Trasformazioni di Lorentz per quantità di moto ed energia

Le trasformazioni di Lorentz per la quantità di moto relativistica e per l'energia relativistica costituiscono un sistema di leggi di composizione che permettono di trasformare le componenti della quantità di moto e l'energia cinetica di un corpo, note la sua massa a riposo e le velocità misurate in due sistemi di riferimento inerziali.

 

Quando abbiamo definito la quantità di moto relativistica e l'energia relativistica abbiamo considerato un corpo in moto rettilineo uniforme rispetto a un generico sistema di riferimento S. Memori delle leggi di composizione studiate fin qui, potremmo domandarci quali siano le formule che consentono di trasformare la quantità di moto e l'energia tra due sistemi di riferimento inerziali.

 

In questa lezione daremo una risposta precisa a tale domanda e scriveremo le formule di Lorentz per quantità di moto ed energia; per semplificare la spiegazione ci concentreremo su un caso particolare, esattamente come abbiamo fatto per le trasformazioni di Lorentz per posizione e tempo.

 

Leggi di trasformazione di Lorentz per quantità di moto ed energia

 

Nello studio della Relatività Ristretta abbiamo rivisto i concetti di quantità di moto e di energia. Entrambe le grandezze dipendono dalla velocità del moto della particella, e sappiamo bene che le velocità non sono uguali per qualunque osservatore, ma cambiano secondo le leggi di composizione relativistica delle velocità. È chiaro quindi che anche la quantità di moto e l'energia non possano essere le stesse in qualunque sistema di riferimento inerziale.

 

Questo fatto valeva già in Meccanica Classica: una borsa appoggiata sul sedile di un'auto che viaggia a velocità v ha una quantità di moto p=mv e un'energia cinetica E=\frac{1}{2}mv^2 per chi guarda l'auto dal bordo della strada, ma per l'autista entrambe le grandezze sono nulle perché la borsa è ferma nel proprio sistema di riferimento. Nell'esempio abbiamo ragionato pensando alla relatività galileiana, ma in Relatività Ristretta ci aspettiamo qualcosa di diverso.

 

Per semplicità d'esposizione consideriamo il caso di un sistema S' in moto rettilineo uniforme rispetto a un altro sistema S, con velocità costante v_0, in modo che le direzioni degli assi x,x' coincidano. Indichiamo con p_x,p_y,p_z,E,v e con p'_x,p'_y,p'_z,E',v' le grandezze misurate rispettivamente da un osservatore solidale a S e a S' e infine con m_0 la massa a riposo del corpo.

 

Osserviamo inoltre che un corpo in moto con velocità v e con velocità v' rispetto ai sistemi S e S' avrà due diversi fattore di Lorentz relativi ai due sistemi. Li chiameremo \gamma(v) e \gamma(v').

 

Le trasformazioni di Lorentz per la quantità di moto relativistica e per l'energia relativistica sono le seguenti:

 

 \begin{cases} p'_x = \gamma(v) \left( p_x - \frac{v}{c^2} E \right) \\ p'_y = p_y \\ p'_z = p_z \\ E' = \gamma(v) (E - vp_x) \end{cases}

 

dove le leggi di composizione di \vec{p} sono espresse per componenti, essendo la quantità di moto una grandezza vettoriale. Il sistema è praticamente identico nella struttura alle trasformazioni di Lorentz per le tre coordinate spaziali e per il tempo.

 

Le trasformazioni inverse sono date dalle seguenti formule:

 

 \begin{cases} p_x = \gamma(v) \left( p'_x + \frac{v}{c^2} E' \right) \\ p_y = p'_y \\ p_z = p'_z \\ E = \gamma(v) (E' + vp'_x) \end{cases}

 

In entrambi i casi le trasformazioni vengono espresse mediante la velocità v del corpo misurata nel sistema S e tramite il relativo fattore di Lorentz \gamma(v).

