Cono luce

Il cono luce nei diagrammi spazio-tempo di Minkowski è una porzione di diagramma entro cui sono confinati tutti i possibili sviluppi futuri e tutte le possibili cause nel passato di un evento attuale, situato nell'origine dello spazio-tempo.

 

Per chiudere in bellezza le lezioni di Relatività Ristretta vogliamo approfondire lo studio dello spazio-tempo secondo Minkowski. Come vedremo tra un attimo, la rappresentazione del cronotopo con i diagrammi di Minkowski individua automaticamente una porzione del diagramma (il cono luce) che contiene tutto il possibile sviluppo passato e futuro di un dato evento nel presente.

 

Daremo quindi la definizione di cono luce e ne spiegheremo il significato fisico, mostrando come la scelta di Minkowski si riveli vincente e del tutto coerente con le leggi relativistiche a noi note.

 
 
 

Definizione di cono luce nello spaziotempo di Minkowski

 

Nella lezione precedente abbiamo visto le caratteristiche principali dei diagrammi di Minkowski per lo spazio-tempo e abbiamo osservato che la bisettrice del primo-terzo quadrante descrive la propagazione di un raggio di luce che parte dall'origine x=0,\ t=0.

 

Bisogna però aggiungere che, oltre alla bisettrice del primo e terzo quadrante, esiste anche quella del secondo e del quarto quadrante. Infatti possiamo muoverci lungo l'asse x indistintamente verso destra o verso sinistra, e poiché la bisettrice rappresenta la linea di universo di un corpo che si muove alla velocità della luce e non attraversabile da nessun'altra linea di universo, dobbiamo averne una per parte.

 

 

Linee di universo luce nel diagramma di Minkowski

Bisettrici dei quadranti nel diagramma spazio-tempo di Minkowski.

 

 

Inoltre, per quanto non si possano avere linee di universo che curvano verso il basso (altrimenti si tornerebbe indietro nel tempo), possiamo comunque immaginare di estendere le due bisettrici anche per tempi negativi.

 

 

Bisettrici dello spaziotempo nel diagramma di Minkowski

Estensione delle bisettrici per tempi negativi.

 

 

Così facendo otteniamo una sorta di cono piano che si estende indefinitamente sia verso l'alto sia verso il basso. Questo è il diagramma che si ottiene pensando ad un corpo il cui moto è unidimensionale; possiamo estendere la rappresentazione ad un moto bidimensionale e quindi ad un corpo che si muove lungo un piano xy. In questo modo abbiamo due coordinate spaziali e la coordinata dipendente dal tempo. Il cono piano si trasforma quindi in un cono tridimensionale (un cono nel senso più ampio delle quadriche).

 

 

Cono luce

Il cono luce.

 

 

Quello che abbiamo appena rappresentato è il cosiddetto cono luce. L'origine degli assi O rappresenta un evento presente che accade al tempo t=0 e alla coordinata spaziale x=0: rappresenta dunque quello che potremmo chiamare in termini esemplificativi il qui e ora.

 

Significato del cono luce: evento presente, sviluppo nel futuro e possibili cause nel passato

 

A partire dall'evento presente x=0,\ t=0 possono svilupparsi diverse linee di universo verso l'alto, che rappresentano tutti gli sviluppi futuri dell'evento O. Se ci muoviamo verso l'alto, infatti, ci stiamo spostando verso valori temporali maggiori e positivi, quindi ci stiamo muovendo avanti nel tempo. La parte alta del cono luce rappresenta dunque l'insieme di tutte le possibili posizioni spazio-temporali che un corpo può assumere nel suo futuro; ognuna di esse può far parte di una linea di universo, che ci dice come si sviluppa nel tempo il moto del corpo in O.

 

In accordo con le proprietà delle linee universo che abbiamo studiato nella lezione sullo spazio-tempo di Minkowski, qualunque linea di universo deve rimanere confinata all'interno del cono luce: le bisettrici (apotema del cono luce) sono le linee di universo di un raggio di luce emesso in O, pertanto qualunque altro corpo che si muove necessariamente ad una velocità inferiore rispetto a quella della luce, deve essere rappresentato da una linea di universo che ricade all'interno del cono.

 

Di conseguenza non possono esserci linee di universo che fuoriescono dal cono luce, perché descriverebbero un corpo che si muove a velocità superluminare, e quindi non esiste alcun punto al di fuori del cono che sia accessibile da O.

 

La parte inferiore del cono luce invece rappresenta il passato, dove il tempo è negativo: è l'insieme di tutte le possibili posizioni occupate da un corpo nel passato e degli eventi che potenzialmente hanno influenzato l'evento O. Una linea di universo che parte dal basso, passa per l'origine e prosegue nella parte alta, è dunque la rappresentazione temporale della successione di eventi che ha seguito un corpo che si è mosso in un piano al trascorrere del tempo.

 

Infiniti coni luce per lo sviluppo di un fenomeno fisico

 

Se partiamo da un evento in O che poi si sviluppa lunga una certa linea di universo, abbiamo un fenomeno fisico costituito da sequenza di eventi (x,y,ct). Per ciascuno di essi è possibile rappresentare un cono luce, che ci dice quali saranno nel futuro le possibili posizioni che il corpo potrà occupare e quelle che ha potuto occupare in passato a partire da quella particolare posizione e in quell'istante di tempo.

 

 

Infiniti coni luce nello sviluppo di un evento

 Per ogni evento (punto) nell'evoluzione di un fenomeno fisico 
è possibile considerare un cono luce.

 

 

Per concludere osserviamo che la rapprentazione del cono luce è limitata a due coordinate spaziali x,y; se volessimo estenderlo alle tre coordinate x,y,z non saremmo più in grado di disegnarlo.

 

 


 

Le lezioni di Relatività Ristretta terminano qui. Se siete in cerca di esercizi svolti, di lezioni o di risposte per i vostri dubbi, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: lo Staff di YM ha risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande. ;) Se invece volete proseguire con lo studio delle lezioni di Fisica... buon divertimento! :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

Lezione precedente


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