Principio di Archimede

Il principio di Archimede stabilisce che un corpo immerso in un fluido subisce una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del liquido spostato, dove la spinta esercitata dal fluido (liquido o gas) è una forza detta spinta di Archimede (o spinta idrostatica).

Qui di seguito forniremo l'enunciato e la formula della spinta di Archimede, per poi proporvi una spiegazione completa con esempi e un paio di esercizi svolti. La lezione potrebbe sembrare lunga ma è piuttosto leggera ed estremamente semplice, quindi cominciamo! ;)

Enunciato e formule del principio di Archimede

Perché alcuni oggetti galleggiano sull'acqua e altri vanno a fondo? Il principio fisico che regola il galleggiamento, e più in generale il comportamento di un corpo immerso in un fluido, è stato scoperto da Archimede di Siracusa nel III secolo a.C. e non a caso va sotto il nome di principio di Archimede.

La legge in questione ci permette di studiare il galleggiamento dei corpi immersi parzialmente o completamente in un qualsiasi fluido, liquido o gas. L'enunciato della legge di Archimede stabilisce che un corpo immerso in un fluido riceve una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del liquido spostato.

La spinta che viene menzionata nell'enunciato viene detta spinta di Archimede, o spinta idrostatica, ed è una forza diretta verticalmente verso l'alto, quindi con la stessa direzione ma verso opposto rispetto alla forza peso. Essa viene solitamente indicata con il simbolo o, a seconda dei casi, con la lettera .

Vediamo di tradurre l'enunciato in linguaggio matematico e di scrivere la formula del principio di Archimede:

dove indica la spinta di Archimede mentre indica la forza peso del fluido spostato (o se preferite, occupato). Poiché stiamo ragionando con delle grandezze vettoriali ricordatevi sempre di specificare la direzione ed il verso: in un sistema di riferimento con le quote crescenti dirette verso l'alto la forza peso è un vettore che punta verticalmente verso il basso; il segno meno fa sì che la spinta di Archimede sia un vettore che punta verticalmente verso l'alto.

In riferimento ai moduli, e dunque a prescindere dai segni:

Questa formula non è molto operativa nella risoluzione degli esercizi e nei calcoli espliciti, ma non è un problema: con il semplice ragionamento possiamo tradurla in una formula più esplicita. Scriviamo l'espressione della forza peso come prodotto tra la massa e l'accelerazione di gravità

Ora ricordiamoci la formula della densità, la quale stabilisce che la densità è il rapporto tra la massa ed il volume: . Invertendo la formula in favore della massa abbiamo ; nel nostro caso ci serve la massa di fluido occupato, quindi la esprimeremo come prodotto tra la densità del fluido e il volume di fluido occupato dal corpo:

La formula della spinta di Archimede ci permette quindi di esprimerla come prodotto tra:

- la densità del fluido ;

- il volume immerso del corpo (a seconda che il corpo sia parzialmente o completamente immerso);

- l'accelerazione di gravità.

Spiegazione sul principio di Archimede

Dalla formula si vede che la spinta di Archimede è direttamente proporzionale al volume immerso del corpo (attenzione: al volume immerso del corpo e non al volume del corpo immerso). Più correttamente, la forza di Archimede andrebbe definita come la forza proporzionale al peso del fluido spostato. Cosa vuol dire?

Se riempiamo un secchio d'acqua e poi vi immergiamo una pietra, notiamo che il livello dell'acqua sale. Ciò è dovuto al fatto che la pietra occupa all'interno del secchio un certo volume che prima era occupato dall'acqua, che di conseguenza ha dovuto spostarsi per cercare nuovo spazio. In generale ogni corpo sposta un volume di fluido pari alla parte del suo volume immerso.

Nel caso della pietra il volume immerso coincide con tutto il suo volume; ma se pensate a un tronco di albero che galleggia sulla superficie con solo una frazione del suo volume immersa in acqua, vi accorgerete che il volume immerso e il volume del corpo non sempre coincidono!

La spinta di Archimede tende quindi a spingere i corpi verso l'alto contrastando la forza di gravità che invece attira i corpi verso il basso. Si possono così creare diverse situazioni a seconda dei valori delle forze in gioco.

Le possibili situazioni a seconda che la spinta di Archimede
sia più o meno intensa rispetto alla forza peso.

1) Nel primo caso la forza peso è più intensa della spinta di Archimede e quindi il corpo affonda.

2) Nel secondo caso le due forze sono uguali in modulo  per cui il corpo è in perfetto equilibrio. Di conseguenza il corpo si mantiene fermo nella sua posizione ovunque venga collocato all'interno del fluido. Si tratta di un caso un po' particolare e difficile da realizzare.

3) Nel terzo caso invece è la forza di Archimede ad essere più intensa di quella di gravità , quindi se il corpo viene completamente immerso tende a risalire verso l'alto accelerando, fino a emergere e a raggiungere una posizione di equilibrio in cui galleggia con una parte del proprio volume immersa. È ciò che accade quando al mare immergete completamente un pallone: non appena lo lasciate andare, esso risale molto rapidamente uscendo fuori dall'acqua.

È importante sottolineare che nel caso 3) il corpo in condizione di equilibrio ha solo una parte immersa nel fluido. In questo caso la parte di volume immersa è quella necessaria per spostare quel volume di fluido il cui peso pareggia il peso dell'intero corpo, facendolo quindi galleggiare.

