Sistemi in moto rettilineo uniformemente accelerato

Un sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato è un sistema di riferimento che si muove con accelerazione costante rispetto a un sistema di riferimento inerziale. Si tratta quindi di un sistema non inerziale in cui l'osservazione richiede l'introduzione di una o più forze apparenti.

 

Nelle precedenti lezioni abbiamo iniziato a studiare i sistemi di riferimento non inerziali e abbiamo introdotto il concetto di forza apparente. Ora vogliamo trattare il più semplice caso di sistema non inerziale: quello di un sistema uniformemente accelerato rispetto a un altro.

 

Per cominciare presentiamo le leggi per la trasformazione di posizione, velocità e accelerazione, dopodiché vediamo come applicarle in un esempio svolto, considerando il punto di vista dell'osservatore inerziale e di quello non inerziale.

 

Posizione, velocità e accelerazione in un sistema uniformemente accelerato

 

Proviamo a pensare a un sistema di riferimento tridimensionale S' che si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato rispetto a un altro sistema S. Il sistema S' non è quindi inerziale rispetto a S. Con questa premessa, poniamoci nella situazione più semplice in cui all'istante di tempo t=0 le origini dei due sistemi di riferimento O e O' coincidono.

 

Supponiamo che S' acceleri rispetto a S solamente lungo l'asse x. Indichiamo con un apice ' le grandezze misurate nel sistema S', senza apice quelle misurate in S e con un pedice 0 le grandezze che esprimono il trascinamento di S' rispetto a S.

 

Le leggi di trasformazione della posizione nel sistema uniformemente accelerato sono date da

 

\begin{cases}x'=x-\frac{1}{2}a_0t^2-v_{0i}t-x_{0i}\\ y'=y\\ z'=z\end{cases}

 

Le leggi di composizione delle velocità nel sistema uniformemente accelerato sono date da

 

\begin{cases}v'_x=v_x-a_0t -v_{0i}\\ v'_y=v_y\\ v'_z=v_z\end{cases}

 

Infine, le leggi di composizione dell'accelerazione nel sistema uniformemente accelerato sono

 

\begin{cases}a'_x=a_x-a_0\\ a'_y=a_y\\ a'_z=a_z\end{cases}

 

Le precedenti leggi di trasformazione possono essere ristrette a un riferimento monodimensionale o bidimensionale semplicemente scartando le componenti superflue. Inoltre, con l'utilizzo della notazione vettoriale le precedenti leggi possono essere estese facilmente al caso generale di un sistema non inerziale S' accelerato lungo i tre assi cartesiani.

 

Esempio sui sistemi uniformemente accelerati

 

Vediamo un esempio in cui cerchiamo di capire cosa vedono due osservatori nei sistemi S\mbox{ e }S'. Poiché stiamo trattando dei sistemi non inerziali ci aspettiamo che nella trattazione compaia almeno una forza apparente.

 

Abbiamo un osservatore fermo in un sistema inerziale (S) seduto su una panchina vicino ai binari del treno. Consideriamo un altro osservatore che si trova su un treno S'. Il treno ha una velocità iniziale v_{0i} e accelera con accelerazione a_0, per cui tale riferimento è non inerziale rispetto a S.

 

Sul treno vi è una pallina appoggiata sul bordo del portabagagli, situata sopra i sedili a un'altezza h. All'istante iniziale t=0 la pallina inizia a cadere.

 

Impostiamo l'asse x nella direzione del moto del treno e l'asse y perpendicolare e diretto verticalmente verso l'alto. Il moto avverrà su questo piano, per cui possiamo limitarci a un sistema bidimensionale (piano cartesiano) in cui tralasciamo l'asse z.

 

 

Osservatore in S

 

Cosa vede l'osservatore inerziale seduto sulla panchina? Al tempo t=0 vede la pallina che si sta muovendo di moto rettilineo uniforme alla stessa velocità del treno v_{0i}, e lungo l'asse y vede la pallina in caduta libera con velocità iniziale nulla.

 

La traiettoria della pallina, secondo S, viene descritta all'istante t dalle seguenti leggi

 

\begin{cases}x=v_{0i}t\\ y=h-\frac{1}{2}gt^2\end{cases}

 

La velocità iniziale della pallina osservata in S ha una componente orizzontale che coincide con la velocità iniziale del treno, all'inizio della caduta, e una componente verticale nulla perché essa parte da ferma.

