\\ \\ dt' = \gamma \left( dt - \frac{v_0}{c^2}dx \right)

 

Raccogliamo il termine dt da entrambe le equazioni:

 

\\ dx' = \gamma dt \left( \frac{dx}{dt} - v_0 \right)\\ \\ dt' = \gamma dt \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} \frac{dx}{dt} \right)

 

Il termine \frac{dx}{dt} corrisponde proprio alla componente v_x della velocità del punto nel sistema S lungo l'asse x.

 

\\ dx' = \gamma dt \left( v_x - v_0 \right)\\ \\ dt' = \gamma dt \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)

 

Adesso calcoliamo il rapporto tra dx' e dt' otteniamo la componente della velocità lungo l'asse x' nel sistema S':

 

\frac{dx'}{dt'} = v'_x= \frac{\gamma dt \left( v_x - v_0 \right)}{ \gamma dt \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)} = \frac{ v_x - v_0 }{1 - \frac{v_0}{c^2} v_x}

 

Per trovare le componenti lungo gli altri due assi ci servono i rapporti \frac{dy'}{dt'} e \frac{dz'}{dt'} che possiamo esplicitare tenendo conto sia delle uguaglianze dy'=dy \ \mbox{e} \ dz'=dz sia della definizione stessa di velocità:

 

\\ \frac{dy'}{dt'} = v'_y = \frac{dy}{ \gamma dt \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)} = \frac{v_y}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)}\\ \\ \\ \frac{dz'}{dt'} = v'_z = \frac{dz}{ \gamma dt \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)} = \frac{v_z}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)}

 

Abbiamo così ricavato le trasformazioni relativistiche della velocità.

 

 


 

Ci fermiamo qui. Nella lezione successiva ci occuperemo delle leggi di composizione relativistica delle accelerazioni. Se siete in cerca di esercizi svolti, sappiate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve: non dovete fare altro che usare intelligentemente la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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