Invarianti relativistici

Gli invarianti relativistici sono grandezze che non dipendono dal sistema di riferimento inerziale considerato: tra i principali invarianti relativistici si annoverano il cosiddetto quadrato dell'intervallo relativistico (una misura spazio-temporale della distanza tra due eventi) e il quadrato del prodotto tra massa a riposo e velocità della luce.

Sappiamo già che la velocità della luce nel vuoto è una costante fisica che non dipende dal sistema inerziale considerato. La domanda che sorge spontanea è: esistono delle grandezze che non dipendono dal sistema inerziale considerato? In altre parole, esistono degli invarianti relativistici? E in caso affermativo, quali sono?

Come vedremo tra un istante, nei fenomeni relativistici esistono due importantissime grandezze che restano invariate a prescindere dal sistema di riferimento inerziale scelto per l'osservazione: il cosiddetto intervallo relativistico al quadrato e il quadrato del prodotto tra la massa a riposo e la velocità della luce (m02c2).

Invarianti relativistici: intervallo relativistico al quadrato e m02c2

In Relatività esistono delle grandezze che vengono definite invarianti perché rimangono sempre le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Una di queste grandezze è il cosiddetto intervallo relativistico al quadrato, definito nel modo seguente.

Presi due eventi (x_A,y_A,z_A,ct_A) e (x_B,y_B,z_B,ct_B), ognuno descritto dalle tre coordinate spaziali e da quella temporale, il quadrato dell'intervallo relativistico è definito in questo modo:

Δ s^2 = c^2 (t_B−t_A)^2−(x_B−x_A)^2−(y_B−y_A)^2−(z_B−z_A)^2

che, in forma più compatta, può anche essere scritto come:

Δ s^2 = c^2 Δ t^2−Δ x^2−Δ y^2−Δ z^2

La somma dei quadrati delle distanze tra ciascuna coordinata spaziale ci dà la distanza complessiva tra i due eventi, secondo le regole della geometria euclidea nello spazio (distanza tra due punti)

| Δ x | = √(Δ x^2+Δ y^2+Δ z^2)

La formula del quadrato dell'intervallo relativistico può essere allora riscritta nella seguente forma:

Δ s^2 = c^2 Δ t^2−| Δ x |^2

dove |Δx| è la norma del vettore Δ x.

In altri termini potremmo esprimere la definizione del quadrato dell'intervallo relativistico affermando che è una misura della distanza tra due eventi nello spazio-tempo: l'intervallo relativistico tra due eventi dipende infatti sia dalla loro distanza spaziale, sia della loro distanza temporale.

Classificazione degli intervalli relativistici

La prima proprietà che si evince dalla definizione è che Δ s^2, pur essendo elevato al quadrato, può anche assumere valore negativi per via del segno meno che compare tra i due termini a secondo membro. A seconda del segno che assume, si ha la seguente classificazione:

- Δ s^2 > 0: diremo che l'intervallo è di tipo tempo;

- Δ s^2 < 0: diremo che l'intervallo è di tipo spazio;

- Δ s^2 = 0: diremo che l'intervallo è di tipo luce.

Tale nomenclatura possiede una motivazione semplice:

- per l'intervallo tipo tempo, la distanza temporale c^2Δ t^2 è maggiore rispetto a quella spaziale |Δ x|^2. Questo vuol dire che i due eventi possono essere collegati da un segnale che viaggia a velocità inferiore alla velocità della luce, cosicché un evento può essere causa dell'altro.

- Si ha l'esatto contrario per l'intervallo tipo spazio dove |Δ x|^2 è maggiore di Δ t^2. In questo caso i due eventi non possono essere collegati in nessun modo perché sarebbe necessario un segnale che viaggia più veloce della luce. I due eventi non sono quindi legati da nessun rapporto di causa-effetto.

- Abbiamo infine un intervallo tipo luce quando si realizza cΔ t = |Δ x|. L'intervallo relativistico si annulla solo per raggi di luce che si muovono a velocità uguale a c. Per essi infatti lo spazio percorso tra il punto in cui viene emesso il segnale luminoso e il punto in cui viene ricevuto è uguale alla velocità c per il tempo impiegato Δ t (è il principio che abbiamo usato nella dimostrazione delle trasformazioni di Lorentz). Se l'intervallo è di tipo luce, due eventi possono essere legati da un principio di causa-effetto solo tramite un segnale luminoso.

Perché l'intervallo relativistico al quadrato è un invariante relativistico

Vediamo ora perché il quadrato dell'intervallo relativistico è un invariante relativistico. Consideriamo il caso più semplice in cui il primo evento ha coordinate (0,0,0,0) e il secondo (x,y,z,ct) in un certo sistema di riferimento inerziale. In tale sistema, abbiamo:

Δ s^2 = c^2 Δ t^2−Δ x^2−Δ y^2−Δ z^2 = c^2t^2−x^2−y^2−z^2

In un altro sistema di riferimento inerziale gli stessi eventi avranno coordinate (0,0,0,0) e (x',y',z',ct') e sono legate alle coordinate del primo sistema dalle trasformazioni di Lorentz. Nel secondo sistema di riferimento allora avremo un intervallo al quadrato che possiamo scrivere nel modo seguente:

Δ s'^2 = c^2 Δ t'^2−Δ x'^2−Δ y'^2−Δ z'^2 = c^2t'^2−x'^2−y'^2−z'^2

Tramite le trasformazioni di Lorentz, otteniamo:

Δ s'^2 = c^2t'^2−x'^2−y'^2−z'^2 = c^2 ((t−(v)/(c^2)x)^2)/(1−(v^2)/(c^2))−((x−vt)^2)/(1−(v^2)/(c^2))−y^2−z^2 = (c^2 (t^2−2(v)/(c^2)tx+(v^2)/(c^(4))x^2)−x^2+2vxt−v^2t^2)/(1−(v^2)/(c^2))−y^2−z^2 = (c^2t^2−2vxt+(v^2)/(c^2)x^2−x^2+2vxt−v^2t^2)/(1−(v^2)/(c^2))−y^2−z^2 = (c^2t^2 (1−(v^2)/(c^2))−x^2 (1−(v^2)/(c^2)))/(1−(v^2)/(c^2))−y^2−z^2 = c^2t^2−x^2−y^2−z^2 = Δ s^2 

Come vedete i due intervalli sono identici in entrambi i sistemi di riferimento inerziali. Nel passaggio da un sistema ad un altro, le singole distanze spaziali e temporali possono variare, ma il quadrato dell'intervallo relativistico Δ s^2 rimane invariato.

L'invariante relativistico per energia e quantità di moto

Un altro importantissimo invariante relativistico coinvolge l'energia totale relativistica e la quantità di moto relativistica, e discende dalla relazione già vista quando abbiamo presentato il teorema di Pitagora relativistico

(E^2)/(c^2)−p^2 = m_0^2c^2

La quantità m02c2 rimane invariata in tutti i sistemi di riferimento inerziali, anche se l'energia totale e la quantità di moto singolarmente possono variare secondo le rispettive trasformazioni di Lorentz.

Nella prossima lezione (la penultima del corso di Relatività Ristretta) riguarderà i diagrammi spazio-tempo di Minkowski. Come al solito invitiamo chiunque sia in cerca di esercizi svolti ad usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

Buona Fisica a tutti!

Alessandro Catania (Alex)

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