Spazio-tempo di Minkowski

Lo spazio-tempo (o spaziotempo, o cronotopo) in Relatività Ristretta è un sistema quadridimensionale descritto da tre coordinate spaziali e da una coordinata temporale. I diagrammi di Minkowski forniscono un metodo per rappresentare lo spaziotempo mediante due coordinate, di cui una spaziale e una temporale.

 

Uno delle principali innovazioni della Relatività Ristretta riguarda l'introduzione del concetto di spazio-tempo: a differenza della Meccanica Classica, in Relatività il tempo non è assoluto e va considerato alla stregua di una coordinata spaziale, cosicché la descrizione degli eventi e dei fenomeni richiede inevitabilmente l'utilizzo di quattro coordinate.

 

Qui di seguito partiremo da un rapido riepilogo spiegando cos'è lo spazio-tempo e mostreremo un metodo, introdotto dal fisico lituano Hermann Minkowski nel 1907, per rappresentare graficamente lo spazio-tempo riducendolo a due sole coordinate: i diagrammi di Minkowski per lo spaziotempo.

 
 
 

Diagrammi di Minkowski per lo spazio-tempo

 

In Relatività abbiamo visto che, quando si passa da un sistema di riferimento inerziale a un altro, non cambiano solo le coordinate spaziali ma si trasforma anche la coordinata temporale. Nasce così l'idea di considerare il tempo come un nuova coordinata da aggiungere alle tre coordinate spaziali, creando uno spazio quadridimensionale detto spazio-tempo (o spaziotempo, o cronotopo). Ogni evento è così descritto dalle sue tre coordinate spaziali che identificano la posizione e una coordinata temporale che identifica l'istante di tempo.

 

Rappresentare graficamente uno spazio quadridimensionale non è possibile e va oltre le nostre capacità, infatti possiamo al più rappresentare uno spazio tridimensionale, come avviene ad esempio nel caso delle coordinate cartesiane. Possiamo però rappresentare lo spazio-tempo in modo più semplice, considerando una sola coordinata spaziale x e la coordinata temporale ct. A tal proposito si sceglie di considerare ct e non soltanto t perché il prodotto della velocità della luce per il tempo ci fornisce uno spazio con le dimensioni di una lunghezza, esattamente come per x.

 

Con queste due coordinate costruiamo un piano cartesiano e poniamo x sull'asse delle ascisse e ct sull'asse delle ordinate. Una rappresentazione del genere prende il nome di diagramma di Minkowski per lo spaziotempo, in cui ogni punto del piano individua la posizione di un evento nello spazio e nel tempo.

 

 

Diagramma di Minkowski per lo spazio tempo

Un diagramma di Minkowski per lo spaziotempo.

 

Proprietà di rappresentazione dello spazio-tempo con i diagrammi di Minowski

 

1) Poiché nei diagrammi di Minkowski i punti rappresentano una specifica posizione nello spaziotempo, ossia un evento, ne consegue che i fenomeni fisici (ad esempio il moto di una particella) vengono rappresentati da una linea perché ogni fenomeno corrisponde ad una successione di eventi ciascuno con le proprie coordinate x e t. Tali linee vengono chiamate linee di universo.

 

2) Le linee di universo possono spostarsi verso destra o verso sinistra, ma non si possono piegare verso il basso: se lo facessero, staremmo descrivendo il moto di una particelle che torna indietro nel tempo viaggiando nel passato. Inoltre la pendenza di una linea di universo esprime la velocità del moto della particella.

 

3) Le linee di universo sono generalmente curve ma rispettano sempre una caratteristica: la retta tangente in ogni loro punto forma con l'asse x un angolo maggiore di 45°.

 

\theta>45^\circ\ \ \iff\ \ v<c

 

Vediamo di capire perché. L'origine degli assi rappresenta un evento che avviene in x=0 e t=0. Consideriamo un evento che si evolve nel tempo e nello spazio, ad esempio una particella che parte da ferma e poi accelera lungo l'asse x. Il suo moto è descritto da un linea di universo che passa per l'origine.

 

In accordo con le formule della retta, la tangente a tale linea di universo in ogni suo punto ha un'inclinazione data da:

 

\tan(\theta)= \frac{dy}{dx} = \frac{d(ct)}{dx} = c\frac{dt}{dx} = \frac{c}{v} > 1

 

La tangente dell'angolo acuto che la retta tangente forma con l'asse x è sicuramente maggiore di 1 perché la velocità v della particella è minore della velocità della luce nel vuoto.

 

Di contro, la linea che ha esattamente un'inclinazione di 45° è quella data da un raggio di luce emesso nell'origine e che viaggia a velocità pari a c, facendo sì che la tangente di \theta sia uguale a 1.

 

\theta=45^\circ\ \ \iff\ \ v=c

 

La propagazione di un raggio di luce ha quindi una linea di universo di equazione x=ct e si rappresenta nel diagramma spaziotempo come la bisettrice del primo e del terzo quadrante.

 

4) Se tracciamo una linea orizzontale nel diagramma di Minkowski abbiamo una linea di simultaneità, perché individua eventi collocati in punti diversi dello spazio che avvengono nello stesso istante di tempo, e sono pertanto simultanei.

 

ct=\mbox{costante}\ \ \to\ \ \mbox{ linea di simultaneit}\grave{\mbox{a}}

 

L'asse x rappresenta in particolare l'insieme di tutti gli eventi che avvengono al tempo t=0.

 

5) Se invece tracciamo una retta verticale, otteniamo la linea di universo di una particella ferma in un punto: passa il tempo ma lo spazio non cambia.

 

x=\mbox{costante}\ \ \to\ \ \mbox{linea di universo particella ferma}

 

L'asse y rappresenta dunque la linea di universo di una particella ferma in x=0.

 

 


 

Nella prossima lezione, l'ultima del corso di Relatività Ristretta, parleremo del concetto di cono luce e avremo modo di approfondire lo studio e l'utilizzo dei diagrammi di Minkowski. Per il resto vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna in caso di necessità: qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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