Composizione delle velocità

La composizione delle velocità di Galileo è un sistema di formule che permette di calcolare la velocità relativa in due diversi sistemi di riferimento inerziali, a patto di conoscere la velocità di trascinamento di un sistema rispetto all'altro.

 

Proseguiamo lo studio dei moti relativi: dopo aver visto nella precedente lezione come varia la misurazione della posizione tra due sistemi inerziali, passiamo ora a occuparci della velocità.

 

Vediamo quindi quali sono le formule per la composizione galileiana delle velocità, per poi applicarle nel dettaglio in un esempio svolto.

 
 
 

Legge di composizione delle velocità di Galileo

 

La formula di composizione delle velocità introdotta da Galileo è una legge con cui abbiamo a che fare quotidianamente, anche se spesso non ce ne rendiamo conto.

 

Per introdurla possiamo fare riferimento a un semplice esempio. Quando siete di fretta e dovete prendere la metro, cosa fate? Con ogni probabilità scendete di corsa lungo le scale mobili, in modo da sommare alla velocità delle scale la velocità della vostra corsa. In questo modo riuscite ad arrivare in fondo prima, sempre che chi si trova davanti a voi tenga la destra e lasci libero il passaggio, naturalmente! ;)

 

Per un osservatore esterno, situato sulla banchina e fermo rispetto alla scala mobile, la velocità con cui vi state muovendo è data dalla somma della velocità costante delle scale mobili e della velocità della vostra corsa. Nel sistema delle scale mobili invece vi state muovendo semplicemente con la vostra velocità, e le persone che si lasciano trasportare giù appoggiate al corrimano sono ferme.

 

Esattamente come abbiamo visto nella lezione sulle trasformazioni di Galileo per la posizione, anche la velocità è relativa e dipende dal sistema di riferimento. Si parla così di velocità relativa rispetto al sistema di riferimento considerato.

 

Formula per la velocità relativa nella composizione delle velocità

 

Esiste una relazione matematica che ci permette di calcolare la velocità v rilevata da un osservatore in un sistema di riferimento S, a patto di conoscere la velocità v' rilevata da un osservatore in un sistema S' inerziale rispetto al primo.

 

Tale formula prende il nome di formula di composizione delle velocità e ribadiamo che è valida solamente se si considerano sistemi di riferimento inerziali. Per semplicità consideriamo dapprima il caso di due sistemi monodimensionali e, dopo aver fissato un verso per le ascisse crescenti, possiamo scrivere la relazione

 

 \vec{v} = \vec{v}_{0} + \vec{v'}

 

dove

 

\vec{v} è la velocità rilevata dall'osservatore situato nel sistema S

 

• \vec{v'} viene detta velocità relativa, ed è la velocità rilevata dall'osservatore situato nel sistema S'

 

• \vec{v}_0 viene detta velocità di trascinamento ed è la velocità (costante per ipotesi) di S' rispetto a S.

 

Se esplicitiamo la velocità rilevata nel sistema S' otteniamo la legge di composizione inversa delle velocità, detta formula per la velocità relativa

 

 \vec{v'} = \vec{v} - \vec{v}_{0}

 

Le leggi che abbiamo appena scritto sono vettoriali e valgono in una, due e tre dimensioni. Esattamente come nel caso della posizione, possiamo scrivere le equazioni componente per componente nel caso tridimensionale:

 

\begin{cases}v'_x=v_x-v_{0x}\\ v'_y=v_y-v_{0y}\\ v'_z=v_z-v_{0z}\end{cases}

 

Legame tra composizione delle velocità e trasformazioni di Galileo

 

Il legame che sussiste tra le leggi di trasformazione galileiane per la posizione e le formule per la composizione delle velocità è ovviamente lo stesso che sussiste tra la funzione posizione e la funzione velocità. È infatti possibile ricavare le leggi di composizione dalle trasformazioni galileiane della posizione derivandole rispetto al tempo.

