Campo magnetico generato da un solenoide

Il campo magnetico all'interno di un solenoide ideale si calcola come B=(μ0Ni)/l, dove N è il numero di spire che costituiscono il solenoide, i è la corrente che lo attraversa ed l è la sua lunghezza. Con solenoide ideale si intende un solenoide di lunghezza infinita, o con lunghezza molto maggiore del suo diametro.

 

Ora che sappiamo come calcolare il campo magnetico di una spira circolare percorsa da corrente possiamo completare il quadro delle configurazioni notevoli e occuparci dei solenoidi, dei dispositivi particolarmente rilevanti nella teoria e nelle applicazioni del Magnetismo.

 

Dopo aver spiegato cos'è un solenoide descriveremo le caratteristiche del campo magnetico che genera quando viene attraversato da una corrente, descrivendone direzione e verso; ci concentreremo quindi sul caso dei solenoidi ideali e analizzeremo le formule che permettono di calcolarne l'intensità al loro interno.

 

Concluderemo infine con un esempio di applicazione, calcolando il campo magnetico all'interno di due solenoidi concentrici. 

 

Campo magnetico generato da un solenoide percorso da corrente

 

La terza configurazione notevole in grado di generare un campo magnetico è data dal solenoide. Si tratta di un filo avvolto in più spire disposte in modo da formare un cilindro, con una distribuzione che ricorda quella di una molla.

 

Un solenoide può quindi essere visto come un insieme di tante spire circolari impilate l'una sull'altra, dove le spire possono trovarsi a contatto tra di loro oppure essere separate da una distanza denominata passo.

 

Se il filo è percorso da una corrente elettrica, il solenoide crea un campo magnetico attorno a sé. Se ad esempio prendessimo la molla di una penna a scatto e facessimo scorrere una corrente nel filo metallico, avremmo di fatto creato un solenoide.

 

Le linee del campo magnetico generato da un solenoide percorso da corrente sono del tutto analoghe a quelle create da un magnete di forma cilindrica.

 

 

Campo magnetico di un solenoide

Campo magnetico generato da un solenoide percorso da corrente.

 

 

Le linee di campo attraversano lo spazio interno del solenoide per poi uscire, curvare e richiudersi su se stesse; ricordiamo infatti che le linee di campo magnetico sono sempre chiuse, in forza del teorema di Gauss.

 

Riguardo al verso di percorrenza vige al solito quanto stabilito dalla variante della regola della mano destra: il verso del campo magnetico all'interno del solenoide è indicato dal pollice disteso, quando le dita della mano vengono racchiuse nel verso di scorrimento della corrente. La situazione è del tutto analoga a quanto abbiamo studiato sulle spire circolari.

 

Campo magnetico all'interno di un solenoide ideale

 

Focalizziamo la nostra attenzione su ciò che avviene all'interno del solenoide. Dal precedente disegno si vede che nello spazio interno le linee di campo tendono a diventare parallele all'asse del solenoide ed equidistanziate tra di loro. Il fenomeno è tanto più evidente quanto più il solenoide è lungo.

 

In generale, quando le linee di campo hanno tutte la stessa distanza le une dalle altre significa che il campo è uniforme, ossia che assume lo stesso valore in tutti i punti dello spazio, ed è esattamente ciò che accade nel caso di un solenoide ideale. Con l'aggettivo ideale intendiamo:

 

- che il solenoide ha una lunghezza infinita, oppure

 

- che la lunghezza del solenoide è molto maggiore del suo diametro (l>>d).

 

In un solenoide ideale il campo magnetico che si genera al suo interno è uniforme (o perlomeno uniforme in buona approssimazione) e questa è la sua caratteristica principale, nonché il motivo per cui i solenoidi con lunghezza molto maggiore del diametro vengono usati spesso nelle applicazioni pratiche.

 

La seconda caratteristica dei solenoidi ideali è che il campo magnetico all'esterno è trascurabile. Per comprenderne il motivo basta pensare a un solenoide di lunghezza infinita, all'esterno del quale le linee di campo tenderebbero a chiudersi all'infinito.

