Fluidi comprimibili

Un fluido comprimibile, detto anche fluido compressibile, è un tipo di fluido che può essere compresso. Tipicamente gli unici fluidi comprimibili sono i gas e sono soggetti ad una legge di pressione di tipo esponenziale diversa dalla legge di Stevino.

In questa lezione vi proponiamo la definizione di fluido comprimibile e vediamo qual è la principale caratteristica che li contraddistingue. Fatto ciò, introdurremo l'equivalente della legge di Stevino e la corrispondente formula esponenziale per la pressione nei fluidi comprimibili.

A proposito: nel darne la dimostrazione avremo anche modo di dimostrare la legge di Stevino. ;)

Definizione di fluido comprimibile

Cerchiamo innanzitutto di capire quali sono i fluidi comprimibili. Sappiamo che col termine fluidi si indicano sia i liquidi sia i gas. Sappiamo anche che i liquidi sono di fatto incomprimibili, cioè non è possibile far variare la loro densità, mentre i gas si possono comprimere con una certa facilità.

Ciò significa ad esempio che l'aria può assumere diversi valori di densità, motivo per il quale si specifica che il valore di 1,29 kg/m³ rappresenta la densità dell'aria in condizioni standard, ossia al livello del mare e a 0°C.

In buona sostanza possiamo dire che i fluidi comprimibili sono i gas, e la loro caratteristica di comprimibilità consiste nella possibilità di alterarne il valore di densità.

Legge per la pressione nei fluidi comprimibili

Se un fluido è comprimibile, la pressione non varia in funzione della profondità secondo la legge di Stevino, bensì con una legge diversa:

dove con intendiamo la quota, ossia l'altezza a cui ci troviamo partendo dal fondo, e non la profondità come nel caso della legge di Stevino. rappresenta la pressione a una quota di riferimento, e indica il valore di densità del fluido alla medesima quota di riferimento.

A ben vedere abbiamo già avuto a che fare con la legge per la pressione nei fluidi comprimibili che abbiamo scritto qui sopra. Nella lezione dedicata alla pressione atmosferica abbiamo infatti riportato la formula di tipo esponenziale

$p = p_0e^(- dfraczα)$

Dal confronto tra le due formule si evince che il parametro è dato da

Ad esempio, se proviamo a calcolare il valore del parametro nel caso dell'atmosfera, dobbiamo considerare come livello di partenza quello del mare, per cui risulta mentre il valore di densità dell'aria al livello del mare è dato da

α_(atm) = (101325 Pa)/((9,81 (m)/(s^2))·(1,29 (kg)/(m^3))) ≃ 8006,8 m

che è il valore che abbiamo indicato nella lezione sulla pressione atmosferica. Si noti che l'unità di misura del parametro che compare nella legge di pressione per i fluidi comprimibili è il metro; da un punto di vista didattico può essere utile effettuare l'analisi delle unità di misura che compaiono nella formula (da non confondere con l'analisi dimensionale)

(Pa)/((m)/(s^2)·(kg)/(m^3))

Applichiamo la regola per le frazioni di frazioni e ricordiamoci che il pascal è definito come rapporto tra 1 newton e 1 metro quadrato

((N)/(m^2))/((m)/(s^2)·(kg)/(m^3)) = (N)/(m^2)·(s^2)/(m)·(m^3)/(kg)

Dalla seconda legge di Newton sappiamo che il newton è il prodotto tra il chilogrammo e il metro al secondo quadrato. Con un'opportuna semplificazione ricaviamo

Dimostrazione della legge esponenziale per i fluidi comprimibili

Vediamo come si ricava la legge esponenziale per la pressione nei fluidi comprimibili. Premettiamo che la dimostrazione si rivolge unicamente agli universitari, per cui gli studenti delle scuole superiori possono limitarsi a leggerla per pura curiosità.

Consideriamo un volume infinitesimo di fluido di base e spessore .

Fluidi comprimibili

Volume infinitesimo di fluido.

Sulla superficie superiore si applica una forza data dal prodotto della pressione e della superficie , ossia

mentre sulla faccia inferiore si applica una forza maggiore perché la pressione è più intensa

Vi ricordate il metodo per studiare i sistemi soggetti all'equilibrio delle forze? In questo caso, oltre alle due forze dovute alla pressione, bisogna considerare anche la forza peso del volumetto di fluido

Se il fluido è in equilibrio allora la somma vettoriale di tutte le forze deve essere nulla

Se consideriamo un sistema di riferimento unidimensionale con origine corrispondente alla superficie superiore e verso delle coordinate crescenti rivolto verso il basso, possiamo riscrivere la notazione vettoriale specificando i segni dei termini coinvolti. Forze rivolte verso il basso positive, forze rivolte verso l'alto negative:

da cui

Grazie alla definizione di densità, la massa infinitesima può essere riscritta come

Di conseguenza:

Ma è il volume di un parallelepipedo ed è dato dal prodotto dell'area di base per l'altezza infinitesima , per cui:

Abbiamo di fatto dimostrato la legge di Stevino per variazioni infinitesime di pressione. Si noti che, nel caso dei fluidi incomprimibili (i liquidi), la densità rimane costante a qualsiasi profondità e quindi la precedente relazione si traduce automaticamente nella forma .

A noi però interessano i fluidi comprimibili, e per questi vale la seguente relazione (formula pressione-densità per fluidi comprimibili)

da cui

Ora, se consideriamo un sistema di riferimento unidimensionale con origine corrispondente alla superficie inferiore e verso crescente delle coordinate rivolto verso l'alto, possiamo riscrivere la in funzione della quota piuttosto che della profondità

Il segno meno ci dice che più ci spostiamo in alto, più la pressione diminuisce. Sostituiamo la relazione che abbiamo ricavato per la densità nell'ultima equazione

Abbiamo così un'equazione differenziale a variabili separabili:

che possiamo integrare:

∫_(p_(0))^(p(z))(dp)/(p) = -∫_(0)^(z)(ρ_(0))/(p_(0)) g dz

La tabella degli integrali fondamentali viene in nostro soccorso:

Poiché la pressione è certamente non negativa possiamo eliminare il valore assoluto, e inoltre applicando una nota proprietà dei logaritmi

In accordo con la definizione di logaritmo applichiamo l'esponenziale a entrambi i membri

(p(z))/(p_(0)) = e^(displaystyle-(ρ_(0)g)/(p_(0))z)

e ci siamo

Ecco che siamo giunti alla formula per la pressione nei fluidi comprimibili che abbiamo scritto all'inizio di questa lezione. Precisiamo che la pressione decresce esponenzialmente con l'altezza solo se si considera un fluido in condizioni isoterme, ossia con la medesima temperatura a qualunque altezza.

La lezione si conclude qui, nella successiva studieremo l'equilibrio statico nei fluidi. Come di consueto vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna per reperire tutto quello che vi serve qui su YM: ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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Tags: cosa sono i fluidi comprimibili e come si calcola la pressione nei fluidi comprimibili.