Principio di causalità

Il principio di causalità è il principio di causa-effetto nella sequenza temporale degli eventi. Le leggi della Relatività Ristretta stabiliscono che il principio di causalità è indipendente dal sistema di riferimento considerato, per cui non è possibile osservare causa ed effetto in ordine invertito in alcun sistema di riferimento.

 

In questa lezione ripartiamo velocemente dalla relatività del concetto di simultaneità degli eventi, e ci domandiamo: possono le leggi relativistiche sovvertire il principio di causalità, ossia fare in modo che l'ordine temporale di causa ed effetto in un sistema di riferimento risulti invertito in un altro sistema di riferimento inerziale?

 

Come potete immaginare la risposta è no. Per mostrarlo sfrutteremo le leggi relativistiche, ed in particolare le trasformazioni di Lorentz, per mostrare che il principio di causalità è invariante nei sistemi di riferimento. Se così non fosse dovrebbe necessariamente essere possibile superare la velocità della luce nel vuoto.

 
 
 

Effetti relativistici sul principio di causalità

 

Nella lezione sulla simultaneità degli eventi abbiamo visto che due eventi che appaiono simultanei in sistema di riferimento possono non apparire simultanei in un sistema di riferimento inerziale, vale a dire in moto rettilineo uniforme rispetto al primo.

 

Posto che due eventi sono simultanei se l'intervallo di tempo che intercorre tra di essi è nullo, la relatività del concetto di simultaneità è dovuta al fatto che l'intervallo di tempo trascorso tra due eventi per un osservatore in un sistema non è necessariamente uguale a quello trascorso per un osservatore in un altro sistema in moto relativo rispetto al primo.

 

Dalle trasformazioni di Lorentz per la coordinata temporale sappiamo infatti che l'intervallo di tempo misurato in un sistema S' in moto rettilineo uniforme a velocità v rispetto al sistema considerato fisso S dipende sia dall'intervallo di tempo t_2-t_1 misurato in S, sia dalla distanza spaziale x_2-x_1 tra i due eventi in S.

 

\Delta t'=t'_2 - t'_1 = \\ \\ \\ =\gamma \left( t_2 - \frac{v}{c^2} x_2 \right) - \gamma \left( t_1 - \frac{v}{c^2} x_1 \right) = \\ \\ \\ = \gamma \left[ (t_2 - t_1) - \frac{v}{c^2}(x_2 - x_1) \right]

 

Analisi del principio di causalità con le leggi relativistiche

 

A questo punto bisogna osservare che, a priori, potrebbe anche capitare che l'ordine temporale dei due eventi possa essere invertito per i due osservatori. Supponiamo ad esempio di guardare una partita di calcio allo stadio (S): un attaccante riceve palla (evento 1 di coordinata spaziale x_1 al tempo t_1), smarca un avversario, corre verso la porta, tira, il portiere si tuffa e para (evento 2 di coordinata spaziale x_2 al tempo t_2) salvando il risultato. Prima osserviamo la causa (evento 1) e più tardi osserviamo il suo effetto (evento 2). Questo è il principio di causalità: l'effetto è sempre preceduto dalla causa e non avviene mai il contrario.

 

La domanda che ci poniamo è la seguente: è possibile che un osservatore (S') in moto rettilineo uniforme rispetto allo stadio possa vedere l'azione svolgersi al contrario, vedendo prima il portiere parare il tiro in porta e dopo l'attaccante ricevere palla, come se stesse riavvolgendo il nastro di un video? Se fosse possibile, il tempo per lui scorrerebbe al contrario.

 

Approcciamo il problema dal punto di vista matematico. Se per il tifoso allo stadio l'evento 2 (la parata) avviene dopo l'evento 1 (l'inizio dell'azione), per lui l'intervallo temporale tra i due eventi è positivo:

 

 \Delta t = t_2 - t_1 > 0

 

Cosa deve succedere affinché l'intervallo di tempo \Delta t' visto da un osservatore in moto rispetto allo stadio sia negativo e quindi possa vedere il tempo fluire al contrario? Deve essere negativo il termine che compare tra le parentesi quadre che abbiamo scritto in precedenza, dal momento che 1\leq \gamma<+\infty

 

 (t_2 - t_1) - \frac{v}{c^2}(x_2 - x_1) < 0

 

Facciamo qualche passaggio e teniamo presente che t_2-t_1 è ovviamente positivo:

 

 t_2 - t_1 < \frac{v}{c^2}(x_2 - x_1)\ \ \to\ \ \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} >  \frac{c^2}{v}

 

Il rapporto tra lo spazio e il tempo che abbiamo scritto a primo membro non è altro che la velocità con cui si è passati dall'evento 1 all'evento 2 nel sistema S. Ma se la velocità v con cui si muove l'osservatore fuori dallo stadio è minore di quella della luce, allora il rapporto \frac{c^2}{v} è sicuramente maggiore di c

 

v<c\ \ \to\ \ \frac{c}{v}>1\ \ \to\ \ \frac{c^2}{v}=c\cdot \frac{c}{v}>c

 

da cui

 

\frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}>\frac{c^2}{v}>c

 

Supporre che il principio di causalità non sussista per l'osservatore (S'), ossia che l'effetto preceda la causa, implica che per il tifoso allo stadio il calciatore abbia portato a termine l'azione a una velocità superiore alla velocità della luce. Nella lezione sul fattore di Lorentz abbiamo però sottolineato più e più volte come e perché ciò non sia possibile.

 

Principio di causalità e velocità della luce

 

Riassumiamo le conclusioni a cui siamo giunti applicando le trasformazioni di Lorentz, in riferimento al principio di causalità.

 

1) [Per assurdo] Se si suppone che le leggi relativistiche possano sovvertire il principio di causalità per l'osservatore in (S'), ne consegue che la velocità misurata nel sistema di riferimento S deve essere superiore alla velocità della luce. Ciò è impossibile.

 

2) [Causalità → c come estremo superiore] Affinché il principio di causalità sussista indipendentemente dal sistema di riferimento scelto, e quindi che la causa preceda nel tempo il suo effetto a prescindere dal sistema di riferimento, la velocità della luce non può essere superata.

 

3) [c come estremo superiore→ causalità] Poiché la velocità della luce è l'estremo superiore delle velocità in Fisica, il principio di causalità è salvo.

 

Con particolare riferimento a 2), ancora una volta siamo portati a concludere che la velocità della luce nel vuoto c sia l'estremo superiore della velocità per una particella dotata di massa. Di contro, in riferimento a 3), ciò implica che l'inversione temporale degli eventi è impossibile e per quanto potremo viaggiare velocemente, non vedremo mai il tempo scorrere al contrario. 

 

 


 

A seguire parleremo del paradosso dei gemelli. Nel frattempo, se siete in cerca di esempi e di esercizi svolti, non esitate: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: causalità fisica - concetto di causalità in relatività - validità del principio di causalità e indipendenza dal sistema di riferimento.