Conservazione della quantità di moto relativistica

Il principio di conservazione della quantità di moto relativistica è l'estensione della classica legge di conservazione della quantità di moto; tale principio vale nei fenomeni relativistici alla stregua della Meccanica Classica, ma a patto di considerare la definizione di quantità di moto relativistica.

 

Nella precedente lezione abbiamo iniziato a studiare la dinamica relativistica introducendo la nozione di quantità di moto relativistica. Il passo successivo prevede di capire se il principio di conservazione della quantità di moto vale anche nell'ambito della Relatività Ristretta e, in caso affermativo, quali siano le differenze rispetto al caso classico.

Principio di conservazione della quantità di moto relativistica

 

Il principio della conservazione della quantità di moto è valido anche se ci avviciniamo alla velocità della luce nel vuoto, allontanandoci così dalle vecchie leggi della Meccanica Classica per abbracciare quelle della Meccanica Relativistica. Chiaramente in Relatività non è più possibile fare uso della vecchia definizione di quantità di moto, ma piuttosto dobbiamo fare riferimento a quella relativisticamente corretta con la presenza del fattore di Lorentz.

 

 \vec{p} = \gamma m_0 \vec{v}

 

Nel caso di un sistema costituito da due corpi l'equazione di conservazione della quantità di moto è quella che già conoscevamo in meccanica classica:

 

 \vec{p}_{1,i} + \vec{p}_{2,i} = \vec{p}_{1,f} + \vec{p}_{2,f}

 

La quantità di moto è un vettore e quella che abbiamo scritto è un'equazione vettoriale, in cui bisogna tener conto delle direzioni dei vettori e degli angoli che essi formano con gli assi del sistema di riferimento. La legge di conservazione della quantità di moto si può scrivere per ciascun asse cartesiano analizzando una componente alla volta, e quindi scrivere l'equazione di prima solo per le componenti dei vettori \vec{p} sull'asse delle x, poi per quelle sull'asse y ed eventualmente anche per quelle sull'asse z nel caso a 3 dimensioni.

 

Esempio sulla conservazione della quantità di moto relativistica

 

Vediamo un semplice esempio nel caso unidimensionale. Consideriamo un piccolo asteroide che esplode in due pezzi: il primo di massa propria 2900 kg procede in una direzione con velocità 0,63 c, il secondo pezzo ha massa propria 1700 kg. Vogliamo calcolare la velocità con cui si muove il secondo pezzo dell'asteroide.

 

Se consideriamo l'asteroide inizialmente fermo la quantità di moto iniziale è nulla, e così deve essere anche per la quantità di moto finale complessiva del sistema. Ciò implica che, se il primo pezzo dell'asteroide è partito in una certa direzione, il secondo deve necessariamente viaggiare nella stessa direzione ma con verso opposto. Consideriamo allora la velocità v_1 positiva e v_2 negativa e scriviamo l'equazione di conservazione della quantità di moto relativistica.

 

Poiché stiamo ragionando nel caso monodimensionale possiamo sostituire la notazione vettoriale specificando il segno dei vari termini:

 

0=p_{1,f}-p_{2,f}

 

Da qui ricaviamo

 

p_{1, f} = p_{2, f}

 

Usiamo la definizione di quantità di moto relativistica sul termine p_{2,f} indicando con m_1,\ m_2 le masse a riposo

 

p_{1,f} = m_2 \gamma v_2 = m_2 \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_2^2}{c^2}}} v_2

 

Riorganizziamo l'equazione per eliminare il denominatore:

 

 p_{1,f} \sqrt{1 - \frac{v_2^2}{c^2}} = m_2v_2

 

L'incognita v_2 compare sia al secondo membro sia all'interno della radice quadrata: eleviamo entrambi i membri al quadrato.

 

\\ p_{1, f}^2 \left( 1 - \frac{v_2^2}{c^2} \right) = m_2^2v_2^2\\ \\ \\ p_{1, f}^2 - p_{1, f}^2 \frac{v_2^2}{c^2} = m_2^2v_2^2

 

Moltiplichiamo tutta l'equazione per c^2

 

 p_{1, f}^2c^2 - p_{1, f}^2 v_2^2 = m_2^2v_2^2c^2

 

Riordinando i termini possiamo ricavare l'incognita v_2

 

\\ v_2^2 = \frac{ p_{1, f}^2c^2}{ p_{1, f}^2 + m_2^2c^2}\\ \\ \\ v_2 = \frac{ p_{1, f}c}{ \sqrt{p_{1, f}^2 + m_2^2c^2}}

 

A questo punto possiamo calcolare facilmente la quantità di moto finale del primo pezzo di asteroide perché abbiamo già tutti i dati:

 

 p_{1, f} = m_1 \gamma v_1 = \frac{m_1 v_1}{\sqrt{1 - \frac{v_1^2}{c^2}}} = 7,06 \cdot 10^{11}\ \frac{\mbox{kg}\cdot\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

ed infine possiamo calcolare v_2

 

 v_2 = \frac{ p_{1, f}c}{ \sqrt{p_{1, f}^2 + m_2^2c^2}} \simeq 0,81\ c

 

Considerazioni finali sulla conservazione della quantità di moto relativistica

 

Come previsto, il valore di velocità ricavato nell'esercizio è inferiore a quello della luce. Se avessimo risolto lo stesso problema con la definizione classica della quantità di moto, avremmo semplicemente scritto

 

m_1v_1=m_2v_2

 

e avremmo ottenuto come risultato:

 

v_2=\frac{m_1v_1}{m_2} \simeq 1,14\ c

 

per cui il secondo pezzo sarebbe partito ad una velocità superiore a quella della luce. Un risultato impossibile, in accordo con le leggi della Relatività Ristretta. :)

 


 

La grandezza dinamica che tratteremo nella lezione successiva è l'energia cinetica relativistica. Come di consueto vi ricordiamo che qui su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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