Campo magnetico di una spira circolare

Una spira circolare percorsa da una corrente elettrica genera attorno a sé un campo magnetico; il campo magnetico al centro della spira si calcola con la formula B=(μ0i)/(2R), dove i è la corrente che attraversa la spira ed R è il suo raggio.

 

Dopo aver analizzato il caso dei fili rettilinei percorsi da corrente e la mutua interazione tra due o più fili passiamo alla seconda configurazione notevole che genera un campo magnetico: trattiamo il caso delle spire circolari percorse da corrente.

 

In questa lezione proponiamo la formula per calcolare il campo generato da una spira circolare nel suo centro e lungo il suo asse, dopodiché passiamo alle applicazioni. Vedremo, in particolare, come calcolare il campo magnetico dato dai contributi di due spire concentriche e come comportarci nel caso di una spira e di un filo rettilineo.

 

Campo magnetico generato da una spira circolare percorsa da corrente

 

Uno dei modi più semplici per creare un campo magnetico è costruire una spira circolare e farla attraversare da una corrente elettrica.

 

Una spira circolare è sostanzialmente un filo disposto lungo una circonferenza. Nel momento in cui essa viene percorsa da una corrente si viene a generare un campo magnetico, con linee molto simili a quelle che si creano attorno a un magnete di piccolo spessore.

 

 

Campo magnetico di una spira circolare

Campo magnetico generato da una spira circolare percorsa da corrente.

 

 

Come di consueto le linee di campo sono chiuse, in accordo con il teorema di Gauss, e il loro verso di percorrenza è individuato dalla variante della regola della mano destra. In questo caso è sufficiente chiudere le dita della mano destra nel verso della corrente: il pollice disteso ci indicherà se le linee di campo vengono percorse verso l'alto o verso il basso all'interno della spira.

 

Il campo magnetico attorno alla spira assume valori diversi a seconda del punto dello spazio che si considera. Ciò è deducibile dal modo un cui sono disposte le linee di campo: vi sono infatti zone in cui le linee sono più fitte (campo magnetico più intenso) e zone in cui al contrario sono più diradate (campo magnetico più debole).

 

Nelle applicazioni e negli esercizi ciò che desta maggiore interesse è il valore del campo magnetico nel centro della spira, che si può calcolare mediante la formula:

 

 B = \frac{\mu_0}{2} \frac{i}{R}

 

Il campo al centro della spira è quindi direttamente proporzionale alla corrente i che circola nella spira ed è inversamente proporzionale al raggio R; per aumentare l'intensità del campo magnetico al centro della spira bisogna allora aumentare il valore della corrente, oppure diminuire il raggio.

 

Ricordiamo inoltre che \mu_0 è la costante di permeabilità magnetica del vuoto, e che vale \mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\ \frac{\mbox{Tm}}{\mbox{A}}.

 

Vi è un'ulteriore formula che si rivela particolarmente utile negli esercizi, e che ci permette di calcolare il campo magnetico in un punto qualsiasi dell'asse della spira:

 

 B = \frac{\mu_0i R^2}{2 \sqrt{\left( R^2 + x^2 \right)^3}}

 

dove con x abbiamo indicato la distanza del punto P dal centro della spira. Questa formula è decisamente più complessa della precedente e si vede, in particolare, che essa contempla il modulo di \vec{B} nel centro della spira come caso particolare. Per vederlo basta porre x=0 e svolgere i calcoli, ottenendo così l'espressione del campo magnetico nel centro della spira.

 

B(0) = \frac{\mu_0i R^2}{2 \sqrt{\left( R^2 \right)^3}}=\frac{\mu_0 i R^2}{2R^3}=\frac{\mu_0 i}{2R}

 

Esempio: campo magnetico al centro di due spire concentriche

 

Proviamo a risolvere un esercizio a titolo di esempio numerico: si hanno due spire circolari concentriche, di cui la più esterna (1) ha un raggio di 12 cm ed è percorsa da una corrente di 8 A, mentre la più interna (2) ha un raggio di 7 cm ed è attraversata da una corrente di 5 A.

 

Vogliamo calcolare il campo magnetico generato al centro delle due spire.

 

 

Campo magnetico di due spire circolari concentriche

Spire circolari concentriche percorse da correnti con versi opposti.

 

 

Svolgimento: il campo magnetico totale è dato dalla somma vettoriale dei campi generati dalle spire separatamente.

