Paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli è un risultato paradossale che discende da un esperimento teorico, volto a mostrare che la dilatazione dei tempi, il principio di relatività e più in generale le leggi della Relatività Ristretta non possono essere applicate nel contesto dei sistemi di riferimento non inerziali, i quali richiedono l'uso delle leggi della Relatività Generale.

  

In questa lezione presenteremo il paradosso dei gemelli in una forma semplificata, facendo riferimento al fenomeno di dilatazione dei tempi e senza coinvolgere alcuna formula.

 

Prima di tutto descriveremo nel dettaglio l'esperimento teorico e la contraddizione che ne consegue applicando le leggi della Relatività Ristretta. Fatto ciò sveleremo il mistero e spiegheremo la soluzione del paradosso dei gemelli, mostrando come esso nasca da un'errata applicazione delle leggi della Relatività Ristretta e richieda l'utilizzo delle leggi della Relatività Generale.

 
 

Cos'è il paradosso dei gemelli

 

La legge della dilatazione dei tempi porta a una strana conseguenza che apparentemente non si riesce a spiegare. Si tratta di quello che inizialmente venne definito paradosso degli orologi e che, nel 1911, il fisico francese Paul Langevin ribattezzò più felicemente paradosso dei gemelli. Vediamo di cosa si tratta.

 

Ci sono due gemelli, Simone e Lorenzo. Un giorno i due si salutano: Simone resta sulla Terra mentre Lorenzo sale su un'astronave e parte per un viaggio spaziale, che lo terrà lontano da casa per alcuni anni. Dobbiamo immaginare che Lorenzo si muova rispetto a Simone di moto rettilineo uniforme. Abbiamo così due osservatori in due sistemi di riferimento inerziali, in linea con quanto sempre studiato fin qui in Relatività Ristretta. Abbiamo imparato che il tempo è relativo e che l'intervallo di tempo che trascorre tra due eventi può essere diverso a seconda di chi lo misura, per cui ci possiamo aspettare che la durata del viaggio sia differente per i due gemelli.

 

La domanda da cui sorge il paradosso dei gemelli è la seguente: chi dei due misura il tempo proprio, o tempo a riposo, e chi misura il tempo dilatato?

 

Simone nel sistema di riferimento S sa che il viaggio di Lorenzo (sola andata) durerà 10 anni. Questo è il tempo dilatato: Simone vede l'evento della partenza e quello di arrivo in due luoghi diversi. Lorenzo però, che si trova su un altro sistema di riferimento S', misura un tempo minore e in particolare misura il tempo proprio. Infatti per lui la partenza e l'arrivo avvengono nello stesso punto del proprio sistema di riferimento, dato che si può immaginare che sia Simone sulla Terra a spostarsi con velocità uguale e contraria con Lorenzo che invece rimane fermo. Lorenzo allora dirà ad esempio che il suo viaggio ha una durata di 6 anni, dunque 4 anni in meno rispetto al tempo misurato da Simone.

 

Lorenzo può quindi affermare: “Quando tornerò a casa, mio fratello Simone sarà più vecchio di me di 8 anni (4 per il viaggio di andata e 4 per quello di ritorno)”. Il tempo per i due gemelli infatti è trascorso in modo differente. Ciò è valido se consideriamo Simone in quiete e immaginiamo che sia Lorenzo a muoversi nello spazio.

 

Ora però proviamo a ribaltare la situazione e mettiamoci nei panni di Lorenzo. Lui potrebbe affermare: “io sono qui, fermo nella mia astronave, ed è l'Universo che scorre fuori dal finestrino”. Non avrebbe torto: dire che Lorenzo si muove in una certa direzione rispetto a Simone, che invece rimane fermo, oppure dire che Lorenzo resta fermo ed è Simone che si muove nella direzione opposta con la medesima velocità, dal punto di vista fisico è esattamente la stessa cosa.

 

Se ve ne ricordate abbiamo già sottolineato che la dilatazione dei tempi soddisfa il principio di relatività. È il medesimo principio dei due treni che si trovano alla stazione su binari affiancati: che sia il nostro treno a muoversi in avanti o quello a fianco a muoversi all'indietro con la medesima velocità, il risultato è lo stesso al punto che a volte è difficile capire quale dei due treni si sta effettivamente muovendo rispetto alla stazione.

 

A questo punto però le parti si sono invertite, per cui ora quello che viaggia e misura il tempo proprio è Simone (S) mentre quello che rimane fermo e misura il tempo dilatato è Lorenzo (S'). In questa nuova prospettiva Lorenzo potrà dire: “Quando tornerò a casa, io sarò più vecchio di mio fratello Simone di 8 anni”.