 

Il campo magnetico all'interno di un solenoide ideale è calcolabile secondo la formula:

 

 B = \mu_0 \frac{Ni}{l}

 

dove con N indichiamo il numero di spire (o di avvolgimenti), con l la lunghezza del solenoide (altezza del cilindro) e con i la corrente che circola nel filo. Con \mu_0 indichiamo come sempre la costante di permeabilità magnetica del vuoto, che vale \mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\ \frac{\mbox{Tm}}{\mbox{A}}.

 

Nella formula si vede che non vi è alcun riferimento alla posizione del punto in cui viene calcolato il campo magnetico, come ad esempio la distanza dall'asse del solenoide: questo perché il campo magnetico all'interno è uniforme, e quindi ha sempre lo stesso valore sia per un punto vicino all'asse che per un punto lontano da esso.

 

Esiste un'ulteriore formula, alternativa ed equivalente a quella che abbiamo scritto poco sopra:

 

 B = \mu_0 ni \ \ \ \left(\mbox{con } n=\frac{N}{l}\right)

 

dove con la lettera n si indica il numero di spire per unità di lunghezza, cioè il numero di spire per ogni metro di lunghezza del solenoide. Useremo la prima o la seconda versione della formula in base ai dati forniti dalle tracce degli esercizi.

 

Esempio: campo magnetico all'interno di due solenoidi concentrici

 

Un tipico esercizio sul campo magnetico generato dal solenoide è quello in cui si hanno due solenoidi con diversi raggi inseriti l'uno all'interno dell'altro. Vediamo un esempio.

 

 

Campo magnetico interno di due solenoidi concentrici

Campo magnetico all'interno di due solenoidi concentrici.

 

 

In figura si vede la sezione dei due solenoidi e sulle sezioni dei fili è indicato il verso della corrente, entrante con una x e uscente con un punto.

 

Il solenoide esterno ha 1400 spire ed è percorso da una corrente di 4 A, mentre il secondo solenoide ha 1100 avvolgimenti ed è percorso da una corrente di 3 A. Entrambi i solenoidi hanno una lunghezza di 2 metri e sono da intendersi come ideali. Quanto vale il campo magnetico all'interno del solenoide più piccolo?

 

Svolgimento: nello spazio interno al solenoide col raggio minore vi è la sovrapposizione dei campi creati separatamente dai solenoidi. Calcoliamo i moduli dei due campi magnetici:

 

 B_1 = \mu_0 \frac{N_1i_1}{l} = \\ \\ \\ = 4 \pi \cdot 10^{-7} \ \frac{\mbox{Tm}}{\mbox{A}} \cdot \frac{1400 \cdot 4 \mbox{ A}}{2 \mbox{ m}} \simeq 3,52 \cdot 10^{-3} \mbox{ T} \\ \\ \\ B_2 = \mu_0 \frac{N_2i_2}{l} = \\ \\ \\ = 4 \pi \cdot 10^{-7} \ \frac{\mbox{Tm}}{\mbox{A}} \cdot \frac{1100 \cdot 3 \mbox{ A}}{2 \mbox{ m}} \simeq 2,07 \cdot 10^{-3} \mbox{ T}

 

Dobbiamo sempre ricordarci che il campo magnetico è una grandezza vettoriale, e che se vogliamo determinare il campo risultante dobbiamo capire come sono diretti i vettori \vec{B}_1 e \vec{B}_2.

 

Applicando la regola della mano destra si capisce che il solenoide esterno crea un campo diretto verso destra, mentre il solenoide interno crea un campo verso sinistra. Fissiamo un opportuno sistema di riferimento in cui consideriamo positivo il verso destro e negativo quello sinistro, cosicché possiamo esprimere la somma vettoriale attribuendo il giusto segno ai moduli dei campi magnetici:

 

 \vec{B}_{tot} = \vec{B}_1+\vec{B}_2 = \\ \\ = B_1 - B_2 \simeq \\ \\ \simeq 3,52 \cdot 10^{-3} \mbox{ T} - 2,07 \cdot 10^{-3} \mbox{ T} = 1,45 \cdot 10^{-3} \mbox{ T}

 

Il risultato è positivo, dunque il campo totale è diretto verso destra.

 

 


 

Qui abbiamo finito, ma non scappate! Nella prossima puntata del corso parleremo della forza di Lorentz, una nozione fondamentale nello studio dei fenomeni magnetici. Per tutto il resto - dubbi, approfondimenti ed esercizi risolti - vi raccomandiamo come sempre di fare buon uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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