 

 \begin{cases} x'=x-x_0\\ y'=y-y_0\\ z'=z-z_0\end{cases}

 

Calcoliamo le derivate rispetto al tempo, membro a membro, in ciascuna equazione

 

\begin{cases} \frac{dx'}{dt}=\frac{d}{dt}(x-x_0)\\ \frac{dy'}{dt}=\frac{d}{dt}(y-y_0)\\ \frac{dz'}{dt}=\frac{d}{dt}(z-z_0)\end{cases}

 

da cui, in accordo con la definizione di velocità

 

\begin{cases}v'_x=v_x-v_{0x}\\ v'_y=v_y-v_{0y}\\ v'_z=v_z-v_{0z}\end{cases}

 

Esempio sulla composizione delle velocità

 

Vediamo un esempio di applicazione delle leggi di composizione delle velocità. Un passeggero di una nave si sta muovendo sul ponte in direzione trasversale alla lunghezza della nave, da sud a nord, con una velocità rispetto alla nave di 3 m/s. La nave a sua volta si muove da ovest verso est con una velocità di 4 m/s rispetto al molo. Con quale velocità si muove il passeggero per un osservatore che si trova fermo sul molo del porto?

 

Svolgimento: abbiamo due sistemi di riferimento diversi: il porto per l'osservatore esterno (sistema S) e la nave in movimento per il passeggero (sistema S'). I due sistemi sono inerziali perché la nave si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al molo.

 

 

Composizione delle velocità

Esempio sulla legge di composizione delle velocità.

 

 

Se fissiamo un piano cartesiano per il sistema S', solidale con la nave come in figura, allora vediamo che il sistema S' rispetto a S ha solo una componente di velocità lungo l'asse x (v_{0x}), mentre il passeggero rispetto a S' ha la sola componente lungo l'asse y (v'_y).

 

Facendo uso delle relazioni per la composizione delle velocità, abbiamo:

 

\begin{cases}v_x=v'_x+v_{0x}\\ v_y=v'_y+v_{0y}\end{cases}

 

Osserviamo che la componente y della velocità di trascinamento è nulla, perché la nave si muove parallelamente rispetto al molo (da est a ovest)

 

v'_{0y}=0

 

Inoltre il passeggero si sta muovendo trasversalmente sulla nave, da sud a nord, e dunque lungo la direzione dell'asse y nel sistema S' solidale alla nave

 

v'_x=0

 

A questo punto possiamo sostituire i dati nelle leggi di composizione

 

\begin{cases}v_x=0+4\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\\ v_y=3\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}+0\end{cases}

 

Queste sono le componenti della velocità che possiede il passeggero per l'osservatore sul molo, dunque situato nel sistema di riferimento S. In forma vettoriale

 

\vec{v}=\left(4\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\ ;\ 3\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right)

 

Il modulo della velocità finale si può trovare in questo caso con il teorema di Pitagora.

 

v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=5\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Com'è lecito aspettarsi (e come già sapevamo dall'introduzione sui moti relativi), anche la traiettoria seguita è diversa per i due osservatori. Nel sistema di riferimento S' della nave si sta muovendo in linea retta lungo una direzione perfettamente perpendicolare a quella del moto della nave, mentre per l'osservatore sul molo la traiettoria descritta dal passeggero è una retta retta inclinata.

 

Per determinare l'angolo \alpha di inclinazione rispetto all'asse delle ascisse possiamo servirci di una nota formula della retta

 

\\ \\ \tan(\alpha)=\frac{v_y}{v_x}\\ \\ \to\ \alpha=\arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\simeq 36,9^o

 

Si noti che l'argomento non è un valore notevole per l'arcotangente, sicché può essere calcolato mediante l'uso della calcolatrice.

 

 


 

La lezione successiva sarà dedicata al principio di relatività galileiana. Se volete consultare degli esercizi risolti vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna: tra le migliaia di problemi svolti dallo Staff potrebbero essercene che fanno al caso vostro.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: formule per la composizione delle velocità galileiana.