Moto di una carica in un campo magnetico uniforme

Una carica in moto in un campo magnetico uniforme segue una traiettoria diversa a seconda dell'angolo tra velocità e campo magnetico: se sono perpendicolari, la carica si muove di moto circolare uniforme; per un angolo qualsiasi si ha un moto elicoidale con componente parallela rettilinea uniforme e componente perpendicolare circolare uniforme.

 

Ora che sappiamo che ogni carica in moto in un campo magnetico è soggetta a una forza - detta forza di Lorentz - vogliamo analizzare gli effetti che essa produce sul moto della carica.

 

In questa lezione studieremo i possibili casi partendo da quello più semplice, in cui la velocità della carica è perpendicolare al campo magnetico, dopodiché passeremo al caso generale. Onde evitare fraintendimenti sottolineiamo che considereremo solo campi magnetici uniformi, così da non complicare troppo l'analisi.

 

Forza di Lorentz come forza centripeta in un campo magnetico uniforme

 

Sappiamo che una carica che si muove in un campo magnetico subisce la forza di Lorentz. Tale forza è data dal prodotto della carica per il prodotto vettoriale tra la velocità della carica e il campo magnetico, secondo la formula:

 

 \vec{F}_L = q \vec{v} \times \vec{B}

 

La forza di Lorentz è sempre perpendicolare sia al vettore velocità, sia al vettore campo magnetico, e se ne possono determinare direzione e verso mediante la regola della mano destra. Quest'ultima stabilisce che disponendo pollice e indice ordinatamente come il primo e il secondo vettore del prodotto vettoriale, la direzione e il verso del risultato vengono individuati dal dito medio, disteso perpendicolarmente rispetto al palmo della mano.

 

Bisogna però fare attenzione a un dettaglio non trascurabile: il verso della forza è quello individuato dalla regola della mano destra quando la carica è positiva; per una carica negativa il verso è quello opposto.

 

Una caratteristica particolare della forza di Lorentz è quella di comportarsi come una forza centripeta, cioè come una forza che costringe la particella carica in movimento a compiere un moto circolare. Ricordiamo che un moto circolare non può esistere in mancanza di una forza che obblighi il corpo a descrivere una traiettoria curva: in assenza di forze infatti il corpo si muoverebbe di moto rettilineo uniforme.

 

Forza di Lorentz e moto di una carica in un campo magnetico uniforme

 

Studiamo l'effetto della forza di Lorentz esercitata su una carica in moto, e per agevolare l'analisi consideriamola immersa in un campo magnetico uniforme. Dobbiamo subito distinguere due casi:

 

(1) quello più semplice, in cui la velocità e il campo magnetico sono perpendicolari;

 

(2) il caso più generale, in cui velocità e campo magnetico formano un angolo qualsiasi.

 

 

Caso (1) - Moto della carica perpendicolare al campo magnetico uniforme

 

Analizziamo il primo caso e consideriamo un protone (carica positiva) che si muove con velocità perpendicolare al campo magnetico uniforme.

 

 

Carica positiva in moto in un campo magnetico uniforme

Moto di una carica in un campo magnetico uniforme.
Caso (1) - Velocità perpendicolare al campo.

 

 

Il campo magnetico è rappresentato da vettori perpendicolari al piano del foglio e uscenti. Secondo la regola della mano destra, la forza di Lorentz viene esercitata verso il basso; di conseguenza il protone non può proseguire il proprio cammino rettilineo, perché la forza di Lorentz lo costringe a virare vero il basso.

 

Il protone comincia quindi a descrivere una traiettoria curva, e il vettore velocità "si inclina" assumendo una diversa direzione ma mantenendo invariato il proprio valore numerico.

 

 

Deflessione del moto della carica nel campo magnetico uniforme

Caso (1) - Deflessione del moto della carica.

 

 

Se osserviamo il protone nella sua nuova posizione nello spazio, notiamo che la velocità è sempre perpendicolare al campo e che il vettore forza ha una nuova direzione. Il prodotto vettoriale infatti ci ricorda che la forza di Lorentz deve sempre essere perpendicolare alla velocità, e se quest'ultima cambia direzione anche la forza dovrà fare altrettanto.