 

\begin{cases}v_x=v_{0i}\\ v_y=0\end{cases}

 

La velocità della pallina osservata in S al tempo t è invece

 

\begin{cases}v_x=v_{0i}\\ v_y=-gt\end{cases}

 

L'accelerazione della pallina, sempre secondo S, ha una componente orizzontale nulla e una componente verticale data dalla sola accelerazione di gravità

 

\begin{cases}a_x=0\\ a_y=-g\end{cases}

 

Mentre la pallina cade, l'osservatore fermo sulla panchina in S osserva un moto parabolico in cui il tempo di caduta è:

 

t_c=\sqrt{\frac{2h}{g}}

 

In questo intervallo di tempo la pallina percorre in avanti uno spazio x_c per effetto della velocità iniziale v_{0i}, dato da:

 

x_c=v_{0i}t_c

 

Dal momento in cui comincia a cadere, la pallina segue lungo la direzione verticale il proprio moto di caduta libera e ovviamente non risente dell'accelerazione del treno. Qui viene la parte delicata: man mano che la pallina compie il proprio moto di caduta bisogna considerare che, nello stesso intervallo di tempo, il treno si muove in avanti. L'origine del sistema di riferimento S' osservata da S ha dunque compiuto uno spostamento che possiamo calcolare con le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato

 

x_0=v_{0i}t_c+\frac{1}{2}a_0t_c^2

 

Secondo S la pallina toccherà il pavimento del treno più indietro rispetto all'origine O' in cui si trovava prima di cominciare a cadere. Questo perché, lo ribadiamo, la pallina orizzontalmente risente solo della velocità iniziale v_{0i} del treno, mentre S' si muove di moto uniformemente accelerato. La distanza tra il punto di atterraggio e l'origine O' è data da

 

d=\overbrace{x_0}^{\mbox{posizione di O' osservata da S}}-\overbrace{x_c}^{\mbox{posizione pallina osservata da S}}

 

Dalla relazione del tempo di caduta ricavato prima, si può scrivere la lunghezza d nel modo seguente:

 

d=h\frac{a_{0}}{g}

 

 

Osservatore S'

 

Per studiare il moto per come viene osservato in S' possiamo usare le leggi di trasformazione scritte ad inizio lezione e usare le grandezze osservate da S.

 

Riguardo alla posizione della pallina (x'_c,y'_c) al momento dell'atterraggio

 

\begin{cases}x'_c=x_c-\frac{1}{2}a_0t^2-v_{0i}t-x_{0i}\\ y'_c=y_c\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}x'_c=-\frac{1}{2}a_0t^2\\ y'_c=0\end{cases}

 

dove x_{0i}=0 perché abbiamo supposto che all'istante t=0 le origini dei due sistemi coincidano.

 

Per la velocità all'istante t lungo la componente orizzontale, ci aspettiamo che l'osservatore in S' osservi la pallina muoversi all'indietro di moto uniformemente accelerato. Per la componente verticale abbiamo invece la sola azione della forza di gravità

 

\begin{cases}v'_x=v_x-a_0t -v_{0i}\\ v'_y=v_y\end{cases}\ \to\ \begin{cases}v'_x=-a_0t\\ v'_y=-gt\end{cases}

 

Infine, per quanto riguarda l'accelerazione osservata in S'

 

\begin{cases}a'_x=a_x-a_0\\ a'_y=a_y\\ a'_z=a_z\end{cases}\ \ \to\ \ \begin{cases}a'_x=-a_0\\ a'_y=-g\end{cases}

 

Come vedete, a differenza di prima, l'accelerazione ha ora due componenti: una lungo l'asse x e una lungo l'asse y. Volendo esprimerla in forma vettoriale mediante i versori del riferimento cartesiano \vec{i},\vec{j}

 

\vec{a'}=-a_0\hat{i}-g\hat{j}

 

La velocità al tempo t è data da:

 

\vec{v'}=-a_{0}t\hat{i}-gt\hat{j}=-\vec{a'}t

 

il che significa che l'osservatore sul treno vede la pallina muoversi di moto rettilineo uniformemente accelerato!

 

È inoltre possibile calcolare l'angolo di inclinazione della traiettoria mediante la relazione:

 

\tan(\theta)=\frac{a_{0}}{g}\ \ \to\ \ \theta=\arctan\left(\frac{a_{0}}{g}\right)

 

Vediamo quindi come la trattazione del fenomeno sia cambiata da un osservatore all'altro. In particolare, per il passeggero sul treno nel sistema di riferimento non inerziale S' è comparsa la forza apparente:

 

F=-ma_0

 

che si va ad aggiungere alla forza di gravità. Per l'osservatore esterno S invece tale forza non esiste, e l'unica forza che viene osservata è la forza peso responsabile del moto parabolico della pallina.

 

 


 

Un suggerimento: quando studiate i moti relativi liberatevi da ogni preconcetto. Partite da un'osservazione logica basata sulle leggi di trasformazione e, dopo essere giunti al risultato, provate a confrontarlo con l'esperienza comune. :)

 

Con questo vi salutiamo e vi aspettiamo nella lezione successiva, dedicata al peso apparente. Per qualsiasi potete usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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Tags: studio del moto e leggi di trasformazione per sistemi di riferimento in moto rettilineo uniformemente accelerato.