 

Come ricavare le trasformazioni di Lorentz per quantità di moto ed energia

 

Possiamo ricavare le trasformazioni scritte in precedenza appoggiandoci alle leggi di composizione relativistica delle velocità:

 

\begin{cases} v'_x = \dfrac{v_x - v_0}{1 - \frac{v_0}{c^2} v_x} \\ \\ v'_y = \dfrac{v_y}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right) } \\ \\ v'_z = \dfrac{v_z}{\gamma \left( 1 - \frac{v_0}{c^2} v_x \right) } \end{cases}

 

Scriviamo le tre componenti della quantità di moto per un osservatore nel sistema S e l'energia misurata:

 

\\ p_x = \gamma(v) m_0v_x= \frac{m_0v_x}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\\ \\ \\ p_y = \gamma(v) m_0 v_y=\frac{m_0v_y}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\\ \\ \\ p_z = \gamma(v) m_0 v_z = \frac{m_0v_z}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\\ \\ \\ E=\gamma(v) m _0c^2=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

 

Per un osservatore nel sistema S', in moto rettilineo uniforme rispetto al primo, avremo diverse componenti della quantità di moto e un diverso valore di energia:

 

\\ p'_x = \gamma(v') m_0 v'_x=\frac{m_0v'_x}{\sqrt{1 - \frac{v'^2}{c^2}}}\\ \\ \\ p'_y = \gamma(v') m_0 v'_y=\frac{m_0v'_y}{\sqrt{1 - \frac{v'^2}{c^2}}}\\ \\ \\ p'_z = \gamma(v') m_0 v'_z=\frac{m_0v'_z}{\sqrt{1 - \frac{v'^2}{c^2}}}\\ \\ \\ E' = \gamma(v') m_0 c^2=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v'^2}{c^2}}}

 

Ricordando che v_0 indica la velocità costante del sistema S' rispetto a S, possiamo esprimere la legge di trasformazione del fattore di Lorentz nella seguente forma:

 

 \gamma(v') = \gamma(v) \gamma(v_0) \left( 1 - \frac{v_xv_0}{c^2} \right)

 

Da cui possiamo scrivere 

 

 \gamma(v') = \frac{ 1 - \frac{v_xv_0}{c^2} }{ \sqrt{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) \left( 1 - \frac{v_0^2}{c^2} \right) } }

 

Ora scriviamo la trasformazione per la prima componente della quantità di moto. Procediamo usando la legge di composizione relativistica delle velocità e sostituendo l'espressione di \gamma(v') nell'equazione di p'_x

 

 p'_x = \frac{m_0 (v_x - v_0)}{1 - \frac{v_xv_0}{c^2}} \cdot \frac{ 1 - \frac{v_xv_0}{c^2} }{ \sqrt{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) \left( 1 - \frac{v_0^2}{c^2} \right) } } = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v_0^2}{c^2} }} \frac{ m_0 (v_x - v_0)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}=

 

Facciamo attenzione a non confondere le due velocità: quella della particella v e le sue componenti e quella del sistema di riferimento S' in moto rispetto ad S e che abbiamo indicato con v_0 per chiarezza. Usando le definizioni della prima componente della quantità di moto e dell'energia che abbiamo scritto all'inizio della dimostrazione, otteniamo:

 

= \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v^2}{c^2} }} \left( p_x - \frac{v_0}{c^2} E \right) = \gamma(v) \left( p_x - \frac{v_0}{c^2} E \right)

 

Procediamo nello stesso modo anche per la seconda componente p_y

 

 p'_y = \frac{m_0v_y \sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}}{1 - \frac{v_xv_0}{c^2}} \cdot \frac{1 - \frac{v_xv_0}{c^2}}{\sqrt{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) \left( 1 - \frac{v_0^2}{c^2} \right) }} = \frac{m_0v_y}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}=p_y

 

Questa componente non è cambiata ed è così anche per la terza componente p'_z=p_z.

 

Passando invece all'energia relativistica:

 

 E' = \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{v_0^2}{c^2} }} \cdot \frac{m_0c^2 \left( 1 - \frac{v_xv_0}{c^2} \right)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma(v) (E - vp_x)

 

Ed ecco che siamo giunti alle trasformazioni di Lorentz della quantità di moto e dell'energia che volevamo trovare.

 

 

Osservazione (analogie rispetto alle trasformazioni di Lorentz per posizione e tempo)

 

Le grandezze \frac{E}{c},p_x,p_y,p_z si trasformano esattamente come ct,x,y,z nelle normali trasformazioni di Lorentz per le coordinate spazio-temporali.

 

 


 

Nella prossima lezione approfondiremo la relazione tra l'energia relativistica e la quantità di moto relativistica. Nel caso siate in cerca di approfondimenti e/o di esercizi svolti vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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