Composizione relativistica delle accelerazioni

La composizione relativistica delle velocità è un sistema di leggi della relatività ristretta che consente di trasformare le componenti dell'accelerazione tra due sistemi di riferimento inerziali, ossia due sistemi in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, e che estendono le leggi di trasformazione della relatività galileiana.

 

Un breve riassunto per chi si fosse perso le puntate precedenti: abbiamo studiato le trasformazioni di Lorentz per la trasformazione di posizione e tempo nei sistemi inerziali (l'equivalente relativistico delle trasformazioni galileiane), dopodiché abbiamo visto le formule per la composizione delle velocità relativistiche (l'equivalente relativistico della composizione delle velocità).

 

In questa lezione procediamo con lo studio delle leggi di composizione relativistica delle accelerazioni proponendo le relative formule dell'accelerazione relativistica, analizzando le differenze rispetto alla meccanica classica e soffermandoci sulla dimostrazione che permette di ricavarle. :)

 
 
 

Legge relativistica di composizione delle accelerazioni

 

Nelle precedenti lezioni abbiamo studiato le leggi di trasformazione della posizione e del tempo fornite dalle trasformazioni di Lorentz e, a partire da esse, abbiamo ricavato le leggi di composizione relativistica delle velocità. Nel contesto delle trasformazioni non ci resta che studiare le leggi di composizione relativistica delle accelerazioni.

 

Il contesto è sempre lo stesso e riguarda l'ipotesi di sistemi di riferimento inerziali: consideriamo un sistema di riferimento S' in moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema S con velocità costante v_0. Per semplificare l'analisi ci limitiamo al caso in cui il moto avviene interamente lungo l'asse x, cosicché gli assi x e x' sono coincidenti e gli assi y, y' e z, z' sono rispettivamente paralleli; il caso generale viene presentato solamente nei corsi di Fisica avanzati e verrà tralasciato in questa sede.

 

Le formule dell'accelerazione relativistica, vale a dire le equazioni che esprimono la trasformazione delle componenti dell'accelerazione tra i sistemi S e S', sono le seguenti

 

 \begin{cases} a'_x = \dfrac{a_x}{\gamma^3 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^3} \\ \\ a'_y = \dfrac{1}{\gamma^2 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2} \left( a_y + a_x \dfrac{\frac{v_0}{c^2} v_y}{1 - \frac{v_0}{c^2} v_x}  \right) \\  \\ a'_z = \dfrac{1}{\gamma^2 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2} \left( a_z + a_x \dfrac{\frac{v_0}{c^2} v_z}{1 - \frac{v_0}{c^2} v_x}  \right)  \end{cases}

 

dove \gamma è il fattore di Lorentz, definito come

 

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}

 

e \beta=\frac{v_0}{c} è il termine che esprime il rapporto tra le velocità. c indica la velocità della luce e v_0 denota la velocità costante del sistema S' rispetto a S. Le componenti a_x,a_y,a_z e a'_x,a'_y,a'_z si riferiscono rispettivamente alle velocità misurate nei sistemi S e S'.

 

Composizione delle accelerazioni e non-invarianza della seconda legge di Newton

 

Osserviamo che negli usuali casi limite per cui la velocità v_0 tende a zero o la velocità c fosse infinita, le trasformazioni si riducono a quelle della meccanica classica (moti relativi) dove le due accelerazioni a e a' si equivalgono. Nei casi limite infatti tutti i rapporti \frac{v_0}{c^2} tendono a zero e possono essere trascurati, mentre il fattore \gamma tende a 1.

 

v_0<<c\ \ \implies\ \ \beta\simeq 0,\ \ \frac{v_0}{c^2}\simeq 0\ \ \implies\ \ \gamma\simeq 1

 

\begin{cases}a'_x=a_x\\ a'_y=a_y\\ a'_z=a_z\end{cases}

 

Ora invece le due accelerazioni sono diverse e ciò implica che la seconda legge della dinamica newtoniana, in cui si esprime la forza come il prodotto della massa per l'accelerazione, non può essere una legge invariante rispetto ad una trasformazione di Lorentz. Una conseguenza di ciò sta nel fatto che la massa di una particella dipende dalla sua velocità, come vedremo nel prosieguo delle lezioni di meccanica relativistica.

 

Da notare anche che, se un punto si muove con accelerazione costante a_x nel sistema S, esso non ha accelerazione costante a'_x nel sistema S'. Infatti, poiché P accelera in modo uniforme, la sua velocità v_x cambia linearmente nel tempo. L'accelerazione a'_x non dipende solo da a_x (che è costante) ma anche da v_x che invece cambia nel tempo.

