Energia cinetica relativistica

Con energia cinetica relativistica si intende, in Relatività Ristretta, la generalizzazione rivista e ricorretta dell'energia cinetica definita in Meccanica Classica. L'energia cinetica relativistica dipende dalla massa a riposo del corpo e viene espressa in funzione del fattore di Lorentz, che dipende a sua volta dalla velocità del corpo.

 

Qui di seguito vi proponiamo la definizione di energia cinetica relativistica; prima di tutto vedremo come sia possibile ricavare la versione relativisticamente corretta della formula per l'energia cinetica di un corpo, partendo dal concetto di lavoro infinitesimo.

 

In secondo luogo ne analizzeremo le principali proprietà e metteremo in luce la differenza tra l'energia cinetica relativistica e quella classica, mostrando come quest'ultima sia, al solito, un caso particolare della prima.

 
 
 

Definizione e formula dell'energia cinetica relativistica

 

Nell'ambito della Dinamica, oltre al concetto di quantità di moto relativistica è necessario rivedere il concetto di energia della Meccanica Classica e fornire una nuova definizione di energia cinetica relativistica. Vediamo come ricavare la relativa formula mediante una semplice dimostrazione.

 

Partiamo dal concetto di lavoro che, come già sappiamo, è definito dal prodotto scalare della forza per lo spostamento. Scriviamo l'equazione per un lavoro infinitesimo dL:

 

 dL = \vec{F} \cdot d \vec{s} = \frac{d \vec{p}}{dt} \cdot d \vec{s} = d \vec{p} \cdot \vec{v}\ \ \ (\bullet)

 

Inseriamo nella formula del lavoro la definizione di quantità di moto relativistica ricavata nell'omonima lezione:

 

 \frac{d\vec{v}}{v}  = \frac{1}{\gamma^2} \frac{d\vec{p}}{p}

 

che possiamo riscrivere nella forma

 

d\vec{p} = p \gamma^2 \frac{d\vec{v}}{v}

 

Procediamo per sostituzione in (\bullet)

 

 dL = p \gamma^2 \frac{d \vec{v}}{v} \cdot \vec{v}

 

Sostituiamo p=\gamma m_0\ v con l'ormai nota definizione relativistica:

 

 dL = m_0 \gamma^{3} d \vec{v} \cdot \vec{v}

 

Facendo uso della seguente relazione:

 

 d(\vec{v} \cdot \vec{v}) = d(v^2) = 2 \vec{v} \cdot d \vec{v}

 

trasformiamo l'equazione del lavoro nel modo seguente

 

 dL = \frac{1}{2} m_0 \gamma^{3} d(v^2)

 

e calcoliamo esplicitamente il termine differenziale con la regola per la derivata di una potenza

 

dL=m_0 \gamma^{3} v dv\ \ \ (\bullet\bullet)

 

Nella lezione sulla quantità di moto relativistica abbiamo già osservato che vale la relazione

 

 d \gamma = \frac{v}{c^2} \gamma^{3} dv

 

da cui possiamo ricavare dv:

 

 dv = \frac{c^2}{v}  \frac{d \gamma}{\gamma^{3}}

 

e sostituirla nell'ultima formula trovata per il lavoro (\bullet\bullet):

 

 dL = m_0c^2 d \gamma

 

Ora che abbiamo trovato l'espressione definitiva del lavoro infinitesimo, calcoliamo il lavoro necessario per portare una particella da ferma (velocità nulla e \gamma=1) fino a una velocità v qualsiasi (e quindi a un generico \gamma) impostando un opportuno integrale:

 

 L = \int_1^{\gamma}{ m_0c^2 d \gamma } = m_0c^2 \int_1^{\gamma}{d \gamma} = m_0c^2 (\gamma - 1)

 

Abbiamo così dimostrato che la formula dell'energia cinetica relativistica è data da

 

 E_{c} = m_0c^2 (\gamma - 1)

 

dove m_0 è la massa a riposo del corpo e \gamma dipende dalla velocità v del corpo.

 

Se ci fate caso la dimostrazione della formula dell'energia cinetica relativistica, da un punto di vista concettuale, è del tutto analoga rispetto a quella classica, infatti in Dinamica abbiamo definito l'energia cinetica come il lavoro necessario per portare una particella da ferma ad una velocità v.

