Legge di Stevino

La legge di Stevino è una legge che esprime il valore di pressione esercitata da un fluido su un corpo immerso al suo interno, in funzione della profondità a cui è situato il corpo e a partire dal valore dell'accelerazione di gravità e dalla densità del fluido.

 

Nella lezione sulla pressione abbiamo visto che un corpo immerso in un fluido subisce una pressione che tende a comprimerlo in tutte le direzioni. È giunto il momento di approfondire il discorso e di introdurre la legge di Stevino, la prima vera legge che si affronta nello studio dell'Idrostatica.

 

Enunciato e formula della legge di Stevino

 

La legge di Stevino permette di calcolare la pressione che un fluido incomprimibile è in grado di esercitare su un corpo al variare della profondità a cui è collocato il corpo. La legge analitica che esprime la variazione di pressione in funzione della profondità è la formula della legge di Stevino:

 

p=\rho g h

 

dove \rho denota la densità del fluido, g il valore dell'accelerazione di gravità (≈9,81 m/s2) e h la profondità misurata rispetto a un opportuno sistema di riferimento.

 

 

Esempio e prime osservazioni sulla legge di Stevino

 

Come primissima osservazione vogliamo sottolineare una condizione che potrebbe essere passata inosservata: la legge di Stevino vale solamente per i fluidi incomprimibili. In altri termini essa è valida solamente nel caso dei liquidi.

 

Dalla formula della legge di Stevino è facile comprendere che la pressione è direttamente proporzionale alla profondità h, oltre che alla densità del fluido \rho.

 

Attenzione al fatto che con la lettera h si intende la profondità e non l'altezza; se ad esempio volessimo calcolare a quale pressione siamo soggetti quando ci troviamo immersi in mare a 2 metri di profondità, dovremmo considerare un sistema di riferimento in cui la quota zero coincide con la superficie dell'acqua. Dunque h=2\mbox{ m}, cioè la distanza che ci separa dalla superficie dell'acqua e non dal fondo del mare.

 

Per procedere al calcolo del valore di pressione in questo esempio è necessario conoscere il valore di densità dell'acqua di mare, indicativamente \rho=1030\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}, che è leggermente superiore al valore di densità dell'acqua \left(\rho=1000\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right):

 

p=\rho gh=\left(1030\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right) \cdot \left(9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right)\cdot (2\mbox{ m})\simeq 2,02 \cdot 10^4\mbox{ Pa}

 

Un'ulteriore, immediata conseguenza della legge di Stevino riguarda i corpi estesi: un corpo immerso in un fluido sarà soggetto a pressioni differenti sulle varie parti della sua superficie. In particolare la pressione che viene esercita sulla superficie superiore è minore di quella che viene esercita dal basso sulla sua superficie inferiore.

 

Significato della legge di Stevino

 

Quella che abbiamo calcolato nel precedente esempio è la pressione con cui l'acqua tende a comprimerci a una profondità di 2 metri. Scendendo più in profondità è ragionevole aspettarsi che la pressione aumenti, ma in che modo?

 

Se riscriviamo la precedente formula e consideriamo costanti la densità e l'accelerazione di gravità, allora possiamo interpretare la legge di Stevino come una funzione che esprime la pressione al variare della profondità

 

p(h)=\rho g h

 

In questi termini si nota subito che l'espressione della funzione p=p(h) è della forma

 

f(x)=M x

 

dunque essa ha come grafico una retta con coefficiente angolare M=\rho g e ordinata all'origine nulla. In buona sostanza la pressione aumenta in modo lineare, il che significa che se la profondità raddoppia, la pressione raddoppia; se la profondità triplica, anche la pressione triplica... e così via.

 

Interpretazione della legge di Stevino

 

Con tutte le premesse viste fin qui vogliamo analizzare a fondo qual è l'interpretazione della legge di Stevino rispetto alla nozione di pressione. Attenzione: quella che stiamo proponendo non è una dimostrazione della legge di Stevino!

 

Osserviamo la seguente figura:

 

 

Dimostrazione della legge di Stevino

Interpretazione della legge di Stevino: 
colonna di liquido di altezza h.

 

 

Consideriamo senza ledere in generalità un oggetto immerso in acqua a una profondità h. A partire dalla superficie superiore dell'oggetto di massa m immerso, consideriamo una colonna di altezza h fino alla superficie dell'acqua.

 

Ricordiamoci che la densità è definita come

 

 \rho = \frac{m}{V}

 

Se consideriamo la colonna d'acqua, il suo volume è:

 

V=A_{base}h \ \to\ \rho=\frac{m}{A_{base}h}

 

Sostituiamo questa espressione nella legge di Stevino:

 

 p = \frac{m}{A_{base}h} gh = \frac{m}{A_{base}} g = \frac{F_{p}}{A_{base}}

 

Torniamo così ad avere la definizione di pressione come rapporto della forza sulla superficie. In questo caso la forza che esercita la pressione è data dalla forza peso e la superficie è quella del corpo immerso nel fluido.

 

In questo modo abbiamo ricavato una semplice interpretazione della legge di Stevino: la pressione che un fluido esercita su un corpo immerso al suo interno è data dal peso della colonna di fluido che sovrasta il corpo. Più andiamo in profondità, più la colonna diventa alta e maggiore sarà la forza peso esercitata da essa, cosicché sarà maggiore anche la pressione esercitata sul corpo.

