Forza relativistica

La forza relativistica è un concetto che corregge la classica nozione di forza per come è definita in Dinamica Classica; la forza relativistica viene definita a partire dalla seconda legge di Newton come derivata rispetto al tempo della quantità di moto relativistica, e ha la caratteristica di non essere necessariamente parallela all'accelerazione.

 

Un'ulteriore grandezza della Dinamica che dobbiamo rivedere in termini relativistici è la forza. Fortunatamente nelle precedenti lezioni abbiamo già trattato la quantità di moto relativistica, per cui vedremo come sia possibile ricavare la formula della forza relativistica partendo dal secondo principio della Dinamica facendo riferimento alla nozione di quantità di moto relativistica.

 

Oltre alla dimostrazione che permette di ricavare l'equazione della forza relativistica ne commenteremo le conseguenze, mettendo in evidenza le differenze rispetto al caso classico e come essa si riduca alla definizione della forza classica per velocità molto inferiori rispetto a quella della luce.

 
 
 

Definizione e formula della forza relativistica

 

Per introdurre la formula della forza relativistica ripartiamo con un piccolo riassunto della teoria. In Meccanica Classica la seconda legge di Newton consente di esprimere una forza, nel modo più generale, in termini della variazione della quantità di moto nel tempo.

 

 \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (m \vec{v})

 

La quantità di moto in Meccanica Classica era data semplicemente dal prodotto della massa per la velocità ma, in Relatività Ristretta, questa definizione non può essere valida. Se infatti applicassimo una certa forza costante per un tempo sufficientemente lungo, la velocità del corpo aumenterebbe in modo progressivo senza limiti e quindi potrebbe anche superare la velocità della luce nel vuoto. Questo però non è possibile ed è quindi chiaro che la seconda legge di Newton va rivista.

 

La relatività galileiana inoltre stabiliva che le accelerazioni erano uguali in due sistemi di riferimento inerziali ma abbiamo visto che, con la composizione relativistica delle accelerazioni, a\ \mbox{e} \ a' non sono più uguali.

 

Diciamo allora che, in Relatività Ristretta, la struttura dell'equazione è la stessa rispetto alla Meccanica Classica se la intendiamo come variazione nel tempo della quantità di moto, con la differenza che ora dobbiamo considerare la quantità di moto relativistica con l'aggiunta del fattore di Lorentz. Possiamo così scrivere una prima definizione di forza relativistica:

 

 \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt} (m_0 \gamma \vec{v})

 

Questo cambia profondamente il nostro concetto classico di forza. Se ora deriviamo rispetto al tempo la quantità di moto otteniamo la somma di due termini:

 

 \vec{F} = m_ 0\gamma \frac{d \vec{v}}{dt} + m_0\vec{v} \frac{d \gamma}{dt} = m_0 \gamma \vec{a} + m_0 \vec{v} \frac{d \gamma}{dt}\ \ \ (\bullet)

 

Non dimentichiamo che anche il fattore di Lorentz è dipendente dal tempo, perché dipende dalla velocità, e quindi va a sua volta derivato rispetto alla variabile t. Ecco che la forza non è più parallela all'accelerazione, bensì è data dalla somma di due vettori con diverse direzioni: il primo parallelo all'accelerazione, il secondo invece parallelo alla velocità. Questo è un aspetto che cambia di molto la nozione di forza alla quale eravamo abituati.

 

Proviamo a calcolare la derivata temporale del fattore di Lorentz esprimendo il quadrato del modulo della velocità in termini vettoriali, ricordando che il prodotto scalare di un vettore con se stesso equivale al modulo del vettore al quadrato. Per calcolare la derivata esprimiamo inoltre la radice come potenza con esponente fratto e applichiamo la regola per la derivata della funzione composta

 

\\  \frac{d \gamma}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{d}{dt}\left(1-\frac{\vec{v}\cdot \vec{v}}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}}= \\ \\ \\ =-\frac{1}{2}\left(1-\frac{\vec{v}\cdot \vec{v}}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\cdot \frac{d}{dt}\left(1-\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{c^2}\right)=

 

Applichiamo la regola di derivazione del prodotto e teniamo a mente che il prodotto scalare è commutativo:

 

=-\frac{1}{2}\left(1-\frac{\vec{v}\cdot \vec{v}}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}\cdot \left(-\frac{2\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}}{c^2}\right)=\frac{\vec{v} \cdot \frac{d \vec{v}}{dt}}{c^{2} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\gamma^{3}}{c^{2}} \vec{v} \cdot \vec{a}

 

A questo punto possiamo riscrivere la formula della forza relativistica mettendo in evidenza il termine che contiene l'accelerazione:

 

 m_0 \gamma \vec{a} = \vec{F} - m_0 \gamma^{3} \frac{\vec{v}}{c^{2}} (\vec{v} \cdot \vec{a})\ \ \ (\bullet)

 

Moltiplichiamo scalarmente quest'ultima equazione per il vettore velocità:

 

 m_0 \gamma (\vec{v} \cdot \vec{a}) = \vec{F} \cdot \vec{v} - m_0 \gamma^{3} \frac{v^{2}}{c^{2}} (\vec{v} \cdot \vec{a})

 

Spostiamo a sinistra i due termini che contengono i prodotti tra la velocità e l'accelerazione:

 

\\ m_0 \gamma (\vec{v} \cdot \vec{a}) + m_0 \gamma^{3} \frac{v^{2}}{c^{2}} (\vec{v} \cdot \vec{a}) = \vec{F} \cdot \vec{v} \\ \\ \\  m_0 (\vec{v} \cdot \vec{a}) \left( \gamma + \gamma^{3} \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) = \vec{F} \cdot \vec{v}\ \ \ (\bullet\bullet)

 

Lavoriamo sul termine che è comparso tra le parentesi tonde a primo membro:

 

 \gamma + \gamma^{3} \frac{v^{2}}{c^{2}} = \gamma \left( 1 + \gamma^{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) = \gamma \left( 1 + \frac{1}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) = \\ \\ \\ = \gamma \left( 1 + \frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}} \frac{v^{2}}{c^{2}} \right) = \gamma \left( \frac{c^{2} - v^{2} + v^{2}}{ c^{2} - v^{2}} \right) = \\ \\ \\ = \gamma \left( \frac{c^{2}}{c^{2} \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right)} \right) = \gamma^{3}

 

Di conseguenza la (\bullet\bullet) diventa:

 

 m_0 \gamma^{3} (\vec{v} \cdot \vec{a}) = \vec{F} \cdot \vec{v}

 

Inserendo quanto abbiamo appena trovato nella relazione della forza (\bullet), otteniamo:

 

 m_0 \gamma \vec{a} = \vec{F} - (\vec{F} \cdot \vec{v}) \frac{\vec{v}}{c^{2}}

 

e quindi:

 

 m_0 \vec{a} = \frac{1}{\gamma} \left[ \vec{F} - (\vec{F} \cdot \vec{v}) \frac{\vec{v}}{c^{2}} \right]

 

Ecco un'altra formulazione dell'equazione della forza in Relatività Ristretta dove il prodotto della massa per l'accelerazione non è più semplicemente uguale alla forza, ma ad una scrittura più complessa.

 

Nel caso particolare in cui i vettori forza, accelerazione e velocità sono paralleli, allora l'equazione della forza relativistica si riduce a:

 

\vec{F}=m_0\gamma^3\vec{a}\ \ \ \mbox{se }\vec{F}\parallel\vec{a}\parallel\vec{v}

 

Da qui si può vedere che, per velocità molto inferiori a quella della luce (v<<c) il fattore di Lorentz si approssima a 1 e si torna ad avere la legge della Meccanica Classica \vec{F}=m\vec{a}, dove i vettori forza e accelerazione erano paralleli (mentre il vettore velocità non compariva nell'equazione).

 

 


 

Nella prossima lezione ci staccheremo per un istante dallo sviluppo della teoria della Relatività Ristretta e ci soffermeremo su un aspetto macroscopico studiato fin qui: perché non si può superare la velocità della luce nel vuoto? Non perdetevela! Nel frattempo ricordate che qui su YM potete trovare tutto quello che vi serve, compresi tantissimi esercizi svolti, con la barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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