Trasformazioni di Galileo e relatività galileiana

Le trasformazioni di Galileo della posizione (o trasformazioni galileiane) sono leggi che permettono di calcolare la posizione di un corpo in diversi sistemi di riferimento inerziali, e sono alla base della cosiddetta teoria della relatività galileiana.

 

Entriamo nel vivo dello studio dei moti relativi: vogliamo capire come varia la posizione di un corpo se essa viene misurata in sistemi di riferimento diversi e tali da essere inerziali tra loro, cioè tali da muoversi l'uno rispetto all'altro con una velocità costante.

 

Come vedremo tra un'istante ci sono delle semplici formule, dette trasformazioni galileiane, che consentono di valutare la posizione in sistemi inerziali diversi conoscendo la posizione e la velocità di un sistema rispetto all'altro.

 
 
 

Trasformazioni di Galileo della posizione

 

Dati due sistemi di riferimento inerziali, che si muovono dunque di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro, quali sono le formule che ci permettono di calcolare la posizione di un corpo in uno dei due sistemi conoscendo la posizione nell'altro? Galileo fu il primo a porsi tale domanda e, nel formulare la risposta, introdusse le leggi che presero il nome di trasformazioni di Galileo in suo onore.

 

Le trasformazioni galileiane sono la base della teoria della relatività galileiana e spiegano matematicamente come cambia la posizione di un corpo in un sistema di riferimento S quando essa viene misurata in un nuovo sistema di riferimento S', tale da essere inerziale rispetto a S.

 

Formule per le trasformazioni di Galileo

 

Nel prosieguo della lezione enunciamo le formule per le trasformazioni galileiane nel caso di sistemi di riferimento inerziali unidimensionali, bidimensionali e tridimensionali.

 

Partiamo da un semplice esempio per il caso unidimensionale. Siamo fermi sulla banchina di una stazione ferroviaria e, al passaggio di un treno che procede a velocità costante, notiamo su di esso un nostro amico (Marco).

 

 

Trasformazioni di Galileo

Istante iniziale t0=0: i sistemi di riferimento S ed S' coincidono.

 

 

Consideriamo come istante iniziale t_0=0 l'istante di tempo in cui incrociamo lo sguardo con Marco. Consideriamo inoltre la stazione come il nostro sistema di riferimento (S) e il treno, su cui si trova Marco, come secondo sistema di riferimento (S').

 

Poiché il treno viaggia in in moto rettilineo uniforme rispetto alla stazione, sappiamo per definizione che S ed S' sono sistemi di riferimento inerziali.

 

Per come abbiamo scelto i sistemi di riferimento, nell'istante iniziale t_0=0 le origini di entrambi i sistemi coincidono e Marco si trova ad un distanza da noi pari a x', che è anche la distanza di Marco rispetto all'origine del suo sistema di riferimento.

 

Col passare dei secondi Marco si allontana assieme al treno con una velocità costante pari a v.

 

 

Trasformazioni di Galileo per la posizione

Col passare del tempo S' si allontana dall'origine di S
perché si muove con velocità costante rispetto a S. 

 

 

Abbiamo tutto quello che ci serve per ricavare la formula di trasformazione galileiana, ossia la legge per calcolare la posizione x' nel sistema di riferimento S' a partire dalla posizione x nel sistema di riferimento S.

 

In accordo con le formule per il moto rettilineo uniforme, dopo un tempo t l'origine del sistema di riferimento S' del treno si sarà spostata di una lunghezza data da

 

x_0=vt

 

rispetto all'origine del sistema S. Rispetto a noi, che ci troviamo sulla banchina, Marco al tempo t si trova a una distanza che è la somma:

 

- della sua posizione rispetto all'origine di S', ossia x'

 

- della distanza percorsa dall'origine di S' rispetto all'origine di S al tempo t.

