Quantità di moto relativistica

La quantità di moto relativistica di un corpo in moto inerziale rispetto a un osservatore viene definita e descritta da una formula che differisce dalla definizione proposta in Dinamica; rispetto alla Meccanica Classica, la definizione relativistica della quantità di moto dipende dal fattore di Lorentz.

 

Fino ad ora abbiamo trattato le leggi della Relatività Ristretta da un punto di vista cinematico, e nello specifico abbiamo visto come si comportano le principali grandezze della Cinematica nel contesto dei sistemi di riferimento inerziali.

 

Non è difficile intuire che anche le grandezze della Dinamica vadano riviste in ottica relativistica. In questa lezione ci occupiamo della quantità di moto relativistica, la prima e più semplice grandezza dinamica che viene definita a partire dalla velocità.

 

Definizione e formula della quantità di moto relativistica

 

Quando abbiamo ricavato le trasformazioni relativistiche delle velocità ci siamo subito resi conto che il modo classico di comporre le velocità (composizione galileiana delle velocità) non poteva più essere utilizzato per corpi che viaggiano a velocità prossime alla velocità della luce.

 

Ciò implica che una grandezza dipendente dalla velocità, come la quantità di moto, debba necessariamente essere rivista e a tal proposito si introduce la nozione di quantità di moto relativistica.

 

Nei problemi e negli esercizi di Dinamica abbiamo sempre composto la quantità di moto nello stesso modo delle velocità, ma nel contesto della Relatività Ristretta anch'essa dovrà seguire le leggi relativistiche. La vecchia formula va quindi modificata e riscritta nella sua nuova forma ricorretta relativisticamente.

 

La formula della quantità di moto relativistica è la seguente e può essere considerata come una vera e propria definizione. Per scriverla considereremo come di consueto due sistemi di riferimento inerziali: un sistema S e un sistema S' in moto rettilineo uniforme con velocità v rispetto al primo. Con queste premesse la quantità di moto relativistica di un corpo solidale al sistema S' misurata dal sistema di riferimento S è

 

 \vec{p} = \gamma m_0 \vec{v} = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \vec{v}

 

dove \vec{p} e \vec{v} indicano rispettivamente la quantità di moto e la velocità misurate nel sistema di riferimento S, m_0 indica la massa a riposo (misurata nel sistema S'), \gamma è l'usuale fattore di Lorentz, v è il modulo della velocità di S' rispetto ad S e c è la velocità della luce.

 

Come potete vedere il contesto è sempre lo stesso che siamo abituati a considerare nello studio dei fenomeni relativistici. Anche l'obiettivo è sempre il medesimo: vogliamo capire come si riscrivono le leggi di trasformazione e le grandezze dal punto di vista di un sistema S che osserva un corpo solidale al sistema S', in moto rettilineo uniforme rispetto a S.

 

Una formula della quantità di moto equivalente alla precedente è la seguente

 

\vec{p}=m\vec{v}

 

dove abbiamo indicato con m la massa relativistica (o massa inerziale) del corpo, vale a dire la massa misurata dall'osservatore nel sistema di riferimento S. Si può dimostrare (e omettiamo la dimostrazione in questa sede) che anche la misura della massa rilevata dal sistema S dipende dalla velocità v di S' rispetto a S, e che la relazione tra la massa relativistica e la massa a riposo è esattamente

 

m=\gamma m_0

 

Quantità di moto relativistica VS quantità di moto classica

 

La grande differenza tra la definizione relativistica della quantità di moto e quella classica è la comparsa del fattore di Lorentz \gamma. Ciò fa sì che la quantità di moto non sia più direttamente proporzionale alla velocità, perché questa ora compare al quadrato all'interno della radice a denominatore.

 

L'espressione della quantità di moto si è quindi complicata ma continua a valere il concetto per cui, se abbiamo a che fare con velocità molto minori di quelle della luce, allora la nuova formula della quantità di moto torna ad essere quella "standard", data semplicemente dal prodotto della massa e della velocità perché il denominatore diventa uguale a 1. Ancora una volta, la Meccanica Classica si presenta come il caso particolare di quella relativistica nell'ipotesi v<<c:

 

Quantità di moto relativistica e secondo principio della Dinamica

 

Pur ragionando con due sistemi di riferimento inerziali S e S', in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, nulla ci vieta di considerare una forza applicata al corpo solidale al sistema di riferimento S'.

 

Per giungere alla variante relativistica del secondo principio della dinamica non possiamo esprimere la forza come prodotto della massa per l'accelerazione; fortunatamente possiamo considerare la forza come la variazione della quantità di moto nel tempo e appellarci alle derivate:

 

 \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt}

 

Questa scrittura non è nuova per noi, perché l'abbiamo già incontrata nella Meccanica Classica. La differenza sta nel fatto che ora la quantità di moto è quella relativistica che abbiamo scritto prima.

