Forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente

La forza magnetica tra due fili rettilinei percorsi da corrente è attrattiva se le correnti scorrono con lo stesso verso e repulsiva in caso contrario; tale forza magnetica agisce sui due fili con la medesima intensità, data dalla formula F=(μ0i1i2l)/(2πd).

 

Dopo aver studiato la relazione tra un filo rettilineo percorso da corrente, il campo magnetico che esso genera e la forza magnetica che subisce quando è immerso in un campo esterno, ci domandiamo cosa può accadere avvicinando due fili rettilinei percorsi da corrente.

 

Come vedremo tra un istante il risultato consiste in una forza magnetica esercitata da ciascun filo sull'altro. Vedremo in particolare perché si genera un'interazione, come calcolare tale forza e come ricavare la relativa formula.

 

Interazione tra due fili rettilinei percorsi da corrente

 

Abbiamo visto che un filo rettilineo percorso da corrente crea attorno a sé un campo magnetico calcolabile con la legge di Biot-Savart. Allo stesso tempo, se un filo rettilineo percorso da corrente viene immerso in campo magnetico, subisce una forza magnetica che lo spinge in una direzione precisa.

 

Un filo, dunque, quando è percorso da corrente elettrica crea un campo magnetico e allo stesso tempo può subire una forza esercitata da un campo magnetico esterno.

 

Quando si collocano due fili rettilinei della stessa lunghezza in modo che siano paralleli, e si fa scorrere corrente all'interno di essi, si nota che tra i fili si esercita una forza che può essere attrattiva o repulsiva a seconda del verso di percorrenza delle correnti. In particolare:

 

- i due fili si attraggono quando le correnti scorrono nello stesso verso;

 

- i due fili si respingono quando le correnti scorrono in versi opposti.

 

 

Forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente

Forza magnetica attrattiva o repulsiva tra due fili.

 

 

La formula per la forza tra due fili percorsi da corrente è la seguente:

 

 F = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_1 i_2 l}{d}

 

Con i_1,i_2 indichiamo le correnti che scorrono nei due fili, con l la loro comune lunghezza e con d la loro distanza reciproca. Al solito \mu_0 denota la costante di permeabilità magnetica nel vuoto.

 

La forza è quindi direttamente proporzionale alle intensità di corrente e alla lunghezza, ed è inversamente proporzionale alla distanza. Se si incrementa l'intensità di una delle due correnti, o la lunghezza dei fili, la forza diventa più intensa; se i due fili vengono allontanati aumentandone la distanza reciproca, la forza diminuisce.

 

Le formule inverse si ricavano con semplici passaggi algebrici:

 

 d = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_1 i_2 l}{F} \ \ \ ; \ \ \ l = \frac{2 \pi}{\mu_0} \frac{Fd}{i_1 i_2} \\ \\ \\ i_1 = \frac{2 \pi}{\mu_0} \frac{Fd}{i_2 l} \ \ \ ; \ \ \ i_2 = \frac{2 \pi}{\mu_0} \frac{Fd}{i_1 l}

 

Perché tra due fili rettilinei percorsi da corrente viene esercitata una forza?

 

L'origine della forza magnetica tra i due fili va ricercata nella combinazione dei due fenomeni che abbiamo richiamato all'inizio di questa lezione:

 

- ogni filo, per il solo fatto di essere percorso da corrente, genera attorno a sé un campo magnetico con linee di campo circolari concentriche con centro sul filo stesso;

 

- ciascun filo finisce per trovarsi immerso all'interno del campo magnetico generato dall'altro, e di conseguenza subisce una forza.

 

Ciascun filo dunque è il responsabile della forza che si esercita sull'altro e nello stesso tempo è soggetto alla forza creata dal campo magnetico dell'altro. Il risultato dell'interazione è una forza che viene esercitata su entrambi fili, ed è proprio a partire da questa osservazione che si può ricavare la formula scritta in precedenza.

 

Dimostrazione della formula per la forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente

 

Consideriamo il primo filo: per la legge di Biot-Savart esso crea un campo magnetico \vec{B}_1, che alla distanza d (e quindi in corrispondenza del secondo filo) è dato da:

 

 B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_1}{d}

 

Essendo immerso nel campo magnetico generato dal primo filo, il secondo filo subisce una forza \vec{F}_2 data dalla legge:

 

 \vec{F}_2 = i \vec{l}_2 \times \vec{B}_1

 

Determiniamone il modulo. Come si può vedere dal disegno, sul filo 2 i vettori \vec{l}_2 e \vec{B}_1 sono perpendicolari, per cui il prodotto vettoriale si riduce al prodotto dei moduli. Indichiamo il modulo di \vec{l}_2 con l (e ricordiamo che i due fili hanno la stessa lunghezza):

 

 F_2 = i_2lB_1

 

Se sostituiamo la formula del campo \vec{B}_1 scritta in precedenza, otteniamo

 

 F_2 = i_2l \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_1}{d} = \\ \\ \\ = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_1 i_2 l}{d}

 

ossia la formula per la forza magnetica tra i due fili. Avremmo ottenuto lo stesso risultato anche se avessimo considerato la forza \vec{F}_1 sul filo 1 dovuta al campo \vec{B}_2 del filo 2.

 

Vale la pena di sottolineare che la forza magnetica (in modulo) è la stessa su entrambi i fili, dunque non ha senso distinguere tra l'uno e l'altro filo, e si può semplicemente denotare con F. Questo perché la forza deve obbedire al principio di azione e reazione (terza legge della dinamica), secondo cui se un corpo A esercita una forza su un corpo B, allora il corpo B esercita una forza uguale e contraria sul corpo A.

 

Se il primo filo attrae verso di sé il secondo filo, quest'ultimo reagisce esercitando sul primo una forza uguale in modulo (quindi con lo stesso valore numerico) ma di verso opposto.

 

 


 

Ci fermiamo qui, ma non scappate! La prossima puntata del corso sarà dedicata al campo magnetico generato da una spira, una configurazione magnetica notevole che ci accompagnerà di frequente nello sviluppo della teoria.

 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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