 

Qualcuno a questo punto potrebbe obiettare che c'è qualcosa che non quadra: la precedente interpretazione è chiara, ma il ragionamento sembrerebbe fallire se volessimo calcolare la pressione agente sulla parte inferiore o laterale di un corpo immerso. Obiezione corretta. Il fatto è che ci manca un risultato teorico che vedremo nel seguito (il principio di Pascal), il quale stabilisce che in un qualsiasi fluido la pressione viene trasmessa inalterata in ogni suo punto e a qualsiasi profondità.

 

Legge di Stevino, pressione atmosferica e pressione subacquea

 

Nella lezione successiva tratteremo in lungo in largo la pressione atmosferica e spiegheremo come è stata misurata storicamente; per il momento ci accontentiamo di leggere un barometro e di sapere che la pressione atmosferica al livello del mare vale

 

p_{atm}=101325\mbox{ Pa}

 

Anche se la legge di Stevino vale solo per i fluidi incomprimibili, la sua interpretazione fisica ci permette di intuire che la pressione atmosferica non è altro che la pressione esercitata da una colonna d'aria che raggiunge il livello del mare. Tale valore di pressione è tanto importante da aver indotto i fisici a definire un'ulteriore misura della pressione, che non a caso viene chiamata atmosfera ed indicata con la sigla \mbox{atm}

 

1\mbox{ atm}=101325\mbox{ Pa}

 

Immaginiamo di immergerci in mare \left(\rho=1030\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right) a una profondità di 10 metri e calcoliamo la pressione esercitata dall'acqua:

 

p=\rho gh=\left(1030 \ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right) \cdot \left(9,81 \ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (10\mbox{ m})= 101043\mbox{ Pa}

 

Abbiamo ottenuto un valore molto simile a quello della pressione atmosferica. La morale della favola è che ogni 10 metri circa di profondità l'acqua del mare esercita una pressione uguale alla pressione atmosferica, quindi se scendiamo a 20 metri la pressione sarà il doppio di quella atmosferica, e così via. Nel caso dell'acqua dolce otterremmo un valore di pressione leggermente inferiore.

 

Con queste considerazioni non è difficile scrivere il valore di pressione subacquea cui è soggetto un corpo immerso nel mare. Non dobbiamo limitarci a considerare la pressione esercitata dall'acqua, bensì dobbiamo sommare la pressione atmosferica (che viene esercitata fino alla superficie) e quella dell'acqua:

 

p=p_{atm}+\rho g h

 

dove h indica la profondità rispetto al livello del mare. La funzione che esprime il valore di pressione subacquea all'aumentare della profondità ha come grafico una retta di equazione y=Mx+Q, in cui la quota all'origine è data dalla pressione atmosferica: Q=p_{atm}.

 

Naturalmente non dobbiamo dimenticare che l'accelerazione di gravità non è una costante e che varia al variare della distanza dal centro della Terra; cionondimeno nelle applicazioni di nostro interesse potremo sempre approssimarla a una costante e considerare la precedente formula come una formula esatta.

 

Generalizzazione della legge di Stevino

 

Il precedente ragionamento si estende al caso di un fluido qualsiasi e ci permette di fornire una generalizzazione della legge di Stevino. Dobbiamo distinguere due casi:

 

1) dato un fluido incomprimibile contenuto in un recipiente chiuso e un corpo immerso nel fluido, la pressione esercitata sul corpo viene descritta dalla legge di Stevino:

 

p=\rho g h

 

2) Dato un fluido incomprimibile in un recipiente aperto e un corpo immerso al suo interno, la pressione esercitata sul corpo è data dalla somma di due contributi: la pressione esercitata dall'atmosfera e quella esercitata dal fluido

 

p=p_0+\rho g h

 

Il valore p_0 corrisponde alla pressione esercitata dalla colonna d'aria e coincide con la pressione atmosferica p_{atm} solo al livello del mare; a quote superiori al livello del mare esso assume un valore p_0<p_{atm}, poiché la colonna d'aria sovrastante ha un'altezza minore.

 

Esempio svolto sulla legge di Stevino

 

Proviamo a risolvere il seguente esercizio: un sottomarino è immerso in mare a una profondità di 80 metri. Tralasciando la pressione atmosferica, con quale forza l'acqua spinge un suo oblò di diametro pari a 30 cm?

 

Svolgimento: calcoliamo la pressione esercitata dall'acqua con la legge di Stevino:

 

p=\rho gh=\left(1030 \: \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right) \cdot \left(9,81 \: \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\right) \cdot (80 \mbox{ m})= 808344 \mbox{ Pa}

 

Ora, grazie alla definizione di pressione, possiamo calcolare la forza:

 

p=\frac{F_{\perp}}{S}

 

da cui ricaviamo la formula inversa ed esprimiamo S con la formula per l'area del cerchio

 

F_{\perp} = pS = pr^2\pi = (808344 \mbox{ Pa}) \cdot (0,15 \mbox{ m})^{2} \pi \simeq 5,71 \cdot 10^{4}\mbox{ N}

 

 


 

Più avanti tratteremo l'equivalente della legge di Stevino per i fluidi comprimibili e, nel farlo, avremo anche modo di proporre una dimostrazione della legge di Stevino. Non solo: proporremo un'ulteriore variante della dimostrazione nella lezione sull'equilibrio statico dei fluidi in presenza di gravità.

 

Se volete esercitarvi, ricordate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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