Relatività del tempo e simultaneità degli eventi

La relatività del tempo, in accordo con le leggi della Relatività Ristretta, fa sì che il concetto di simultaneità degli eventi non sia assoluto; in altri termini due eventi possono essere simultanei in un sistema di riferimento ma non in un altro sistema inerziale rispetto ad esso.

 

Dopo aver introdotto le prime leggi relativistiche abbiamo già assaporato il concetto di relatività del tempo quando abbiamo affrontato il fenomeno della dilatazione dei tempi. Ora è giunto il momento di aggiungere un ulteriore tassello e di scoprire un'altra conseguenza relativistica estremamente controintuitiva: la simultaneità degli eventi non è assoluta e dipende dal sistema di riferimento scelto.

 

Dapprima daremo una definizione di eventi simultanei appoggiandoci a uno dei celeberrimi esempi di Einstein, dopodiché snoccioleremo la questione in un'ottica fisica e matematica. :)

 
 
 

Effetti della relatività del tempo sulla simultaneità degli eventi

 

La relatività del tempo ha una strana conseguenza: due eventi che appaiono simultanei in un sistema di riferimento S non appaiono necessariamente simultanei in un altro sistema di riferimento inerziale S', vale a dire in un altro sistema in moto rettilineo uniforme rispetto al primo.

 

Intanto dobbiamo specificare che cosa si intende per eventi simultanei e per farlo ci appoggiamo a un famoso esperimento ideale proposto da Einstein, che ci permetterà anche di fornire una definizione soddisfacente. Immaginiamo di vedere un treno che viaggia con una certa velocità e di considerare due diversi osservatori: uno seduto sul treno (S) e l'altro fermo sulla banchina (S'). Improvvisamente due fulmini colpiscono la testa e la coda del treno nei punti A e B della banchina. L'osservatore sulla banchina si trova in M ed è situato esattamente nel punto medio tra A e B.

 

Se i due lampi di luce giungono agli occhi dell'osservatore collocato in M nello stesso momento, allora egli dirà che i due fulmini si sono abbattuti sul treno simultaneamente. Diciamo dunque che due eventi sono simultanei se la luce che proviene da essi impiega lo stesso tempo a raggiungere il punto medio tra le posizioni in cui sono accaduti i due eventi.

 

Dunque, abbiamo detto che l'osservatore sulla banchina giudicherà la caduta dei due fulmini simultanea, ma cosa vedrà invece il passeggero del treno? Immaginiamo che, nel momento (per chi sta sulla banchina) in cui cadono i due fulmini, le posizioni A e B della banchina coincidano con le posizioni A' e B' del treno e che il passeggero si trovi nel punto medio M' del treno, che coincide con M.

 

 

Eventi simultanei e relatività del tempo

 

 

Ora però il punto M' si muove verso destra con una certa velocità v, per cui il passeggero del treno va incontro al raggio di luce proveniente da B mentre scappa via da quello proveniente da A. Il passeggero pertanto vedrà prima il fulmine caduto sulla testa del treno nel punto B e, in un istante di tempo successivo, quello caduto in coda al treno nel punto A. Il passeggero giunge così alla naturale conclusione che i due eventi non sono simultanei perché avvenuti in tempi diversi.

 

Se il treno fosse rimasto fermo allora anche il passeggero, come l'osservatore sulla banchina, avrebbe giudicato i due fulmini simultanei, ma poiché il treno si muove rispetto alla banchina con velocità v, ecco che la simultaneità diventa relativa e dipende dall'osservatore e dallo stato di moto del sistema di riferimento in cui si trova.

 

Analisi della simultaneità degli eventi con le leggi relativistiche

 

Da un punto di vista più matematico possiamo dire che per l'osservatore che si trova sulla banchina (S) l'intervallo di tempo intercorso tra i due eventi è nullo. In caso contrario i due fulmini non sarebbero simultanei.