 

L'effetto della forza di Lorentz sul moto del protone è che esso tende costantemente a curvare, e in ogni punto della sua traiettoria continuerà a subire una deflessione. In definitiva il protone si trova costretto a muoversi su una traiettoria circolare e a compiere un moto circolare uniforme, in cui il modulo della velocità rimane costante. La forza di Lorentz agisce quindi come una forza centripeta.

 

In base a questa osservazione possiamo ricavare alcune semplici formule per il moto delle cariche nei campi magnetici uniformi, sempre considerando l'ipotesi di velocità e campo perpendicolari.

 

Confrontiamo l'espressione per il modulo della forza di Lorentz con la ben nota formula della forza centripeta. Visto che siamo nella situazione in cui la velocità della carica è perpendicolare al campo magnetico, il modulo della forza di Lorentz è massimo:

 

 F_L = |q|vB \ \ \ ; \ \ \ F_c = m \frac{v^2}{r}

 

Imponiamo l'uguaglianza:

 

 F_L = F_c \\ \\ |q|vB = m \frac{v^2}{r}

 

Con r indichiamo il raggio della circonferenza descritta dalla carica e con m la sua massa. Semplifichiamo la velocità

 

 |q|B = m \frac{v}{r}

 

e otteniamo un'equazione che possiamo usare per calcolare i valori di nostro interesse, ricorrendo alle formule inverse:

 

 |q| = \frac{mv}{rB} \ \ \ ; \ \ \ B = \frac{mv}{r|q|} \\ \\ \\ m = \frac{|q|Br}{v} \ \ \ ; \ \ \ v = \frac{|q|Br}{m} \\ \\ \\ r = \frac{mv}{|q|B}

 

Se osserviamo in particolare l'ultima equazione vediamo che il raggio della traiettoria circolare descritta dalla carica è direttamente proporzionale alla massa e alla velocità e che è inversamente proporzionale alla carica e al campo. A una massa maggiore o a una maggiore velocità corrisponde una circonferenza più ampia, mentre a una carica maggiore o a un campo magnetico più intenso corrisponde un raggio inferiore.

 

 

Caso (2) - Angolo qualsiasi tra velocità e campo magnetico uniforme

 

Vediamo cosa accade quando la velocità della carica e il campo magnetico uniforme formano un angolo non necessariamente perpendicolare.

 

 

Moto di una carica in un campo magnetico uniforme con angolo qualsiasi

Moto di una carica in un campo magnetico uniforme.
Caso (2) - Angolo qualsiasi tra velocità e campo.

 

 

Per comprendere meglio la situazione è utile scomporre il vettore velocità nelle sue componenti parallela e perpendicolare al campo. La forza di Lorentz non altera la componente v_{\parallel} e agisce solamente sulla componente v_{\perp}, nello stesso modo che abbiamo descritto in precedenza. Di conseguenza:

 

- lungo la direzione parallela al campo la carica continua a muoversi di moto rettilineo uniforme, con velocità v_{\parallel};

 

- lungo la direzione perpendicolare al campo la carica si muove di moto circolare uniforme, con velocità di modulo v_{\perp}.

 

La traiettoria che risulta dalla sovrapposizione di questi due moti descrive un'elica, per cui la carica si muove secondo un moto elicoidale. La distanza tra un punto e il corrispondente punto sulla circonferenza successiva prende il nome di passo, ed è tanto maggiore quanto maggiore è la componente parallela rispetto a quella perpendicolare

 

Concludiamo con un'osservazione: non abbiamo analizzato il caso in cui la velocità e il campo sono paralleli perché in questa situazione la forza di Lorentz è nulla, e la carica procede all'interno del campo magnetico semplicemente di moto rettilineo uniforme.

 

 


 

Vi aspettiamo nella lezione successiva: approfondiremo lo studio delle cariche in moto nei campi magnetici e studieremo l'effetto Hall.

 

Nel frattempo se avete dubbi, o se siete in cerca di esercizi svolti, potete usare la barra di ricerca; qui su YM ci sono tantissime lezioni e migliaia di esercizi risolti dallo Staff. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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