 

In conclusione, se un osservatore nel sistema di riferimento S vede un corpo che si muove di moto uniformemente accelerato, un osservatore in S' non vede lo stesso tipo di moto. Da qui si comprende che, quando si raggiungono velocità prossime a quelle della luce, la descrizione dei fenomeni diventa "strana" perché differente dalla nostra percezione quotidiana dei fenomeni fisici. La cosa comunque non ci deve stupire perché, come abbiamo detto più volte, tutto ciò accade quando si ha a che fare con corpi che viaggiano a velocità prossime a quella della luce nel vuoto.

 

Dimostrazione delle formule relativistiche dell'accelerazione

 

Passiamo alla dimostrazione delle leggi di trasformazione delle accelerazioni a partire da quelle delle velocità. Esattamente come nel caso della lezione sulla composizione relativistica delle velocità, la dimostrazione si rivolge ai soli studenti universitari.

 

 \begin{cases} v'_x = \dfrac{v_x - v_0}{1 - \frac{v_0}{c^2} v_x} \\ \\ v'_y = \dfrac{v_y}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right) } \\ \\ v'_z = \dfrac{v_z}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x  \right) } \end{cases}

 

L'accelerazione di una particella nel sistema S è data da tre componenti, ognuna delle quali è la derivata rispetto al tempo della corrispondente componente della velocità.

 

a_x = \frac{dv_x}{dt}\ \ \ ; \ \ \  a_y = \frac{dv_y}{dt} \ \ \ ; \ \ \ a_z = \frac{dv_z}{dt}

 

In modo analogo, le componenti dell'accelerazione in S' sono:

 

a'_x = \frac{dv'_x}{dt'}\ \ \  ; \ \ \ a'_y = \frac{dv'_y}{dt'}\ \ \ ; \ \ \ a'_z = \frac{dv'_z}{dt'}

 

Avevamo già visto che dt' è dato da:

 

 dt' = \gamma dt \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)

 

Ora differenziamo la prima equazione delle trasformazioni delle velocità con la regola della derivata del quoziente e ricaviamo dv'_x:

 

 dv'_x = \frac{dv_x \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right) - (v_x - v_0) \left(- \frac{v_0}{c^2} dv_x \right)}{ \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2} = \\ \\ \\ = \frac{dv_x - \frac{v_0}{c^2} v_x dv_x + \frac{v_0}{c^2} v_x dv_x - \frac{v_0^2}{c^2} dv_x}{ \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2} = \\ \\ \\ =\frac{dv_x \left( 1 - \frac{v_0^2}{c^2} \right)}{ \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2} = \frac{dv_x}{ \gamma^2 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2}

 

Di conseguenza la componente a'_x diventa:

 

 a'_x = \frac{dv'_x}{dt'} = \dfrac{\dfrac{dv_x}{ \gamma^2 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2}}{\gamma dt \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right) } = \frac{a_x}{\gamma^3 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^3}

 

Analogamente possiamo procedere con la componente a'_y, anche se in questo caso i calcoli leggermente più complicati:

 

 dv'_y = \frac{dv_y \gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right) - v_y \gamma \left( - \frac{v_0}{c^2} dv_x \right)}{\gamma^2 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2} = \\ \\ \\ =\frac{ \gamma dv_y \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right) + \gamma \frac{v_0}{c^2} v_y dv_x }{\gamma^2 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2} = \\ \\ \\ =\frac{dv_y}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)} + \frac{\frac{v_0}{c^2} v_y dv_x}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2}

 

Quindi:

 

 a'_y = \frac{dv'_y}{dt'} = \dfrac{\dfrac{dv_y}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)} + \dfrac{\frac{v_0}{c^2} v_y dv_x}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2}}{ \gamma dt \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right) } = \\ \\ \\ =\frac{a_y}{\gamma^2 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2}  + \frac{\frac{v_0}{c^2} v_y}{\gamma^2 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^3} a_x = \\ \\ \\ =\frac{1}{\gamma^2 \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right)^2} \left( a_y + a_x \frac{\frac{v_0}{c^2} v_y}{1 - \frac{v_0}{c^2} v_x}  \right)

 

L'espressione per la componente a'_z si ricava con calcoli del tutto analoghi, cosicché la dimostrazione delle formule per l'accelerazione relativistica è terminata. :)

 

 


 

A partire dalla prossima lezione entreremo nel vivo della relatività ristretta e studieremo due concetti di cui chiunque ha sentito parlare almeno una volta nella vita: la contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi. Non perdetevele, e se siete in cerca di esercizi risolti sappiate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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