 

Proprietà dell'energia cinetica relativistica

 

La formula ricavata poco sopra offre parecchi spunti per l'analisi delle proprietà fisiche dell'energia cinetica relativistica.

 

1) Notiamo subito che se la velocità del corpo è nulla allora il fattore di Lorentz \gamma è uguale a 1 e l'energia cinetica diventa nulla, come succedeva anche nella meccanica classica.

 

v=0\ \ \implies\ \ \gamma=1\ \ \implies\ \ E_c=0

 

Se riportiamo su un grafico l'andamento dell'energia cinetica relativistica in funzione della velocità, e dunque se consideriamo l'energia cinetica relativistica come una funzione E_c=E_c(v) della velocità, ci accorgiamo che quando ci avviciniamo alla velocità della luce l'energia cinetica tende all'infinito.

 

v\to c\ \ \implies\ \ E_c\to+\infty

 

Energia cinetica relativistica

Andamento dell'energia cinetica relativistica
al variare della velocità.

 

 

Ciò significa che per spingere un corpo fino a fargli raggiungere la velocità della luce dovremmo fornirgli una quantità infinita di energia (e questo non è chiaramente possibile).

 

Se ad esempio consideriamo un corpo con massa a riposo di 50 chilogrammi che viaggia alla velocità di 0,9 c, la sua energia cinetica è di 5,8·1018 joule; se aumentiamo la velocità di circa il 10% e la portiamo a 0,999 c, l'energia cinetica sale a 1·1020 joule, circa 17 volte quella precedente.

 

In sintesi l'energia cinetica relativistica fornisce un'ulteriore prova del fatto che la velocità della luce è la massima velocità possibile per un corpo dotato di massa.

 

 

3) [Relazione tra energia cinetica relativistica e classica] Come siamo soliti fare in Relatività Ristretta, anche in questo caso dobbiamo controllare che per velocità molto inferiori a quella della luce (v<<c) la formula dell'energia cinetica appena scritta torni a essere quella classica che abbiamo sempre conosciuto.

 

 E_{c} = \frac{1}{2}mv^2

 

Per chi non lo sapesse, possiamo raggiungere lo scopo mediante una regola matematica che ci permette di sviluppare in serie di Taylor il fattore di Lorentz. Se abbiamo una potenza di un binomio con esponente naturale

 

 (1 + x)^{n},\ \ \ n\in\mathbb{N}

 

e se |x|<<1, allora il binomio può essere approssimato al primo ordine nel modo seguente:

 

 (1 + x)^{n} \simeq 1 + nx,\ \ \ n\in\mathbb{N}

 

L'Analisi Matematica ci insegna che questa approssimazione vale anche per potenze con esponente reale

 

 (1 + x)^{\alpha} \simeq 1 + \alpha x,\ \ \ \alpha\in\mathbb{R}^

 

dove di fatto abbiamo salvato solo i primi due termini dello sviluppo della potenza (gli altri termini sono trascurabili - cfr. tabella degli sviluppi notevoli). Proviamo ad applicare questo sviluppo al fattore di Lorentz, visto che il rapporto \frac{v^2}{c^2} è molto più piccolo di uno e possiamo considerare x=-\frac{v^2}{c^2}.

 

\gamma=\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

 

Esprimiamo la radice come potenza con esponente fratto e procediamo con l'approssimazione

 

\gamma=\left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{- \frac{1}{2}} \simeq 1 + \left( - \frac{1}{2} \right) \left( - \frac{v^2}{c^2}  \right)

 

ossia

 

\gamma\simeq 1 + \frac{v^2}{2 c^2}\ \ \ (\mbox{se }v<<c)

 

Se sostituiamo questa approssimazione di \gamma nella formula dell'energia cinetica relativistica, otteniamo quella della meccanica classica:

 

 E_{c} = mc^2 (\gamma - 1) = mc^2 \left( 1 + \frac{v^2}{2 c^2} - 1 \right) = \frac{1}{2}mv^2

 

 


 

Nella lezione successiva studieremo l'energia a riposo e scriveremo una delle formule della Relatività Ristretta di Einstein più famose. Se siete in cerca di esercizi svolti e di esempi vi invitiamo come al solito a fare buon uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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