Contrazione delle lunghezze

La contrazione delle lunghezze è un fenomeno relativistico che discende dalle trasformazioni di Lorentz, e per il quale la misurazione della lunghezza di un corpo varia a seconda che il sistema di riferimento sia in quiete o in moto rispetto ad esso.

 

Dopo aver introdotto le varie leggi relativistiche di trasformazione vogliamo occuparci delle loro conseguenze fisiche più dirette. In questa lezione vedremo una prima conseguenza delle trasformazioni di Lorentz relativa alla misurazione delle lunghezze in sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme tra loro, detta fenomeno di contrazione delle lunghezze.

 

Partendo da un approccio analitico vedremo come ricavare la formula di contrazione delle lunghezze, dopodiché forniremo una semplice spiegazione del fenomeno e ne analizzeremo l'impatto sulle misurazioni tipiche della vita di tutti giorni, nonché più in generale sulle misurazioni in Meccanica Classica.

 
 
 

Fenomeno di contrazione delle lunghezze

 

Il fenomeno di contrazione delle lunghezze è una delle particolari e strane conseguenze delle trasformazioni di Lorentz.

 

Consideriamo come di consueto due sistemi di riferimento inerziali S e S' in moto relativo. Supponiamo che il primo sistema S sia in quiete, mentre S' si allontana in moto rettilineo uniforme lungo la direzione dell'asse x con velocità costante v.

 

Ora consideriamo un'asta rigida che si muove alla stessa velocità v del sistema mobile S' e collocata sull'asse x. L'asta è dunque in quiete rispetto al sistema di riferimento S' ed è quindi solidale con esso. Vogliamo misurare la lunghezza della sbarra, che sarà data dalla differenza tra le posizioni delle due estremità dell'asta misurate nel sistema S'.

 

L_0=x'_2-x'_1

 

Questa è quella che viene definita lunghezza propria o lunghezza a riposo del corpo. Ora ci chiediamo: la lunghezza dell'asta misurata da un osservatore in quiete rispetto al sistema S è la stessa o cambia? Proviamo a fare i calcoli usando le formule che conosciamo. Trasformiamo ciascuna posizione delle formula della lunghezza propria con le trasformazioni di Lorentz:

 

\\ x'_1 = \gamma (x_1 - vt_1)\\ \\ x'_2 = \gamma (x_2 - vt_2)

 

dove \gamma è il ben noto fattore di Lorentz

 

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}}

 

e \beta=\frac{v}{c} è il rapporto tra la velocità relativa e la velocità della luce.

 

Se vogliamo misurare la lunghezza dell'asta nel sistema S dobbiamo individuare la posizione delle due estremità nello stesso istante di tempo, per cui dobbiamo imporre t_1=t_2. A questo punto possiamo sostituire le espressioni di x'_1, x'_2 nell'equazione della lunghezza propria:

 

L_0=x'_2-x'_1=\gamma (x_2 - vt_2 - x_1 + vt_1)=\gamma(x_2 -x_1)=\gamma L

 

dove abbiamo indicato con L=x_2-x_1 la lunghezza della sbarra misurata nel sistema S, quindi:

 

L_0=\gamma L

 

Ricaviamo ora la lunghezza L in funzione della lunghezza propria:

 

L=\frac{L_0}{\gamma}=\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}L_0

 

L'equazione appena scritta è la formula di contrazione delle lunghezze. La lunghezza di un corpo rigido nella direzione del suo moto rettilineo uniforme è ridotta di un fattore uguale alla radice quadrata appena scritta. Poiché la velocità v è necessariamente inferiore rispetto alla velocità della luce, ne consegue che il fattore radicale è minore di 1, in accordo con le proprietà algebriche della radice quadrata

 

0<v<c\ \ \implies\ \ 0<\frac{v^2}{c^2}<1\ \ \implies\ \ 0<1-\frac{v^2}{c^2}<1\ \ \implies \\ \\ \\ \implies\ \ 0<\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}<1

 

di conseguenza

 

L<L_0

 

Spiegazione sulla contrazione delle lunghezze

 

La spiegazione del fenomeno di contrazione delle lunghezze è semplice: un osservatore esterno che vede viaggiare un corpo con una certa velocità v, lo vede più corto di quanto sarebbe se quel corpo fosse fermo nel sistema di riferimento dell'osservatore.

 

La lunghezza propria è la lunghezza massima misurabile ed è quella che si ottiene osservando un corpo in un sistema in cui esso è in quiete. Se invece il corpo si muove rispetto a un certo sistema di riferimento, la sua lunghezza diminuisce lungo la direzione del moto e più la sua velocità tende a quella della luce, più la sua lunghezza tende a zero.

 

Il seguente grafico rappresenta la misurazione della lunghezza L al crescere della velocità v

 

 

Contrazione delle lunghezze

Contrazione delle lunghezze in funzione della velocità.