 

In una formula:

 

x=x'+x_0

 

ed esprimendo x_0=vt ricaviamo

 

x=x'+vt\ \ \ \mbox{posizione relativa a }S

 

Esplicitando la coordinata del sistema S', otteniamo la legge di trasformazione di Galileo per la posizione tra due sistemi di riferimento inerziali e in 1 dimensione

 

x'=x-vt\ \ \ \mbox{posizione relativa a }S'

 

La generalizzazione per un sistema in moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro in 2 o in 3 dimensioni è immediata.

 

Trasformazioni di Galileo per la posizione in forma vettoriale

 

\vec{x'}=\vec{x}-\vec{v}t

 

dove il tempo t è uno scalare che va moltiplicato componente per componente con \vec{v}. \vec{x'} indica il vettore posizione rispetto al sistema di riferimento S', mentre \vec{x} indica il vettore posizione rispetto al sistema di riferimento S.

 

Per ricavare la relazione vettoriale non dobbiamo fare altro che ripetere il precedente ragionamento e tenere conto che la somma tra vettori viene effettuata componente per componente.

 

Per chi non è avvezzo alle notazioni vettoriali e alle operazioni tra vettori è più opportuno affidarsi alla scrittura delle leggi di trasformazione galileiana per componenti. In pratica scriviamo un sistema con le leggi di trasformazione per ciascuna coordinata cartesiana.

 

Trasformazioni di Galileo per la posizione in 2 dimensioni

 

 \begin{cases}x'=x-v_xt\\ y'=y-v_yt\end{cases}

 

Trasformazioni di Galileo per la posizione in 3 dimensioni

 

 \begin{cases}x'=x-v_xt\\ y'=y-v_yt\\ z'=z-v_zt\end{cases}

 

Si noti che, in entrambi i casi, nella formulazione scalare delle leggi di trasformazione il vettore velocità va scomposto nelle sue componenti lungo ciascun asse.

 

Trasformazioni di Galileo e sistemi di riferimento inerziali

 

A questo punto dovrebbe essere chiaro perché le trasformazioni galileiane valgono solamente tra sistemi di riferimento inerziali. Se considerassimo due sistemi non inerziali, ossia tali per cui l'uno accelera rispetto all'altro, il ragionamento precedente cesserebbe di valere.

 

Non potremmo infatti usare le formule per il moto rettilineo uniforme per calcolare lo spostamento dell'origine del sistema S' rispetto all'origine del sistema S.

 

Indistinguibilità dei sistemi di riferimento inerziali nella relatività galileiana

 

Dobbiamo osservare che, per la persona nel sistema di riferimento della stazione (S) il treno si sta allontanando nella direzione delle ascisse positive con la velocità v, ma per l'amico nel sistema di riferimento del treno (S') la persona sulla banchina si sta allontanando nella direzione opposta con la medesima velocità.

 

Avrete sperimentato almeno una volta nella vita la strana sensazione che si prova quando si è su un treno in partenza alla stazione e a fianco al vostro c'è un altro treno fermo sul binario accanto. Quando fissate l'altro treno perdendo ogni riferimento con la stazione, e vedete che i due treni si stanno muovendo l'uno rispetto all'altro, viene da chiedersi: "È il mio treno che è partito oppure è l'altro che si muove dalla parte opposta?".

 

In effetti le due situazioni sono indistinguibili ed è ciò che accade anche nel contesto delle trasformazioni galileiane: si parla così di indistinguibilità dei sistemi di riferimento inerziali nella relatività galileiana.

 

A titolo di esempio, è su questo principio che si basa la galleria del vento: per testare il modo in cui l'aria scorre sulla carrozzeria delle auto sportive, non si fa viaggiare l'auto contro l'aria ferma (come succede normalmente) ma si spinge l'aria contro l'auto ferma. Il risultato è lo stesso, solo che la seconda soluzione è decisamente più comoda per effettuare degli studi sull'aerodinamicità.

 

 


 

Nella lezione successiva scopriremo come varia la misurazione delle velocità tra due diversi sistemi di riferimento inerziali. Nel frattempo se siete in cerca di esercizi non esitate: qui su YM avete a disposizione migliaia di problemi e di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: leggi delle trasformazioni di Galileo per la posizione in due sistemi di riferimento inerziali.