Campo magnetico generato da più fili rettilinei

Il campo magnetico generato da più fili percorsi da corrente si calcola mediante il principio di sovrapposizione, ossia come somma vettoriale dei campi magnetici generati dai singoli fili nel punto considerato.

 

Nella precedente lezione abbiamo introdotto la legge di Biot-Savart, con la quale siamo in grado di determinare il campo magnetico di un filo rettilineo percorso da corrente in qualsiasi punto dello spazio circostante.

 

Ora generalizziamo il metodo: ci occupiamo del principio di sovrapposizione dei campi magnetici, che ci permetterà di calcolare il campo risultante generato dal contributo di due o più fili.

 

Sovrapposizione dei campi magnetici generati da più fili rettilinei

 

La legge di Biot-Savart ci permette di calcolare il valore del campo magnetico generato da un filo rettilineo percorso da corrente. In particolare sappiamo che il campo è direttamente proporzionale alla corrente che scorre nel filo e che è inversamente proporzionale alla distanza.

 

Se siamo in presenza di un solo filo non ci serve sapere altro, ma se i fili fossero più di uno come potremmo calcolare il campo magnetico in un certo punto dello spazio, dato che avremmo più contributi?

 

Analizziamo la situazione a partire da un esempio concreto.

 

 

Campo magnetico di due fili percorsi da corrente

Campo magnetico di due fili percorsi da corrente.

 

 

Supponiamo di avere due fili ideali percorsi da corrente continua in versi opposti e situati a una distanza reciproca d pari a 24 centimetri. Vogliamo calcolare il valore del campo magnetico totale nel punto A, che si trova esattamente a metà tra i due fili.

 

Dato che abbiamo due fili, e poiché ognuno di essi genera attorno a sé un campo magnetico, l'idea è di calcolare separatamente il campo generato da ciascuno di essi e poi capire in che modo determinare il campo magnetico risultante.

 

Partiamo allora dal calcolo del campo magnetico generato dal primo filo e applichiamo la legge di Biot-Savart, sapendo che la i_1=3 \ \mbox{A}. Teniamo conto che la distanza tra ciascun filo e il punto A è pari alla metà della distanza tra i due fili.

 

 B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_1}{\frac{d}{2}} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{\ \mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2 \pi} \cdot \frac{3 \ \mbox{A}}{12 \cdot 10^{-2} \ \mbox{m}} = 5 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T}

 

In maniera del tutto analoga calcoliamo il campo generato dal secondo filo in A, sapendo che la corrente che lo attraversa è i_2=5 \ \mbox{A}:

 

 B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_2}{\frac{d}{2}} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{\ \mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2 \pi} \cdot \frac{5 \ \mbox{A}}{12 \cdot 10^{-2} \ \mbox{m}} \simeq 8,33 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T}

 

A questo punto si tratta di applicare il principio di sovrapposizione dei campi magnetici (del tutto analogo al principio di sovrapposizione dei campi elettrici).

 

Il campo magnetico è infatti un vettore in ogni punto dello spazio e, nel momento in cui bisogna calcolare il campo risultante, è necessario procedere con la somma vettoriale.

 

 

Sovrapposizione dei campi magnetici di due fili percorsi da corrente

Sovrapposizione dei campi magnetici generati dai due fili.

 

 

Versi) Dobbiamo innanzitutto capire in che modo sono orientati i vettori \vec{B}_1,\vec{B}_2 che abbiamo appena calcolato. Per farlo bisogna ricorrere alla regola della mano destra, di cui abbiamo parlato nella lezione sulla legge di Biot-Savart, che ci permette di capire in quale verso sono orientate le linee di campo circolari attorno al filo.

 

La regola ci impone di collocare il pollice della mano destra lungo il filo, nel verso della corrente, e di chiudere la mano. Il verso in cui si chiudono le dita individua il verso di percorrenza delle linee di campo.

 

Applicando la regola nel caso considerato scopriamo che le linee di campo attorno al primo filo ruotano in senso antiorario, e che quelle attorno al secondo filo seguono il senso orario.