Principio di Archimede e densità

Analizzando la formula del principio di Archimede possiamo dire qualcosa in più. Riprendiamo i tre casi analizzati in precedenza e riscriviamo la forza peso e la spinta di Archimede in termini di densità e volume

1) Se , allora

Tenendo presente che le grandezze in gioco sono positive e semplificando opportunamente

Poiché il corpo affonda, il volume immerso e quello totale coincidono, sicché

In sintesi, per far sì che il corpo affondi la sua densità deve essere maggiore di quella del fluido.

2) Se , ossia in condizione di equilibrio delle forze, con calcoli analoghi ai precedenti ricaviamo

Abbiamo due possibilità:

2.A) se il corpo è in equilibrio e completamente immerso, allora e quindi

Ne deduciamo che un corpo immerso rimane in equilibrio a patto che la sua densità sia uguale a quella del fluido.

2.B) Se il corpo è in equilibrio ed è parzialmente immerso, allora e quindi

In sintesi: un corpo galleggia in equilibrio se la sua densità è minore di quella del fluido.

3) Se risulta

e poiché il corpo immerso tende a risalire, ne segue che fino a che esso non inizia ad emergere, dunque

In definitiva per far sì che un corpo tenda ad emergere, la sua densità deve necessariamente essere minore di quella del fluido.

Si noti che il caso 2.B) (corpo parzialmente immerso che galleggia) e 3) (corpo immerso che tende a emergere fino a galleggiare) si basano su condizioni iniziali differenti ma si riducono entrambi alla condizione di galleggiamento, che approfondiremo nella lezione successiva.

Ricapitolando, esiste una precisa relazione tra la spinta di Archimede e le densità del corpo e del fluido:

- se la densità del corpo è maggiore della densità del fluido → il corpo affonda;

- se la densità del corpo è uguale alla densità del fluido → il corpo è immerso e in equilibrio;

- se la densità del corpo è minore della densità del fluido → il corpo tende a galleggiare.

Esempi sul principio di Archimede

Vediamo un paio di esercizi svolti sulla legge di Archimede.

Esempio 1

Un corpo di massa 3 kg e di volume pari a 2·10^-3 m³ viene completamente immerso in acqua. Calcoliamo la sua accelerazione.

Svolgimento: innanzitutto dobbiamo capire se il corpo galleggia oppure va a fondo; per farlo calcoliamo la forza peso e la forza di Archimede (spinta idrostatica) e le mettiamo a confronto. Il volume immerso in questo caso coincide con tutto il volume del corpo.

Calcoliamo il peso del corpo

e calcoliamo la spinta di Archimede cui è sottoposto il corpo

Si vede subito che la forza peso è maggiore della spinta di Archimede e dunque il corpo affonda. Se vogliamo sapere con quale accelerazione si muove verso il basso dobbiamo ricorrere alla seconda legge di Newton

Scegliamo un sistema di riferimento con quote crescenti verso l'alto in modo da riscrivere la precedente equazione vettoriale esplicitando i segni

La differenza tra la forza di Archimede ed il peso ci dà la forza risultante:

dove il segno meno ci dice che l'accelerazione è diretta verso il basso, e dunque che il corpo affonda. Essa ovviamente inferiore a , dato che la forza di Archimede attenua la caduta del corpo.

Con lo stesso tipo di impostazione possiamo calcolare l'accelerazione con cui un corpo si muove verso l'alto nel caso la spinta di Archimede sia più intensa rispetto alla forza peso.

Esempio 2

Come secondo esempio vi proponiamo un grande classico. Consideriamo un iceberg che galleggia nell'oceano: qual è la porzione di iceberg immersa in acqua?

Svolgimento: poiché l'iceberg galleggia, è in equilibrio e ha una parte del proprio volume immersa. Chiamiamola , mentre indichiamo con il volume dell'iceberg nella sua interezza.

Imponiamo l'equilibrio delle forze e richiediamo che la forza peso sia pari alla spinta di Archimede. In riferimento ai moduli:

Qui arriva la parte delicata dell'esercizio. Dobbiamo scrivere correttamente le espressioni delle forze coinvolte: da un lato avremo il peso dell'intero iceberg, dall'altro la forza di Archimede relativa al volume di iceberg immerso. Sappiamo che quest'ultima coincide con il peso del liquido occupato:

Semplifichiamo l'accelerazione di gravità ed esprimiamo la massa totale come prodotto tra la densità del ghiaccio per il volume totale, mentre scriviamo la massa di fluido occupato come prodotto tra la densità dell'acqua di mare per il volume immerso

Sapendo che e che la densità dell'acqua di mare è circa

Quindi il volume di iceberg immerso è pari a 9/10 del volume totale e, di conseguenza, il volume emerso è pari a 1/10! Dall'esempio si capisce inoltre piuttosto facilmente che il ghiaccio galleggia sempre sull'acqua poiché ha una densità inferiore sia rispetto all'acqua di mare che all'acqua dolce (si veda densità dell'acqua).

Il principio di Archimede fa sì che gli iceberg nascondano circa 9/10
del loro volume totale. Povero Titanic! :(

Ci fermiamo qui e vi raccomandiamo di leggere la lezione seguente, in cui approfondiremo il caso del galleggiamento. Nel frattempo potete esercitarvi con gli esercizi risolti disponibili su YM: non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna! ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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