 

Partiamo dal calcolo dei moduli dei due campi ricorrendo all'opportuna formula:

 

 B_1 = \frac{\mu_0}{2} \frac{i_1}{R_1} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \ \frac{\mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2} \cdot \frac{8 \mbox{ A}}{0,12 \mbox{ m}} \simeq 4,2 \cdot 10^{-5} \mbox{ T} \\ \\ \\ B_2 = \frac{\mu_0}{2} \frac{i_2}{R_2} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \ \frac{\mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2} \cdot \frac{5 \mbox{ A}}{0,07 \mbox{ m}} \simeq 4,5 \cdot 10^{-5} \mbox{ T}

 

A questo punto dobbiamo gestire la somma vettoriale tenendo conto dei versi. Applicando la regola della mano destra e facendo riferimento alla figura capiamo che \vec{B}_1 è uscente e che \vec{B}_2 è entrante.

 

Se fissiamo un sistema di riferimento in cui consideriamo positivo il verso uscente e negativo quello entrante (la scelta è arbitraria) possiamo calcolare il campo totale esprimendo i vettori campo magnetico come moduli con segno

 

 \vec{B}_{tot} = \vec{B}_1+\vec{B}_2=\\ \\ = B_1 - B_2 \simeq \\ \\ \simeq 4,2 \cdot 10^{-5} \mbox{ T} - 4,5 \cdot 10^{-5} \mbox{ T} = - 0,3 \cdot 10^{-5} \mbox{ T}

 

e ne deduciamo che il campo totale al centro delle due spire concentriche è entrante.

 

Esempio: campo magnetico con spira circolare e filo rettilineo

 

Vediamo un altro esempio. Abbiamo una spira poggiata sul piano del foglio e, accanto ad essa, un filo rettilineo situato alla distanza d=18 \mbox{ cm}. La spira di raggio R=10 \mbox{ cm} è percorsa da una corrente i_2=4 \mbox{ A} in senso orario e il filo è percorso da una corrente i_1=6 \mbox{ A} che scorre verso l'alto.

 

Vogliamo sapere quanto vale il campo magnetico totale nel centro della spira.

 

 

Campo magnetico generato da spira circolare e filo rettilineo

Spira circolare e filo rettilineo percorsi da corrente.

 

 

Svolgimento: il campo è dato dalla somma vettoriale di due contributi:

 

- il campo \vec{B}_1 prodotto dal filo rettilineo, che possiamo calcolare con la legge di Biot-Savart;

 

- il campo \vec{B}_2 prodotto dalla spira, che possiamo calcolare con la legge vista in precedenza.

 

Calcoliamo i moduli dei due campi distintamente, cominciando con quello del filo rettilineo:

 

 B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_1}{d + R} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \ \frac{\mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2 \pi} \cdot \frac{6 \mbox{ A}}{(0,18 + 0,10) \mbox{ m}} \simeq 4,3 \cdot 10^{-6} \mbox{ T}

 

Da notare che la distanza tra il filo e il centro della spira è data dalla somma d+R. Passiamo al campo magnetico della spira circolare:

 

 B_2 = \frac{\mu_0}{2} \frac{i_2}{R} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \ \frac{\mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2} \cdot \frac{4 \mbox{ A}}{0,10 \mbox{ m}} \simeq 2,5 \cdot 10^{-5} \mbox{ T}

 

Applicando la regola della mano destra al filo scopriamo che il campo \vec{B}_1 nel centro della spira è uscente (e lo consideriamo positivo) mentre il campo \vec{B}_2 è entrante (lo consideriamo negativo). Per determinare il campo totale possiamo allora sottrarre i due campi, in quanto paralleli e discordi.

 

 \vec{B}_{tot} = \vec{B}_1+\vec{B}_2 = \\ \\ = B_1 - B_2 \simeq \\ \\ \simeq 4,3 \cdot 10^{-6} \mbox{ T} - 2,5 \cdot 10^{-5} \mbox{ T} = - 2,2 \cdot 10^{-5} \mbox{ T}

 

Poiché il risultato è negativo, il campo totale è entrante.

 

 


 

Non c'è altro da aggiungere. Vi aspettiamo nella prossima lezione, dove affronteremo la terza configurazione notevole e studieremo il campo magnetico generato da un solenoide.

 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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