Conservazione dell’energia relativistica totale

Il principio di conservazione dell'energia relativistica totale stabilisce che, in un sistema fisico, la somma dell'energia cinetica relativistica e dell'energia a riposo si conserva; tale legge si rende necessaria in particolare nello studio dei sistemi di particelle.

 

Nelle prime lezioni di Meccanica Relativistica abbiamo definito la quantità di moto relativistica e abbiamo trattato il relativo principio di conservazione. Ora che abbiamo studiato le definizioni di energia cinetica relativistica e di energia a riposo possiamo passare alla correzione relativistica del principio di conservazione dell'energia della Meccanica Classica.

 

Qui di seguito scriveremo l'enunciato e la formula del principio di conservazione dell'energia relativistica totale spiegandone il significato e specificando quali sono i fenomeni che ne richiedono inevitabilmente l'utilizzo. In particolare spiegheremo in quali fenomeni è sufficiente applicare il classico principio di conservazione dell'energia e in quali casi esso non è sufficiente per una corretta descrizione fisica.

 
 
 

Principio di conservazione dell'energia relativistica totale

 

Per descrivere il principio di conservazione dell'energia relativistica ripartiamo da ciò che abbiamo visto nella lezione precedente. Ormai, finché si tratta di problemi e applicazioni della Meccanica Classica, sappiamo bene come risolvere gli esercizi che richiedono l'applicazione del principio di conservazione dell'energia; ma che dire nel contesto della Relatività Ristretta?

 

Nel caso dei fenomeni relativistici l'energia a riposo va tenuta in considerazione come ogni altra forma di energia quando si tratta di impostare un'equazione di conservazione di energia.

 

Si pensi ad esempio ad un processo di decadimento radioattivo spontaneo, in cui un atomo pesante si scinde in due parti più piccole, ognuna delle quali viene sparata via in direzioni opposte in modo che la quantità di moto relativistica totale del sistema si conservi. Se consideriamo la sola energia cinetica relativistica, essa non si conserva: prima della scissione è nulla mentre, alla fine, abbiamo due particelle che viaggiano ognuna con la propria velocità. L'energia cinetica dunque non si conserva (è aumentata) e la stessa cosa si può dire dell'energia a riposo, visto che la somma delle masse dei due frammenti è minore di quella dell'atomo originario. L'energia a riposo è quindi diminuita.

 

Ciò che si è conservato nel sistema delle due particelle è l'energia relativistica totale, data dalla somma dell'energia cinetica relativistica e di quella a riposo: l'aumento della prima compensa la diminuzione della seconda.

 

Nel nostro mondo macroscopico, e più in generale nei fenomeni della vita di tutti i giorni, non abbiamo bisogno di tenere in considerazione l'energia a riposo ma possiamo tranquillamente appoggiarci alle leggi della Meccanica Classica. Di contro quando si parla di interazione tra particelle ad alta velocità non possiamo fare a meno di modificare il nostro concetto di conservazione dell'energia con uno nuovo relativistico.

 

Possiamo allora formulare l'enunciato del principio di conservazione dell'energia relativistica nel modo seguente: in un sistema isolato di particelle, l'energia relativistica totale rimane costante. In formule, possiamo scrivere:

 

E_i=E_f

 

ossia

 

E_{c,i}+E_{0,i}=E_{c,f}+E_{0,f}

 

Dalla formula del principio di conservazione dell'energia relativistica è immediato comprendere che, se durante un urto tra particelle parte della massa iniziale viene persa, non è possibile che l'energia cinetica si conservi perché è cambiata l'energia a riposo del sistema. L'energia totale invece, che è la somma delle due energie, rimane invariata.

 

Esempio sul principio di conservazione dell'energia relativistica totale

 

Proviamo a vedere un semplice esempio numerico. Consideriamo una particella in quiete, di massa a riposo M = 0,75 mg, che si scinde in due parti identiche, ognuna delle quali parte con un velocità di 0,71 c in direzioni opposte per conservare la quantità di moto. Quanto vale la massa delle due nuove particelle?

 

Svolgimento: applichiamo il principio relativistico di conservazione dell'energia sapendo che l'energia cinetica iniziale della particella è nulla, perché in quiete.

 

E_{c,i}+E_{0,i}=E_{c,f}+E_{0,f}

 

da cui

 

0+Mc^2=2m\gamma c^2+2mc^2

 

dove abbiamo sommato le energie cinetiche e le energie a riposo delle due particelle risultanti. Ora proviamo a ricavare la masse delle particelle che si generano dalla frammentazione della prima:

 

 M = 2m \gamma + 2m\ \ \to\ \ M = 2m( \gamma + 1)\ \ \to\ \ m = \frac{M}{2( \gamma + 1)}

 

Sostituiamo i valori numerici:

 

 m = \frac{0,75 \mbox{ mg}}{2\left(\frac{1}{\sqrt{1 - (0,71)^2}} + 1\right)} \simeq 0,16 \mbox{ mg}

 

Da notare che la somma delle due masse delle particelle che si generano dalla frammentazione della prima non è uguale alla massa della particelle iniziale. La massa mancante, e dunque la relativa energia a riposo, si è convertita nell'energia cinetica donata alla due particelle finali.

 

 


 

Ora che abbiamo trattato le principali grandezze della dinamica relativistica possiamo passare a occuparci delle trasformazioni di Lorentz per quantità di moto ed energia. Nel caso siate in cerca di esempi e di esercizi svolti vi invitiamo come al solito a usare la barra di ricerca interna per trovare tutto quello che vi serve. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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