Energia a riposo e energia relativistica totale

L'energia a riposo, definita dalla celeberrima formula dell'energia E=mc^2 di Einstein, è un tipo di energia posseduta da qualsiasi corpo dotato di massa; l'energia a riposo concorre al calcolo dell'energia totale relativistica mediante somma con l'energia cinetica relativistica.

 

Siamo giunti all'argomento più celebre dell'intera teoria della Relatività Ristretta: qui di seguito vi presenteremo la definizione di energia a riposo e parleremo della ben nota formula E=mc^2, introdotta da Albert Einstein nel 1905.

 

Oltre alla definizione dell'energia a riposo come nuova grandezza fisica vi proporremo una semplice analisi della formula, a partire dalla quale potrete intuire perché essa sia così importante e "sconvolgente", al punto da essere indubbiamente considerata la formula più famosa di tutta la Fisica.

 

Definizione e formule di energia a riposo e di energia relativistica totale

 

Nella lezione sull'energia cinetica relativistica abbiamo cercato una formula relativisticamente corretta per l'energia cinetica e siamo arrivati alla seguente equazione:

 

 E_c = m_0c^2 ( \gamma - 1)

 

Se sviluppiamo il prodotto, scopriamo facilmente che l'energia cinetica relativistica è data dalla somma di due termini:

 

 E_c = m_0\gamma c^2 - m_0c^2

 

Il primo termine è variabile e dipende dalla velocità v tramite il fattore di Lorentz \gamma e prende il nome di energia relativistica totale.

 

 E = m_0\gamma c^2

 

Il secondo termine invece è costante, dipende dalla massa a riposo m_0 del punto materiale e dalla velocità della luce nel vuoto c, e viene detto energia a riposo. Per definizione l'energia a riposo è la quantità individuata dalla formula

 

 E_0 = m_0c^2

 

In base alle definizioni scritte in precedenza possiamo affermare che l'energia cinetica relativistica è uguale all'energia totale relativistica meno l'energia a riposo; al contrario, l'energia totale relativistica è uguale alla somma dell'energia cinetica relativistica e dell'energia a riposo:

 

 E = E_c + E_0

 

Analisi della formula più famosa della Fisica: la formula dell'energia a riposo E=m0c^2

 

Dalla formula dell'energia a riposo (l'equazione più famosa di tutta la Fisica) si capisce che essa è una forma di energia che dipende dalla sola presenza della massa. Ogni corpo dotato di massa ha un'energia a riposo propria, data dalla formula scritta in precedenza.

 

Tale energia viene detta energia a riposo perché è quella che si misura in un sistema di riferimento in cui il corpo è fermo. Si tratta di un concetto completamente nuovo e del tutto inesistente in Meccanica Classica.

 

Da notare che la massa è moltiplicata per la velocità della luce al quadrato, che di per sé è un numero molto elevato: l'energia a riposo è una grandezza che assume valori molto grandi anche per corpi dotati di piccole masse.

 

 

Esempio sul calcolo dell'energia a riposo

 

Calcoliamo ad esempio l'energia a riposo di una tazzina da caffè vuota di massa (a riposo) pari a 130 grammi:

 

E_0=m_0c^2=(0,13\mbox{ kg})\cdot \left(3\cdot 10^8\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)^2=1,17\cdot 10^{16}\mbox{ J}

 

Ebbene, una semplice tazzina da caffè di 130 grammi ha un'energia a riposo pari a 11,7 biliardi di joule! Se avessimo la possibilità di convertire l'energia a riposo della tazzina in energia elettrica, potremmo mantenere accesa una lampadina da 60 watt per quasi duecentomila miliardi di anni!

 

 

Energia a riposo, fissione nucleare e fusione nucleare

 

È grazie a questi numeri così elevati che funzionano le centrali nucleari. Gli atomi pesanti di uranio vengono bombardati da neutroni che li dividono in più parti, in un processo chiamato fissione nucleare. La somma delle masse di tutti i prodotti della fissione non è uguale alla massa dell'atomo originario, bensì minore; una certa quantità di massa viene convertita in energia secondo la legge dell'energia a riposo. È così che, con pochi grammi di uranio, è possibile produrre quantità di energia in grado di alimentare intere città. Lo stesso principio è applicato più tragicamente agli ordigni nucleari.

 

Il Sole invece (e più in generale qualsiasi stella) opera un processo al contrario, detto fusione nucleare, che i fisici stanno cercando di riprodurre artificialmente in laboratorio. Due atomi leggeri di idrogeno si fondono assieme per formarne uno di elio, ma la massa di quest'ultimo è minore della massa dei due atomi di idrogeno iniziali. Di nuovo, una frazione di massa viene convertita in energia.

 

Come conseguenza del processo di fusione nucleare il Sole manifesta una continua perdita di massa. Se volessimo calcolare la quantità di massa che perde, sapendo che il Sole irradia energia con una potenza di 4·1026 W, l'energia emessa ogni giorno è:

 

E=Pt=(4 \cdot 10^{26}\mbox{ W})\cdot (24\mbox{ h})=3,5\cdot 10^{31}\mbox{ J}

 

e la conseguente massa dissipata ogni giorno è pari a:

 

m_0=\frac{E}{c^2}=\frac{3,5\cdot 10^{31}\mbox{ J}}{\left(3\cdot 10^{8}\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)^2}\simeq 3,9\cdot 10^{14} \mbox{ kg}

 

Può sembrare una cifra spaventosa ma, in realtà, si tratta di una percentuale ridottissima rispetto alla massa del Sole. Con questo ritmo, tra un miliardo di anni, il Sole avrà perso solo lo 0,00007% della sua massa.

 

 

Osservazione finale: legge dell'energia a riposo e variazione della massa

 

L'energia a riposo ci dice che anche, nel nostro mondo quotidiano, le masse cambiano. Se per esempio comprimiamo una molla, abbiamo fornito ad essa un'energia potenziale che prima non aveva; ciò implica che la massa della molla è cresciuta secondo la legge m_0=\frac{E}{c^2}. Il punto è che la variazione di massa è così infinitesima da non essere praticamente rilevabile.

 

 


 

Avete già intuito quale sarà l'argomento della lezione successiva? In Dinamica, dopo aver definito il concetto di energia, abbiamo trattato il principio di conservazione dell'energia meccanica. Di conseguenza... :D

 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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