Principio di relatività galileiana

Il principio di relatività galileiana stabilisce che l'accelerazione è invariante nei sistemi di riferimento inerziali tra loro, e che di conseguenza i principi della Dinamica restano invariate tra diversi sistemi inerziali.

 

Ora che abbiamo studiato le leggi di trasformazione per la posizione e per la velocità nei sistemi di riferimento inerziali, è arrivato il momento di tirare le somme. In questa lezione enunciamo il principio di relatività di Galileo e, oltre a fornirne le formule, cercheremo di spiegarlo nel modo più semplice possibile.

 

Nell'ultima parte della lezione ci soffermeremo su alcune conseguenze del principio galileiano, in modo da comprenderne la straordinaria importanza. ;)

 

Enunciato e formule del principio di relatività galileiana

 

Per arrivare ad enunciare il principio di relatività galileiana dobbiamo riprendere quanto scritto fin qui riguardo ai moti relativi. Sappiamo che sia la posizione sia la velocità dipendono dal sistema di riferimento scelto.

 

Dalle leggi di trasformazione galileiane e dalle formule di composizione delle velocità sappiamo inoltre come calcolare la posizione e la velocità nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro.

 

La domanda che è lecito farsi a questo punto è la seguente: anche l'accelerazione cambia?

 

La risposta è no: in qualunque sistema inerziale l'accelerazione è sempre la stessa. Il motivo è piuttosto semplice: consideriamo la legge di composizione delle velocità vista nella lezione precedente 

 

 \vec{v'} = \vec{v} - \vec{v}_{0}

 

e deriviamola rispetto al tempo per ottenere le accelerazioni

 

\frac{d \vec{v'}}{dt} = \frac{d \vec{v}}{dt} - \frac{d \vec{v}_{0}}{dt}

 

È importante osservare che l'ultimo termine è nullo perché, dato che stiamo considerando dei sistemi inerziali, il primo si muove a velocità costante rispetto al secondo. Ne consegue che la variazione della velocità v_0 nel tempo è nulla.

 

\vec{v}_0=\mbox{costante}\ \to\ \frac{d \vec{v}_{0}}{dt}=0

 

Da qui deduciamo che vale la formula

 

 \frac{d \vec{v'}}{dt} = \frac{d \vec{v}}{dt}\ \ \to\ \ a = a'

 

ossia le accelerazioni nei due sistemi di riferimento S\mbox{ e }S' sono uguali. 

 

Quello che abbiamo appena scritto può essere tranquillamente considerato come l'enunciato del principio di relatività galileiana: nei sistemi di riferimento inerziali l'accelerazione è invariante. Per quanto questa affermazione sia chiara, spesso si suole considerare come principio di relatività galileiana la conseguenza che ne deriva.

 

Principio di relatività galileiana come conseguenza dell'invarianza dell'accelerazione

 

La seconda legge di Newton ci dice che la forza è data dal prodotto della massa per l'accelerazione. Se in due sistemi di riferimento inerziali le accelerazioni sono uguali, significa che anche le forze misurate in questi due sistemi sono uguali.

 

In una formula:

 

\begin{cases}F = ma\\ F' = ma' \\ a=a'\end{cases}\ \ \to\ \ F = F'

 

Ecco allora che siamo giunti a quello che viene più comunemente enunciato come principio di relatività di Galileo: in tutti i sistemi di riferimento inerziali le leggi della dinamica newtoniana restano invariate.

 

Come potete notare l'invarianza dell'accelerazione si traduce nell'invarianza delle leggi della Dinamica, a patto che in entrambi i casi si considerino sistemi di riferimento inerziali.

 

Conseguenze e curiosità sul principio di relatività di Galileo

 

1) Sappiamo bene che la Dinamica è interamente basata sulla seconda legge di Newton: se questa rimane uguale in tutti i sistemi di riferimento inerziali, allora anche ciò che ne deriva resta invariato. L'immediata conseguenza di tale principio consiste nel fatto che non è possibile distinguere due sistemi di riferimento inerziali basandosi su esperimenti di dinamica.

 

Ad esempio, se siamo a bordo di una nave ferma al porto e spingiamo un oggetto con una certa forza, gli imprimiamo una determinata accelerazione. Se facciamo la stessa cosa quando la nave è in movimento alla sua velocità di crociera (quindi a velocità costante), otteniamo la stessa identica accelerazione di prima. Se non sapessimo se la nave è in movimento oppure no, non sarebbe di certo il nostro esperimento a farcelo capire.

 

 

2) A titolo di curiosità, Galileo intuì l'omonimo principio immaginando di effettuare esperimenti proprio a bordo di una nave in moto rettilineo uniforme. Egli si accorse che a bordo tutto si comporta esattamente come se la nave fosse ferma: non vi è nessuna differenza tra le due situazioni.

 

 

3) Il principio di relatività galileiana permise a Galileo di accettare il modello copernicano, e quindi l'idea che la Terra non fosse ferma bensì in movimento attorno al Sole.

 

I detrattori della teoria asserivano che, se la Terra fosse stata effettivamente in movimento, gli uomini se ne sarebbero accorti sulla base di qualche evidenza dinamica. Galileo invece sapeva che se la Terra fosse stata in moto a velocità costante, allora si sarebbe verificata una situazione del tutto analoga rispetto a quella della nave: i passeggeri non avvertono alcuna differenza nelle leggi della dinamica tra le due situazioni (Terra ferma e Terra in moto uniforme).

 

Tale osservazione eliminava un forte ostacolo alla nuova teoria. E a proposito: per la corretta valutazione dell'inerzialità della Terra vi rimandiamo alla lezione sui sistemi di riferimento inerziali. ;)

 

 

4) Come avremo modo di vedere più avanti, la relatività galileiana ha un limite. Ben oltre l'epoca di Galileo nessuno si pose il problema per cui non solo lo spazio, ma anche il tempo potesse essere relativo, e che le misure di intervalli di tempo in sistemi di riferimento diversi potessero fornire risultati diversi.

 

Il primo a pensarci fu Einstein, che riscrisse le leggi di trasformazione fra sistemi inerziali coinvolgendo anche il tempo e ottenendo così il caso più generale (cfr: Relatività Ristretta).

 

 

5) Validità del principio di relatività galileiana. Fermi tutti: il punto 4) non ci costringe a buttare via tutto quello che abbiamo studiato finora.

 

Gli effetti della relatività di Einstein sono percepibili solo quando si ha a che fare con corpi che si muovono a velocità prossime alla velocità della luce. Di contro, la relatività galileiana è un caso particolare di quella di Einstein nell'ipotesi di velocità molto inferiori a quella della luce. La teoria è salva! ;)

 

 


 

A partire dalla prossima lezione passeremo allo studio dei sistemi di riferimento non inerziali e introdurremo il concetto di forza apparente. Come di consueto, se siete in cerca di esercizi svolti vi invitiamo a fare buon uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: formule e spiegazione del significato del principio di relatività di Galileo.