Sistemi in moto rotatorio uniforme

Un sistema in moto rotatorio uniforme è un particolare tipo di sistema di riferimento non inerziale che si muove di moto circolare uniforme, e che può essere descritto a partire da un sistema inerziale mediante opportune leggi di trasformazione.

 

Dopo aver trattato il caso dei sistemi in moto rettilineo uniformemente accelerato passiamo a occuparci di un altro tipo di sistemi non inerziali. Qui di seguito studieremo i sistemi in moto rotatorio uniforme e mostreremo come ricavare le leggi di trasformazione per posizione, velocità e accelerazione.

 

Nota bene: poiché nel corso della trattazione faremo un abbondante uso delle notazioni vettoriali, questa lezione si rivolge unicamente agli studenti universitari. Gli studenti delle scuole superiori possono passare direttamente alla lezione successiva, a partire dalla quale ci occuperemo delle forze apparenti che subentrano nei sistemi in moto circolare uniforme.

 
 
 

Posizione, velocità e accelerazione nei sistemi in moto rotatorio uniforme

 

Consideriamo due sistemi di riferimento in moto l'uno rispetto all'altro. Il primo sistema di riferimento S è fermo e lo chiameremo sistema fisso, mentre il secondo sistema S' si muove di moto circolare uniforme attorno alla propria origine e lo chiameremo sistema mobile. Per semplicità, consideriamo le origini O e O' dei due sistemi coincidenti.

 

 

Sistemi in moto rotatorio uniforme

 

 

Vogliamo individuare la relazione tra la velocità di un punto P in movimento, valutata da un osservatore solidale col sistema fisso S, e la velocità osservata da un osservatore solidale al sistema mobile S'.

 

Osserviamo subito che il sistema mobile S' ruota con velocità angolare \omega costante. Inoltre, come conseguenza del fatto che le origini dei due sistemi di riferimento coincidono, la posizione \vec{r} di P rilevata nel sistema fisso S è uguale alla posizione \vec{r'} misurata nel sistema mobile S'.

 

\vec{r}=\vec{r'}

 

Per comprendere tale relazione è importante osservare che l'origine O' del sistema S' non ruota intorno all'origine O di S. Piuttosto, il moto rotatorio che stiamo considerando è tale per cui il sistema S' ruoti attorno alla propria origine O'.

 

Esplicitamente:

 

\\ \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\\ \\ \vec{r'}=x'\hat{i'}+y'\hat{j'}+z'\hat{k'}

 

dove con \hat{i},\hat{j},\hat{k} indichiamo i versori che individuano i tre assi cartesiani di S, mentre \hat{i'},\hat{j'},\hat{k'} denotiamo i versori dei tre assi cartesiani di S'.

 

La velocità di P osservata nel sistema fisso S è data dalla variazione della posizione r nel tempo, cioè dalla derivata del vettore posizione calcolata rispetto al tempo:

 

 \vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt} = \frac{dx}{dt} \hat{i} + \frac{dy}{dt} \hat{j} + \frac{dz}{dt} \hat{k}

 

 

Legge di trasformazione delle velocità

 

Per trovare la relazione tra le velocità osservate nei due sistemi di riferimento dobbiamo ricordarci che le posizioni \vec{r}\mbox{ e }\vec{r'} coincidono, pertanto:

 

\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{dt}=\frac{d \vec{r'}}{dt}

 

Nella derivata di \vec{r'} dobbiamo però fare attenzione al fatto che, in questo caso, non cambiano solo le tre coordinate ma anche le direzioni dei tre versori, perché il sistema S' non è fisso bensì in rotazione attorno alla propria origine O'. La derivata diventa allora più complessa, perché bisogna derivare rispetto al tempo sia le coordinate sia i versori.

 

Nel calcolare la derivata applichiamo l'usuale regola per la derivata del prodotto

 

 \vec{v} = \frac{d \vec{r'}}{dt} =  \frac{dx'}{dt} \hat{i'} + \frac{dy'}{dt} \hat{j'} + \frac{dz'}{dt} \hat{k'} + x' \frac{d \hat{i'}}{dt} + y' \frac{d \hat{j'}}{dt} + z' \frac{d \hat{k'}}{dt}

 

I primi tre termini che abbiamo scritto forniscono la velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento mobile S'. Gli ultimi tre termini posso essere riscritti ricorrendo alle formule di formule di Poisson, secondo le quali:

 

\frac{d \hat{i'}}{dt} = \vec{\omega} \times \hat{i'}\ \ \ ;\ \ \ \frac{d \hat{j'}}{dt} = \vec{\omega} \times \hat{j'}\ \ \ ;\ \ \ \frac{d \hat{k'}}{dt} = \vec{\omega} \times \hat{k'}

 

dove \times denota il prodotto vettoriale. Le direzioni di ogni singolo versore del sistema mobile S' cambiano continuamente direzione, ma le loro posizioni reciproche rimangono fisse. I tre versori in qualunque istante di tempo rimangono sempre perpendicolari gli uni agli altri e ruotano tutti e tre in modo solidale con la stessa velocità angolare \omega, esattamente come un corpo rigido.