 

A tal proposito dobbiamo osservare che l'applicazione di una forza su un corpo non comporta più un diretto aumento della velocità, bensì un aumento della quantità di moto e che le due cose non coincidono più come in Meccanica Classica. In ambito relativistico l'aumento della quantità di moto si converte in un un aumento della velocità e anche in un incremento del fattore di Lorentz \gamma. È soprattutto il secondo a subire l'incremento maggiore e possiamo vederlo da un punto di vista matematico.

 

Per semplificare l'analisi immaginiamo di lavorare lungo la direzione di un asse e differenziamo la definizione di quantità di moto, tenendo presente che anche \gamma dipende dalla velocità:

 

 dp = d(m_0 \gamma v) = m_0 \gamma dv + m_0v d \gamma

 

Dividiamo tutto per p per trovare la variazione relativa di quantità di moto:

 

\\ \frac{dp}{p} = \frac{m_0 \gamma dv}{p} + \frac{m_0v d \gamma}{p}\\ \\ \\ \frac{dp}{p} = \frac{dv}{v} + \frac{d \gamma}{\gamma}

 

Raccogliamo un fattore \frac{dv}{v} a secondo membro

 

\frac{dp}{p}=\frac{dv}{v} \left( 1 + \frac{\frac{d \gamma}{\gamma} }{\frac{dv}{v}} \right)\ \ \ (\bullet)

 

Ora differenziamo a parte la definizione del fattore di Lorentz \gamma:

 

 d \gamma = d \left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \right) = \\ \\ \\ =d \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{- \frac{1}{2}}=

 

In accordo con il teorema per la derivata della funzione composta

 

= - \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{- \frac{3}{2}}  \left( - \frac{2v}{c^2} \right) dv = \\ \\ \\ = \frac{1}{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{v}{c^2} dv = \\ \\ \\ = \frac{v}{c^2} \gamma^3 dv

 

Moltiplichiamo e dividiamo il risultato per la velocità:

 

 d \gamma = \frac{v^2}{c^2} \gamma^3 \frac{dv}{v}

 

e poi dividiamo ambo i membri per gamma:

 

 \frac{d \gamma}{\gamma} = \frac{v^2}{c^2} \gamma^2 \frac{dv}{v}

 

Sostituiamo questo risultato nell'equazione (\bullet) del rapporto \frac{dp}{p}:

 

 \frac{dp}{p} = \frac{dv}{v} \left( 1 + \frac{\frac{v^2}{c^2} \gamma^2 \frac{dv}{v}}{\frac{dv}{v}} \right)

 

da cui

 

\frac{dp}{p}= \frac{dv}{v} \left( 1 + \frac{v^2}{c^2} \gamma^2 \right)

 

I termini dentro la parentesi tonda possono essere trasformati sfruttando la formula del fattore di Lorentz:

 

 1 + \frac{v^2}{c^2} \gamma^2  = 1 + \frac{v^2}{c^2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \\ \\ \\ =1 + \frac{v^2}{c^2} \cdot \frac{1}{\frac{c^2 - v^2}{c^2}} = 1 + \frac{v^2}{c^2} \cdot \frac{c^2}{c^2 - v^2} = \\ \\ \\ = 1 + \frac{v^2}{c^2 - v^2} = \frac{c^2 - v^2 + v^2}{c^2 - v^2} = \\ \\ \\ =\frac{c^2}{c^2 - v^2} = \frac{c^2}{c^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right)} = \gamma^2

 

Di conseguenza:

 

 \frac{dp}{p} = \gamma^2 \frac{dv}{v}

 

Invertiamo l'equazione per mettere in luce la variazione relativa di velocità \frac{dv}{v}:

 

 \frac{dv}{v} = \frac{1}{\gamma^2} \frac{dp}{p}

 

Ecco che l'aumento relativo di velocità è di un fattore \frac{1}{\gamma^2} volte l'aumento relativo della quantità di moto relativistica. Al tendere di v alla velocità della luce c, \gamma cresce notevolmente e questo ci dice che l'aumento relativo di velocità diventa piuttosto piccolo. Questo risultato è, ancora una volta, in accordo col fatto che la velocità di un corpo non può crescere indefinitamente ma può al più tendere al valore massimo c.

 

 


 

Nelle lezioni successive proseguiremo con lo studio della dinamica relativistica trattando altri grandezze quali, ad esempio, l'energia relativistica; prima però dobbiamo occuparci della conservazione della quantità di moto relativistica. Come di consueto invitiamo chiunque fosse in cerca di esempi ed esercizi svolti a fare buon uso della barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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