 

Direzioni) A questo punto dobbiamo capire quali sono le direzioni dei due campi in A. Seguendo la linea di campo del filo 1 passante per A, si vede che il campo entra perpendicolarmente nell'immagine, e così fa anche il vettore \vec{B}_1 visto che deve essere tangente alla linea e avere lo stesso verso.

 

Per il vettore \vec{B}_2 vale un discorso del tutto analogo.

 

A questo proposito è necessario avere un po' di immaginazione, in modo da trasporre la situazione dalle tre alle due dimensioni. Il modo grafico per indicare un vettore entrante e perpendicolare al piano del foglio è dato da un cerchietto con una croce, mentre un vettore uscente si rappresenta con un cerchietto e un puntino al centro. Si tratta semplicemente della rappresentazione schematica di una freccia: quando la freccia viene verso di noi, ne vediamo la punta (vettore uscente); quando si allontana, ne vediamo il retro (vettore entrante).

 

 

Vettori entranti e vettori uscenti

 

 

In A i due campi sono vettori paralleli e concordi per cui, secondo le regole del calcolo vettoriale, possiamo fissare un opportuno sistema di riferimento ed esprimere la somma vettoriale come somma dei moduli per ottenere il campo magnetico totale.

 

 \vec{B}_A = \vec{B}_1+\vec{B}_2 = \\ \\ = B_1 + B_2 \simeq \\ \\ \simeq 5 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T} + 8,33 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T} = 13,33 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T}

 

Proviamo a seguire la stessa procedura per calcolare il campo magnetico risultante nel punto B. Calcoliamo separatamente i due campi sapendo che la distanza d_B vale 18 cm, e prestando attenzione alla distanza del filo 2 che è data dalla somma d+d_B.

 

 B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_1}{d_B} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{\ \mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2 \pi} \cdot \frac{3 \ \mbox{A}}{18 \cdot 10^{-2} \ \mbox{m}} \simeq 3,33 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T} \\ \\ \\ B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_2}{d + d_B} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{\ \mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2 \pi} \cdot \frac{5 \ \mbox{A}}{42 \cdot 10^{-2} \ \mbox{m}} \simeq 2,38 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T}

 

Con la regola della mano destra osserviamo che il campo \vec{B}_1 è uscente mentre il campo \vec{B}_2 è entrante. Se assumiamo che il verso uscente sia positivo e che quello entrante sia negativo, poiché i due vettori hanno versi opposti possiamo limitarci ai rispettivi moduli con segno.

 

 \vec{B}_B = \vec{B}_1+\vec{B}_2 = \\ \\ = B_1 - B_2 \simeq \\ \\ \simeq 3,33 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T} - 2,38 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T} = 0,95 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T}

 

Il risultato è positivo, quindi il vettore risultante è uscente.

 

Ripetiamo lo stesso ragionamento per calcolare il campo magnetico totale nel punto C, che dista dal filo 2 d_C=12 \mbox{ cm}.

 

 B_1 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_1}{d + d_C} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{\ \mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2 \pi} \cdot \frac{3 \ \mbox{A}}{36 \cdot 10^{-2} \ \mbox{m}} \simeq 1,67 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T} \\ \\ \\ B_2 = \frac{\mu_0}{2 \pi} \frac{i_2}{d_C} = \\ \\ \\ = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \frac{\ \mbox{Tm}}{\mbox{A}}}{2 \pi} \cdot \frac{5 \ \mbox{A}}{12 \cdot 10^{-2} \ \mbox{m}} \simeq 8,33 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T}

 

Questa volta il campo \vec{B}_1 è entrante (negativo) e \vec{B}_2 è uscente (positivo), per cui il campo magnetico totale in C è:

 

 \vec{B}_C = \vec{B}_1+\vec{B}_2 = \\ \\ = -B_1 + B_2 \simeq \\ \\ \simeq - 1,67 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T} + 8,33 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T} = 6,66 \cdot 10^{-6} \ \mbox{T}

 

Il risultato è positivo, dunque ne deduciamo che B_C è uscente.

 

Nel caso vi fossero più di due fili il metodo non cambierebbe.

 

 


 

È tutto! Nella prossima puntata del corso studieremo la forza agente su un filo rettilineo percorso da corrente in un campo magnetico. Vi aspettiamo! E come al solito vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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