 

 

Se supponessimo che v possa essere maggiore di c, allora il termine sotto radice diverrebbe negativo e tutto perderebbe di significato. Un altro indizio del fatto che la velocità della luce rappresenta il limite superiore raggiungibile dai corpi materiali.

 

Contrazione delle lunghezze e principio di relatività

 

Come già sappiamo i sistemi di riferimento inerziali sono indistinguibili: in altri termini, tornando alla misurazione della sbarra nei sistemi di riferimento S e S', un osservatore solidale al sistema S si considererà in quiete e considererà l'osservatore in S' in moto. Viceversa, l'osservatore solidale a S' si riterrà in quiete e riterrà l'osservatore solidale a S in moto.

 

Immaginiamo un osservatore con una sbarra A in mano sulla Terra (S) e un osservatore con una sbarra A' in mano su un'astronave (S') in moto rettilineo uniforme.

 

Poiché l'astronave si muove di moto rettilineo uniforme, se l'osservatore in S misura la lunghezza della sbarra A' otterrà una lunghezza L minore di quella misurata dall'osservatore in S' solidale ad essa. L'osservatore in S' misurerà invece la lunghezza di A' come la lunghezza a riposo L_0.

 

Di contro, l'osservatore in S' potrebbe considerarsi in quiete e considerare la Terra in moto. In questo modo egli si troverebbe a misurare una lunghezza L della sbarra A più contratta rispetto alla misura rilevata dall'osservatore in S, secondo cui la sbarra A ha una lunghezza pari alla lunghezza a riposo L_0.

 

Come potete notare vige un principio di reciprocità, o più precisamente sussiste il principio di relatività nella misurazione delle lunghezze. In caso di dubbi bisogna sempre tenere a mente la scelta dei sistemi di riferimento e fare affidamento alle trasformazioni di Lorentz.

 

Sistemi di riferimento e contrazione delle lunghezze

 

Quando si ragiona sul fenomeno di contrazione delle lunghezze è facile confondersi tra osservatori, sistemi di riferimento e la solidarietà dei corpi chiamati in causa. Come ben sappiamo non esiste una scelta privilegiata per i sistemi di riferimento: l'importante è che ci sia coerenza tra la scelta effettuata e la descrizione fisica dei fenomeni.

 

Per evitare ogni possibile fraintendimento basta ricordare che nella formula

 

 L = \frac{L_0}{\gamma}

 

- la lunghezza a riposo L_0 è la lunghezza del corpo misurata da un osservatore solidale con esso (nel sistema di riferimento in cui il corpo è in quiete);

 

- la lunghezza L è la lunghezza del corpo misurata da un osservatore in moto rispetto al corpo, o rispetto al quale il corpo è in moto (nel sistema di riferimento in cui il corpo è in moto).

 

Esempio sulla contrazione delle lunghezze e relazione con la Meccanica Classica

 

Vediamo un semplice esercizio numerico sul fenomeno di contrazione delle lunghezze, che ci permetterà di capire che la Fisica studiata fin qui non andrà perduta. ;)

 

Immaginiamo di guardare un'auto lunga 4,5 metri che viaggia in autostrada alla velocità di 130 km/h e di misurare la sua lunghezza. Se l'auto fosse parcheggiata, la sua lunghezza sarebbe di 4,5 m (lunghezza a riposo) e questa è la lunghezza che misura anche l'autista in un sistema di riferimento in cui l'auto è in quiete. Ma chi sta fuori, fermo sulla strada, vedrà sicuramente l'auto più corta.

 

Di quanto? Facciamo i calcoli convertendo le unità di misura della velocità in m/s:

 

L=\sqrt{1-\frac{\left(36,1\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)^2}{\left(3\cdot 10^8\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)^2}}\cdot (4,5\mbox{ m})\simeq 4,5\mbox{ m}

 

dove il risultato è frutto di un arrotondamento. Il rapporto \frac{v^2}{c^2} è talmente piccolo (1,45·10-14) che di fatto la radice quadrata vale 1 in ottima approssimazione e la lunghezza L è praticamente uguale alla lunghezza propria L_0.

 

Come abbiamo detto più volte, gli effetti relativistici diventano visibili solo per valori di velocità prossime a quella della luce. Alle velocità comunemente osservate, come si evince dall'esempio, tali effetti non sono apprezzabili né rilevabili.

 

Se consideriamo l'acceleratore lineare di particelle di Stanford in cui gli elettroni viaggiano a velocità vicinissime a quelle della luce - al punto che il fattore gamma è pari a circa 2·104 - il percorso di 3,5 km (la lunghezza dell'acceleratore) si riduce a soli 15 cm dal punto di vista di un osservatore solidale con l'elettrone. Come potete immaginare, questi esperimenti non sarebbero possibili senza le leggi della relatività ristretta. :)

 

 


 

Nella lezione successiva tratteremo un altro fenomeno altrettanto controintuitivo, anch'esso figlio delle trasformazioni di Lorentz: la dilatazione dei tempi. Nel frattempo se siete in cerca di esempi ed esercizi svolti vi invitiamo a fare buon uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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