Invarianti relativistici

Gli invarianti relativistici sono grandezze che non dipendono dal sistema di riferimento inerziale considerato: tra i principali invarianti relativistici si annoverano il cosiddetto quadrato dell'intervallo relativistico (una misura spazio-temporale della distanza tra due eventi) e il quadrato del prodotto tra massa a riposo e velocità della luce.

 

Sappiamo già che la velocità della luce nel vuoto è una costante fisica che non dipende dal sistema inerziale considerato. La domanda che sorge spontanea è: esistono delle grandezze che non dipendono dal sistema inerziale considerato? In altre parole, esistono degli invarianti relativistici? E in caso affermativo, quali sono?

 

Come vedremo tra un istante, nei fenomeni relativistici esistono due importantissime grandezze che restano invariate a prescindere dal sistema di riferimento inerziale scelto per l'osservazione: il cosiddetto intervallo relativistico al quadrato e il quadrato del prodotto tra la massa a riposo e la velocità della luce (m02c2).

 
 
 

Invarianti relativistici: intervallo relativistico al quadrato e m02c2

 

In Relatività esistono delle grandezze che vendono definite invarianti perché rimangono sempre le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Una di queste grandezze è il cosiddetto intervallo relativistico al quadrato, definito nel modo seguente.

 

Presi due eventi (x_A,y_A,z_A,ct_A) e (x_B,y_B,z_B,ct_B), ognuno descritto dalle tre coordinate spaziali e da quella temporale, il quadrato dell'intervallo relativistico è definito in questo modo:

 

 \Delta s^2 = c^2 (t_B - t_A)^2 - (x_B - x_A)^2 - (y_B - y_A)^2 - (z_B - z_A)^2

 

che, in forma più compatta, può anche essere scritto come:

 

 \Delta s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2

 

La somma dei quadrati delle distanze tra ciascuna coordinata spaziale ci dà la distanza complessiva tra i due eventi, secondo le regole della geometria euclidea nello spazio (distanza tra due punti)

 

 \left| \Delta \vec{x} \right| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}

 

La formula del quadrato dell'intervallo relativistico può essere allora riscritta nella seguente forma:

 

 \Delta s^2 = c^2 \Delta t^2 - \left| \Delta \vec{x} \right|^2

 

dove |\Delta\vec{x}| è la norma del vettore \Delta \vec{x}.

 

In altri termini potremmo esprimere la definizione del quadrato dell'intervallo relativistico affermando che è una misura della distanza tra due eventi nello spazio-tempo: l'intervallo relativistico tra due eventi dipende infatti sia dalla loro distanza spaziale, sia della loro distanza temporale.

 

Classificazione degli intervalli relativistici

 

La prima proprietà che si evince dalla definizione è che \Delta s^2, pur essendo elevato al quadrato, può anche assumere valore negativi per via del segno meno che compare tra i due termini a secondo membro. A seconda del segno che assume, si ha la seguente classificazione:

 

- \Delta s^2>0: diremo che l'intervallo è di tipo tempo;

 

- \Delta s^2<0: diremo che l'intervallo è di tipo spazio;

 

- \Delta s^2=0: diremo che l'intervallo è di tipo luce.

 

Tale nomenclatura possiede una motivazione semplice:

 

- per l'intervallo tipo tempo, la distanza temporale c^2\Delta t^2 è maggiore rispetto a quella spaziale |\Delta \vec{x}|^2. Questo vuol dire che i due eventi possono essere collegati da un segnale che viaggia a velocità inferiore alla velocità della luce, cosicché un evento può essere causa dell'altro.

 

- Si ha l'esatto contrario per l'intervallo tipo spazio dove |\Delta \vec{x}|^2 è maggiore di \Delta t^2. In questo caso i due eventi non possono essere collegati in nessun modo perché sarebbe necessario un segnale che viaggia più veloce della luce. I due eventi non sono quindi legati da nessun rapporto di causa-effetto.

 

- Abbiamo infine un intervallo tipo luce quando si realizza c\Delta t=|\Delta \vec{x}|. L'intervallo relativistico si annulla solo per raggi di luce che si muovono a velocità uguale a c. Per essi infatti lo spazio percorso tra il punto in cui viene emesso il segnale luminoso e il punto in cui viene ricevuto è uguale alla velocità c per il tempo impiegato \Delta t (è il principio che abbiamo usato nella dimostrazione delle trasformazioni di Lorentz). Se l'intervallo è di tipo luce, due eventi possono essere legati da un principio di causa-effetto solo tramite un segnale luminoso.

 

Perché l'intervallo relativistico al quadrato è un invariante relativistico

 

Vediamo ora perché il quadrato dell'intervallo relativistico è un invariante relativistico. Consideriamo il caso più semplice in cui il primo evento ha coordinate (0,0,0,0) e il secondo (x,y,z,ct) in un certo sistema di riferimento inerziale. In tale sistema, abbiamo:

 

 \Delta s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2

 

In un altro sistema di riferimento inerziale gli stessi eventi avranno coordinate (0,0,0,0) e (x',y',z',ct') e sono legate alle coordinate del primo sistema dalle trasformazioni di Lorentz. Nel secondo sistema di riferimento allora avremo un intervallo al quadrato che possiamo scrivere nel modo seguente:

 

 \Delta s'^2 = c^2 \Delta t'^2 - \Delta x'^2 - \Delta y'^2 - \Delta z'^2 = c^2t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2

 

Tramite le trasformazioni di Lorentz, otteniamo:

 

 \Delta s'^2 = c^2t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 =\\ \\ = c^2 \frac{ \left( t - \frac{v}{c^2}x \right)^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} - \frac{(x - vt)^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} - y^2 - z^2 = \\ \\ \\ =\frac{c^2 \left( t^2 - 2\frac{v}{c^2}tx + \frac{v^2}{c^{4}}x^2 \right) - x^2 + 2vxt - v^2t^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} - y^2 - z^2 = \\ \\ \\ =\frac{c^2t^2 - 2vxt + \frac{v^2}{c^2}x^2 - x^2 + 2vxt - v^2t^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} - y^2 - z^2 = \\ \\ \\ =\frac{c^2t^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right) - x^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right) }{1 - \frac{v^2}{c^2}} - y^2 - z^2 = \\ \\ \\ =c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2 = \Delta s^2  

 

Come vedete i due intervalli sono identici in entrambi i sistemi di riferimento inerziali. Nel passaggio da un sistema ad un altro, le singole distanze spaziali e temporali possono variare, ma il quadrato dell'intervallo relativistico \Delta s^2 rimane invariato.

 

L'invariante relativistico per energia e quantità di moto

 

Un altro importantissimo invariante relativistico coinvolge l'energia totale relativistica e la quantità di moto relativistica, e discende dalla relazione già vista quando abbiamo presentato il teorema di Pitagora relativistico

 

 \frac{E^2}{c^2} - p^2 = m_0^2c^2

 

La quantità m02c2 rimane invariata in tutti i sistemi di riferimento inerziali, anche se l'energia totale e la quantità di moto singolarmente possono variare secondo le rispettive trasformazioni di Lorentz.

 

 


 

Nella prossima lezione (la penultima del corso di Relatività Ristretta) riguarderà i diagrammi spazio-tempo di Minkowski. Come al solito invitiamo chiunque sia in cerca di esercizi svolti ad usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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