Relazione relativistica tra energia e quantità di moto

La relazione relativistica tra energia e quantità di moto, detta anche teorema di Pitagora relativistico, è una formula che lega l'energia relativistica e la quantità di moto relativistica. Essa differisce rispetto alla relazione classica tra le due grandezze e si riduce ad essa per velocità di molto inferiori rispetto a quella della luce nel vuoto.

In questa lezione riportiamo una formula estremamente importante in Relatività Ristretta: il cosiddetto teorema di Pitagora relativistico, o più precisamente un'equazione che mette in relazione l'energia e la quantità di moto per fenomeni relativistici.

Oltre a spiegarne il significato e le implicazioni fisiche (esistenza di particelle con massa nulla), effettueremo un confronto rispetto al caso della Meccanica Classica mettendo in luce le sostanziali differenze.

Relazione relativistica tra energia e quantità di moto

Abbiamo visto come siano differenti le definizioni di energia relativistica e di quantità di moto relativistica rispetto a quanto visto in Meccanica Classica. Un'ulteriore "novità" rispetto al caso classico riguarda la relazione tra queste due grandezze, che tra l'altro può rivelarsi molto utile nelle applicazioni e negli esercizi.

L'energia totale di una particella può essere scritta in funzione della quantità di moto secondo la seguente equazione:

$E = \sqrt{(pc)^2 + (m_0c^2)^2}$

Si tratta di una sorta di teorema di Pitagora, che non a caso viene anche detto teorema di Pitagora relativistico. Il secondo termine all'interno della radice è l'energia a riposo Se vogliamo esplicitare tutti i termini, possiamo riscrivere la relazione precedente in un modo equivalente:

$E = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^{4}}$

Relazione tra energia e quantità di moto dal caso relativistico al caso classico

Anche questa volta siamo arrivati a un'espressione completamente differente da quella che avevamo in Meccanica Classica. Nel caso classico abbiamo infatti un'energia che, per una particella libera, corrisponde alla sola energia cinetica e una quantità di moto priva del fattore di Lorentz.

$\left.\begin{matrix}E_{c} = \frac{1}{2}mv^2\\ \\ p = mv\end{matrix}\right\}\ \ \ (\mbox{Meccanica Classica})$

Qui abbiamo indicato la massa con ma avremmo potuto indifferentemente scrivere , poiché nel caso classico il concetto di massa è assoluto. Se proviamo a scrivere l'energia in funzione della quantità di moto, otteniamo:

$E_{c} = \frac{p^2}{2m}\ \ \ (\mbox{Meccanica Classica})$

Come sempre ci aspettiamo che la nuova relazione relativistica si riduca a quella della Meccanica Classica nel limite in cui le velocità sono molto più piccole della velocità della luce , e in effetti si può dimostrare che così è.

Dimostrazione della relazione relativistica tra quantità di moto ed energia

Vediamo ora di ricavare la relazione tra energia e quantità di moto che abbiamo scritto all'inizio di questa lezione. Innanzitutto consideriamo la definizione di energia totale ed eleviamola al quadrato:

$E = m_0c^2 \gamma = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\ \ \to\ \ E^2 = \frac{m_0^2c^{4}}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Ora facciamo la stessa cosa con la quantità di moto relativistica:

$p = m_0 \gamma v = \frac{m_0v}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\ \ \to\ \ p^2 = \frac{m_0^2v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

Dividiamo per

$\frac{E^2}{c^2} = \frac{m_0^2c^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}$

e calcoliamo la differenza tra $\frac{E^2}{c^2}$ e

$\frac{E^2}{c^2} - p^2 = \frac{m_0^2c^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} - \frac{m_0^2v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{m_0^2(c^2 - v^2)}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \\ \\ \\ = \frac{m_0^2(c^2 - v^2)}{ \frac{c^2 - v^2}{c^2}} = m_0^2(c^2 - v^2) \cdot \frac{c^2}{c^2 - v^2} = m_0^2c^2$

per cui ricaviamo

$\frac{E^2}{c^2} - p^2 = m_0^2c^2$

Riscriviamo quest'ultima relazione in favore dell'energia relativistica

$E^2 - p^2c^2 = m_0^2c^4\\ \\ E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4\\ \\ E = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4}$

ossia la formula scritta inizialmente.

Osservazione (teorema di Pitagora relativistico e particelle di massa nulla)

La cosa interessante (e un po' strana, se volete) è che questa relazione ammette la possibilità che esistano particelle con massa nulla. È un'altro di quei concetti della relatività che potrebbero risultare un po' indigesti, ma se poniamo nell'equazione dell'energia, otteniamo:

$m_0=0\ \ \implies\ \ E = pc$

In natura sono esempi di particelle di massa nulla i fotoni, le particelle della luce e in generale di qualunque radiazione elettromagnetica. Un fotone quindi viaggia esattamente alla velocità della luce in qualunque sistema di riferimento inerziale, così come stabilisce il secondo postulato della Relatività Ristretta.

Con le sole leggi della Meccanica Classica non sarebbe stato possibile riuscire a formulare questo concetto, infatti da

$E_{c} = \frac{p^2}{2m}\ \ \ (\mbox{Meccanica Classica})$

se la massa fosse nulla, si annullerebbe il denominatore e l'intera espressione perde di significato.

Pronti per affrontare il concetto di forza relativistica? Se sì, ci vediamo nella lezione successiva! ;) Per tutto il resto non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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Tags: teorema di Pitagora relativistico e formula del legame relativistico tra energia e quantità di moto.