 

Se facciamo uso delle formule di Poisson, possiamo riscrivere gli ultimi tre termini dell'equazione della velocità \vec{v} nel modo seguente:

 

 x' \frac{d \hat{i'}}{dt} + y' \frac{d \hat{j'}}{dt} + z' \frac{d \hat{k'}}{dt} = x'(\vec{\omega} \times \hat{i'}) + y'(\vec{\omega} \times \hat{j'}) + z'(\vec{\omega} \times \hat{k'})

 

Poiché x',y'\mbox{ e }z' sono grandezze scalari, possiamo spostarli all'interno dei prodotti vettoriali accanto ai versori e riscrivere il tutto nella forma:

 

 x'(\vec{\omega} \times \hat{i'}) + y'(\vec{\omega} \times \hat{j'}) + z'(\vec{\omega} \times \hat{k'}) = \vec{\omega} \times (x' \hat{i'} + y' \hat{j'} + z' \hat{k'})

 

La somma nelle parentesi tonde non è altro che il vettore posizione \vec{r'} scomposto nelle sue tre componenti, pertanto:

 

 \vec{\omega} \times (x' \hat{i'} + y' \hat{j'} + z' \hat{k'}) = \vec{\omega} \times \vec{r'}

 

A questo punto, la formula per la trasformazione delle velocità rilevate nei due sistemi di riferimento è:

 

 \vec{v} = \vec{v'} + \vec{\omega} \times \vec{r'}

 

 

Legge di trasformazione delle accelerazioni

 

In maniera analoga possiamo trovare la relazione tra le accelerazioni nei due sistemi di riferimento, derivando rispetto al tempo la relazione tra le velocità ricavata in precedenza.

 

 \frac{d \vec{v}}{dt} =  \frac{d}{dt} \left( \vec{v'} + \vec{\omega} \times \vec{r'} \right)

 

Applichiamo le usuali regole di derivazione dei vettori

 

 \vec{a} =  \frac{d \vec{v'}}{dt} + \frac{d}{dt} \left( \vec{\omega} \times \vec{r'} \right)

 

da cui

 

 \vec{a} = \frac{d \vec{v'}}{dt} + \frac{d \vec{\omega}}{dt} \times \vec{r'} + \vec{\omega} \times \frac{d \vec{r'}}{dt}

 

Possiamo cancellare il termine in cui compare la derivata della velocità angolare \vec{\omega} rispetto al tempo, perché essa è costante. La derivata della posizione \vec{r'} può essere riscritta mediante la formula che abbiamo ricavato in precedenza.

 

 \vec{a} = \frac{d \vec{v'}}{dt} + \vec{\omega} \times \left( \vec{v'} + \vec{\omega} \times \vec{r'} \right)

 

Appoggiandoci a quanto già fatto per la velocità, calcoliamo la derivata di v' rispetto al tempo.

 

\\ \frac{d \vec{v'}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{d \vec{r'}}{dt} \right) = \frac{d}{dt} \left( \frac{dx'}{dt} \hat{i'} + \frac{dy'}{dt} \hat{j'} + \frac{dz'}{dt} \hat{k'} + x' \frac{d \hat{i'}}{dt} + y' \frac{d \hat{j'}}{dt} + z' \frac{d \hat{k'}}{dt} \right) = \\ \\ \\ = \frac{d^{2}x'}{dt^{2}} \hat{i'} + \frac{d^{2}y'}{dt^{2}} \hat{j'} + \frac{d^{2}z'}{dt^{2}} \hat{k'} + \frac{dx'}{dt} \frac{d \hat{i}}{dt} + \frac{dy'}{dt} \frac{d \hat{j}}{dt} + \frac{dz'}{dt} \frac{d \hat{k}}{dt}

 

I primi tre termini ci danno le componenti dell'accelerazione \vec{a'} di P osservata nel sistema mobile S', mentre per gli ultimi tre termini possiamo di nuovo applicare le formule di Poisson.

 

\\ \frac{d \vec{v'}}{dt} = \vec{a'} + \frac{dx'}{dt} (\vec{ \omega} \times \hat{i}) +\frac{dy'}{dt} (\vec{ \omega} \times \hat{j}) + \frac{dz'}{dt} (\vec{ \omega} \times \hat{k}) =\\ \\ \\ = \vec{a'} + \vec{ \omega} \times \left(\frac{dx'}{dt} \hat{i'} + \frac{dy'}{dt} \hat{j'} + \frac{dz'}{dt} \hat{k'} \right) = \\ \\ \\ = \vec{a'} + \vec{ \omega} \times \vec{v'}

 

A questo punto la relazione tra le accelerazioni diventa:

 

\\ \vec{a} = \vec{a'} + \vec{\omega} \times \vec{v'} + \vec{\omega} \times (\vec{v'} + \vec{\omega} \times \vec{r'}) = \\ \\ = \vec{a'} + \vec{\omega} \times \vec{v'} + \vec{\omega} \times \vec{v'} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'})

 

da cui la formula per la trasformazione dell'accelerazione

 

 \vec{a} = \vec{a'} + 2 \vec{\omega} \times \vec{v'} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'})

 

Nella legge di trasformazione delle accelerazioni il secondo termine prende il nome di accelerazione di Coriolis, mentre il terzo corrisponde all'accelerazione centrifuga. Vedremo gli effetti delle forze apparenti associate a queste accelerazioni in lezioni a loro dedicate.

 

 


 

Come promesso nelle lezioni successive studieremo la forza centrifuga e la forza di Coriolis. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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