 

 \Delta t = t_2 - t_1 = 0\ \ \ \mbox{simultaneit}\grave{\mbox{a}}\mbox{ secondo }S

 

Ma cosa vede un osservatore fermo sul treno (S')? In accordo con le trasformazioni di Lorentz sappiamo che il tempo in un sistema di riferimento non dipende solo dal tempo misurato dall'osservatore che si trova in un altro sistema di riferimento inerziale, ma dipende anche dalla coordinata x lungo la quale avviene il moto relativo tra i due sistemi. In altri termini il tempo misurato in S' non dipende solamente dal tempo misurato in S ma anche dalle posizioni misurate in S.

 

L'osservatore sul treno vedrà un intervallo di tempo tra i bagliori dei due fulmini pari a:

 

 \Delta t' = t'_2 - t'_1 = \\ \\ \\ = \gamma \left( t_2 - \frac{v}{c^2} x_2 \right) - \gamma \left( t_1 - \frac{v}{c^2} x_1 \right) = \\ \\ \\ =\gamma \left[ (t_2 - t_1) + \frac{v}{c^2} (x_1 - x_2) \right] = \\ \\ \\ =\gamma \frac{v}{c^2} (x_1 - x_2)

 

ossia

 

\Delta t'=t'_2-t'_1=\gamma \frac{v}{c^2} (x_1 - x_2)\ \ \ \mbox{non simultaneit}\grave{\mbox{a}}\mbox{ secondo }S'

 

dove \gamma è il fattore di Lorentz. Ecco allora che per il passeggero gli eventi non sono più simultanei perché l'intervallo di tempo non è nullo, ma dipende dalla distanza tra i due fulmini misurata dall'osservatore sulla banchina.

 

Relatività del tempo come conseguenza del secondo postulato della Relatività Ristretta

 

Possiamo riassumere quanto scritto fin qui dicendo che il concetto di simultaneità degli eventi non è assoluto bensì relativo. Tenendo conto del fenomeno di dilatazione dei tempi capiamo bene dunque perché nella teoria della Relatività Ristretta si parli spesso e volentieri di relatività del tempo. Anche questa stranezza della Relatività Ristretta è figlia del secondo postulato, secondo cui la velocità della luce è costante in qualunque sistema di riferimento inerziale.

 

Pensiamo di essere su un'astronave e di accendere una lampada nel punto P che proietta luce in tutte le direzioni. Lungo la direzione x del moto dell'astronave posizioniamo due specchi equidistanti in A e B.

 

 

Simultaneità degli eventi e relatività del tempo

 

 

Noi che siamo solidali al sistema di riferimento dell'astronave S e ci consideriamo fermi, la luce raggiunge i due specchi esattamente nello stesso tempo, visto che in entrambe le direzioni deve percorrere lo stesso spazio; osserviamo così due eventi simultanei.

 

Chi ci guarda da un sistema di riferimento esterno S' è in moto rispetto a noi e dunque rileva istanti di tempo diversi: per lui, come per noi, la luce viaggia sempre alla stessa velocità c ma raggiungerà prima lo specchio in A, perché questo corre incontro al raggio di luce, mentre impiegherà più tempo a raggiungere lo specchio in B perché a scappare via dalla luce che lo insegue. Di conseguenza per un osservatore esterno i due eventi non appaiono più simultanei.

 

Attenzione a non fare confusione con i sistemi di riferimento: se nel caso del treno i punti di caduta dei fulmini erano solidali con il sistema di riferimento della banchina, in quest'ultimo esempio gli specchi sono solidali con l'astronave!

 

Relatività del tempo e simultaneità degli eventi in Meccanica Classica

 

Ribadiamo ciò che abbiamo già studiato nelle precedenti lezioni: per velocità v molto inferiori rispetto alla velocità della luce c gli effetti relativistici sono del tutto trascurabili. La relatività della simultaneità degli eventi non sfugge a tale regola.

 

In particolare la relatività della simultaneità dal sistema di riferimento:

 

- diventa tanto più evidente quanto più la velocità v è prossima a quella della luce nel vuoto c;

 

- si rende apprezzabile anche nel caso di distanze  x'_2-x'_1 tra i due eventi visti nel sistema di riferimento S' considerato in moto rispetto al sistema di riferimento considerato fermo S.

 

 


 

Continuate a leggere le lezioni di Relatività Ristretta! Nella successiva tratteremo il principio di causalità; per il resto, se siete in cerca di esercizi svolti e e di esempi spiegati nel dettaglio, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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