Teorema di Gauss per il campo magnetico

Il teorema di Gauss per il campo magnetico stabilisce che il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è nullo.

 

Ricordate ciò che abbiamo studiato riguardo al flusso del campo elettrico e al teorema di Gauss per il campo elettrico? Se la risposta è negativa, vi raccomandiamo un ripasso prima di procedere con la lettura.

 

In questa lezione presenteremo la legge di Gauss per il campo magnetico e, come vedrete, le analogie con il caso elettrico si sprecheranno. Non ci dilungheremo sui prerequisiti necessari per giungere alla formulazione dell'enunciato (ad esempio nozione di vettore superficie e di flusso di un campo), perché le nozioni teoriche sono le stesse.

 

Nonostante la spiegazione possa sembrare astratta il teorema di Gauss è uno dei capisaldi dell'intera teoria, si traduce in una formula molto semplice e ha importanti implicazioni pratiche nel calcolo del campo magnetico. Non sottovalutatene la portata. ;)

 

Premessa per il teorema di Gauss per il campo magnetico

 

Il campo elettrico e il campo magnetico hanno evidenti affinità. Sono entrambi campi vettoriali, infatti associano a ogni punto dello spazio un vettore che descrive il campo nel punto mediante modulo, direzione e verso.

 

Entrambi sono rappresentabili mediante linee di campo, costruite secondo le medesime regole: sempre tangenti al vettore del campo in ogni punto, orientate secondo il verso del vettore e più fitte ove il campo si manifesta con maggiore intensità.

 

Date tali affinità non stupisce che si possa enunciare un teorema di Gauss per il campo magnetico in modo analogo a quanto fatto per il campo elettrico.

 

Flusso del campo magnetico attraverso superfici piane o chiuse

 

Per arrivare all'enunciato del teorema è necessario definire prima il concetto di flusso del campo magnetico. Anche in questo caso valgono considerazioni analoghe a quelle a noi già note, quindi saremo sintetici.

 

Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie piana è dato dal prodotto scalare tra il vettore del campo e il vettore superficie.

 

 \Phi (\vec{B}) = \vec{B} \cdot \vec{S} \ \ \ (S \ \mbox{superficie piana})

 

L'unità di misura del flusso del campo magnetico è il Tm2 (tesla per metri quadrati).

 

In base alla definizione di prodotto scalare risulta che il flusso è uno scalare, ossia un valore numerico corredato da un'unità di misura. Ricordiamo che il prodotto scalare si può esprimere come prodotto tra i moduli dei due vettori \vec{B},\vec{S} e il coseno dell'angolo compreso tra di essi. Chiamando quest'ultimo \alpha, possiamo riscrivere la precedente formula nel seguente modo:

 

 \Phi (\vec{B}) = BS \cos(\alpha)\ \ \ (S \ \mbox{superficie piana})

 

In particolare:

 

- se i vettori \vec{B},\vec{S} sono paralleli concordi allora il flusso assume il suo massimo valore, e il calcolo si riduce al semplice prodotto dei moduli, infatti il coseno di zero infatti vale 1.

 

\alpha=0\ \to\ \Phi(\vec{B})=\Phi_{max}

 

- Se i due vettori sono perpendicolari, allora il flusso vale 0 perché tale è il valore del coseno di 90°.

 

\alpha=90^{\circ}\ \to\ \Phi(\vec{B})=0

 

- Per un angolo compreso tra gli estremi 0°, 90° il flusso ha un valore compreso fra 0 e il suo valore massimo.

 

0<\alpha<90^{\circ}\ \to\ 0<\Phi(\vec{B})<\Phi_{max}

 

- Per angoli maggiori di 90° e minori di 180° il flusso diventa negativo, poiché il coseno per tali ampiezze dell'angolo è negativo.

 

90^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\ \to\ -\Phi_{max}<\Phi(\vec{B})<0

 

- se i vettori \vec{B},\vec{S} sono paralleli discordi allora il flusso assume il suo minimo valore, in quanto il coseno di 180° vale -1.

 

\alpha=180^{\circ}\ \to\ \Phi(\vec{B})=-\Phi_{max}

 

Nel caso di superfici chiuse è bene ricordare che il vettore superficie è sempre diretto verso l'esterno, e dunque:

 

- il flusso è positivo quando il campo magnetico esce dalla superficie;

 

- il flusso è negativo quando il campo magnetico entra nella superficie.

 

Enunciato e formula del teorema di Gauss per il campo magnetico

 

Con tutte queste premesse possiamo finalmente enunciare il teorema di Gauss per il campo magnetico: il flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa è sempre uguale a zero.

 

In formule possiamo scrivere:

 

 \Phi (\vec{B}) = 0 \ \ \ (\mbox{S superficie chiusa})

 

Sottolineiamo che il teorema di Gauss fa riferimento alle superfici chiuse e che il teorema è valido solo in questo caso. Nell'eventualità delle superfici piane, ad esempio, il teorema non è applicabile.

 

 

Teorema di Gauss campo magnetico

Teorema di Gauss per il campo magnetico.

 

 

A differenza del flusso del campo elettrico, che dipendeva solamente dalla carica interna e che poteva anche essere nullo se la carica interna era nulla, si capisce subito che il flusso del campo magnetico è sempre nullo.

 

La motivazione sta nel fatto che i poli magnetici nord e sud sono sempre accoppiati, e ciò costringe le linee di campo che escono dal nord ed entrano nel sud a essere sempre chiuse. In questo modo, per ogni linea che esce dalla superficie e che dà un contributo positivo al calcolo del flusso, c'è una linea che entra nella superficie e che dà un contributo negativo. La somma algebrica di tutti i contributi al flusso totale è quindi pari a zero.

 

Il teorema di Gauss è dunque una legge che esprime in linguaggio matematico le caratteristiche delle linee di campo magnetico a noi già note: le linee di campo magnetico sono sempre chiuse, indipendentemente da ciò che genera il campo, e non possono esistere monopoli magnetici, ossia un polo nord o un polo sud isolati. Se ciò fosse possibile le linee di campo non sarebbero chiuse: attorno a un singolo polo le linee avrebbero la stessa geometria radiale che hanno le linee del campo elettrico attorno a una singola carica.

 

A chi ha sufficienti competenze in Analisi 2 facciamo notare che la legge di Gauss si può scrivere anche in forma differenziale, affermando che la divergenza del campo magnetico uguale a zero.

 

 \nabla \cdot \vec{B} = 0

 

Concludiamo dicendo che il teorema di Gauss per il campo magnetico, così come quella per il campo elettrico, è una delle quattro equazioni di Maxwell, ossia una delle quattro equazioni fondamentali che stanno alla base di tutta la teoria elettromagnetica.

 

 


 

Per il momento è tutto. Nella prossima puntata del corso parleremo dell'esperienza di Oersted; in caso di dubbi o domande ricordatevi che qui su YM ci sono tantissime lezioni, approfondimenti ed esercizi risolti. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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