Relazione relativistica tra energia e quantità di moto

La relazione relativistica tra energia e quantità di moto, detta anche teorema di Pitagora relativistico, è una formula che lega l'energia relativistica e la quantità di moto relativistica. Essa differisce rispetto alla relazione classica tra le due grandezze e si riduce ad essa per velocità di molto inferiori rispetto a quella della luce nel vuoto.

 

In questa lezione riportiamo una formula estremamente importante in Relatività Ristretta: il cosiddetto teorema di Pitagora relativistico, o più precisamente un'equazione che mette in relazione l'energia e la quantità di moto per fenomeni relativistici.

 

Oltre a spiegarne il significato e le implicazioni fisiche (esistenza di particelle con massa nulla), effettueremo un confronto rispetto al caso della Meccanica Classica mettendo in luce le sostanziali differenze.

 
 

Relazione relativistica tra energia e quantità di moto

 

Abbiamo visto come siano differenti le definizioni di energia relativistica e di quantità di moto relativistica rispetto a quanto visto in Meccanica Classica. Un'ulteriore "novità" rispetto al caso classico riguarda la relazione tra queste due grandezze, che tra l'altro può rivelarsi molto utile nelle applicazioni e negli esercizi.

 

L'energia totale di una particella può essere scritta in funzione della quantità di moto secondo la seguente equazione:

 

E = √((pc)^2+(m_0c^2)^2)

 

Si tratta di una sorta di teorema di Pitagora, che non a caso viene anche detto teorema di Pitagora relativistico. Il secondo termine all'interno della radice è l'energia a riposo E_0 = m_0c^2 Se vogliamo esplicitare tutti i termini, possiamo riscrivere la relazione precedente in un modo equivalente:

 

E = √(p^2c^2+m_0^2c^(4))

 

Relazione tra energia e quantità di moto dal caso relativistico al caso classico

 

Anche questa volta siamo arrivati a un'espressione completamente differente da quella che avevamo in Meccanica Classica. Nel caso classico abbiamo infatti un'energia che, per una particella libera, corrisponde alla sola energia cinetica e una quantità di moto priva del fattore di Lorentz.

 

.E_(c) = (1)/(2)mv^2 ; p = mv (Meccanica Classica)

 

Qui abbiamo indicato la massa con m ma avremmo potuto indifferentemente scrivere m_0, poiché nel caso classico il concetto di massa è assoluto. Se proviamo a scrivere l'energia in funzione della quantità di moto, otteniamo:

 

E_(c) = (p^2)/(2m) (Meccanica Classica)

 

Come sempre ci aspettiamo che la nuova relazione relativistica si riduca a quella della Meccanica Classica nel limite in cui le velocità sono molto più piccole della velocità della luce (v < < c), e in effetti si può dimostrare che così è.

 

Dimostrazione della relazione relativistica tra quantità di moto ed energia

 

Vediamo ora di ricavare la relazione tra energia e quantità di moto che abbiamo scritto all'inizio di questa lezione. Innanzitutto consideriamo la definizione di energia totale ed eleviamola al quadrato:

 

E = m_0c^2 γ = (m_0c^2)/(√(1-(v^2)/(c^2))) → E^2 = (m_0^2c^(4))/(1-(v^2)/(c^2))

 

Ora facciamo la stessa cosa con la quantità di moto relativistica:

 

p = m_0 γ v = (m_0v)/(√(1-(v^2)/(c^2))) → p^2 = (m_0^2v^2)/(1-(v^2)/(c^2))

 

Dividiamo E^2 per c^2

 

(E^2)/(c^2) = (m_0^2c^2)/(1-(v^2)/(c^2))

 

e calcoliamo la differenza tra (E^2)/(c^2) e p^2

 

(E^2)/(c^2)-p^2 = (m_0^2c^2)/(1-(v^2)/(c^2))-(m_0^2v^2)/(1-(v^2)/(c^2)) = (m_0^2(c^2-v^2))/(1-(v^2)/(c^2)) = (m_0^2(c^2-v^2))/((c^2-v^2)/(c^2)) = m_0^2(c^2-v^2)·(c^2)/(c^2-v^2) = m_0^2c^2

 

per cui ricaviamo

 

(E^2)/(c^2)-p^2 = m_0^2c^2

 

Riscriviamo quest'ultima relazione in favore dell'energia relativistica

 

E^2-p^2c^2 = m_0^2c^4 ; E^2 = p^2c^2+m_0^2c^4 ; E = √(p^2c^2+m_0^2c^4)

 

ossia la formula scritta inizialmente.

 

 

Osservazione (teorema di Pitagora relativistico e particelle di massa nulla)

 

La cosa interessante (e un po' strana, se volete) è che questa relazione ammette la possibilità che esistano particelle con massa nulla. È un'altro di quei concetti della relatività che potrebbero risultare un po' indigesti, ma se poniamo m = 0 nell'equazione dell'energia, otteniamo:

 

m_0 = 0 ⇒ E = pc

 

In natura sono esempi di particelle di massa nulla i fotoni, le particelle della luce e in generale di qualunque radiazione elettromagnetica. Un fotone quindi viaggia esattamente alla velocità della luce c in qualunque sistema di riferimento inerziale, così come stabilisce il secondo postulato della Relatività Ristretta.

 

Con le sole leggi della Meccanica Classica non sarebbe stato possibile riuscire a formulare questo concetto, infatti da

 

E_(c) = (p^2)/(2m) (Meccanica Classica)

 

se la massa fosse nulla, si annullerebbe il denominatore e l'intera espressione perde di significato.

 

 


 

Pronti per affrontare il concetto di forza relativistica? Se sì, ci vediamo nella lezione successiva! ;) Per tutto il resto non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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