 

Eccoci giunti al paradosso dei gemelli: quest'ultima affermazione è l'esato contrario rispetto alla precedente. Come è possibile? In altri termini, quando i due gemelli si incontreranno, chi sarà il più vecchio tra i due? Simone o Lorenzo?

 

Semplice spiegazione del paradosso dei gemelli

 

La soluzione del paradosso dei gemelli in realtà è piuttosto semplice. Se ci basiamo sulle leggi della Relatività Ristretta rimaniamo bloccati. In fondo il nostro ragionamento è apparentemente corretto: abbiamo applicato il principio di relatività secondo cui nessun sistema di riferimento è privilegiato rispetto ad un altro, e abbiamo applicato la legge della dilatazione dei tempi. Nulla di sbagliato fin qui... Oppure sì?

 

Ripensandoci potremmo ipotizzare di aver commesso un errore supponendo che l'astronave di Lorenzo sia effettivamente in grado di viaggiare a una velocità prossima alla velocità della luce, ma non è questa la falla teorica del nostro ragionamento. Non dimentichiamoci che il fenomeno di dilatazione dei tempi si manifesta a qualsiasi velocità; anche se per v<<c la dilatazione è trascurabile, il problema che sorge nel paradosso dei gemelli non ha carattere quantitativo.

 

L'errore sta nell'aver considerato l'astronave di Lorenzo un sistema di riferimento inerziale. Ricordiamo che un sistema di riferimento si dice inerziale quando si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro: ebbene, l'astronave non si muove di moto rettilineo uniforme rispetto alla Terra.

 

Provate a pensarci: nelle nostre ipotesi c'è stato sicuramente un momento in cui gli orologi dei due gemelli erano perfettamente sincronizzati. Per questo motivo, in quell'istante di tempo l'astronave doveva essere ferma sulla Terra pronta a partire. Successivamente, dopo aver acceso i motori, l'astronave avrà subito un'accelerazione che le avrà consentito di raggiungere la velocità di crociera, prossima alla velocità della luce nel vuoto. Ad un certo punto del suo viaggio poi, Lorenzo avrà sicuramente acceso i motori per fare inversione e dirigersi nuovamente verso la Terra; la traiettoria seguita avrà dovuto essere curvilinea, dunque l'astronave avrà necessariamente subito un'accelerazione centripeta. Infine, una volta raggiunta l'orbita terrestre, l'astronave di Lorenzo avrà subito una decelerazione per rallentare fino a fermarsi.

 

In conclusione non si può di certo affermare che Lorenzo si sia trovato su un sistema di riferimento (S') inerziale rispetto a quello di Simone S e, come ormai sappiamo, il principio di relatività non sussiste tra sistemi di riferimento non inerziali. Il nostro ragionamento ci ha condotto al paradosso dei gemelli perché la questione è stata mal posta: abbiamo usato le leggi della Relatività Ristretta in un contesto in cui tali leggi non sono pienamente applicabili. Sicuramente, per una parte del viaggio di andata e di ritorno, Lorenzo si sarà mosso di moto rettilineo uniforme, ma non sempre. In qualche modo abbiamo cercato di risolvere il problema con le formule sbagliate.

 

E allora qual è la soluzione del paradosso dei gemelli?

 

Se si parla di accelerazioni bisogna abbandonare la Relatività Ristretta per abbracciare la Relatività Generale, che tiene conto anche dei sistemi di riferimento non inerziali. Secondo queste nuove leggi Lorenzo, ovvero il gemello che ha viaggiato nello spazio, tornerà a casa e troverà Simone più vecchio di lui e alla stessa conclusione giungerà anche Simone, senza più alcuna ambiguità. Il paradosso è così svanito. :)

 

Dal paradosso degli orologi al paradosso dei gemelli

 

Concludiamo la lezione con una nota di carattere storico. Il paradosso dei gemelli è stato riformulato nella versione con cui lo abbiamo presentato per renderlo più facilmente comprensibile e più teorico: originariamente il paradosso veniva formulato facendo riferimento a una coppia di orologi. La variante dei gemelli però si presta meglio per evitare ogni possibile fraintendimento perché l'effetto della misurazione si riferisce all'orologio biologico umano, risultando così più concreta.

 

 


 

Nella lezione successiva proseguiremo con lo studio delle leggi della Relatività Ristretta nel contesto della Dinamica, e studieremo in particolare la nozione di quantità di moto relativistica. Se siete in cerca di esercizi svolti non esitate: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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