Equazione di continuità

L'equazione di continuità in fluidodinamica, detta anche equazione di Leonardo, stabilisce che la portata attraverso un tubo di sezione variabile resta costante, cosicché al diminuire della sezione aumenta la velocità del fluido, e viceversa all'aumentare della sezione diminuisce la velocità.

 

Dopo aver trattato il concetto di portata proseguiamo lo studio della fluidodinamica introducendo la formula dell'equazione di continuità. Oltre a fornire l'enunciato, vedremo come applicare la formula nella risoluzione degli esercizi e ci soffermeremo sulle conseguenze fluidodinamiche dovute all'equazione.

 

Nota: qui ci concentreremo prevalentemente sullo studio dell'equazione di continuità per fluidi ideali, ma riporteremo anche la formulazione generale che caratterizza i fluidi reali.

 

Equazione di continuità in fluidodinamica

 

L'equazione di continuità nella sua formulazione più semplice riguarda i fluidi ideali e stabilisce che la portata volumetrica attraverso un tubo di sezione variabile, resta costante.

 

Se consideriamo il tubo della seguente figura

 

 

Equazione di continuità

 

Equazione di continuità: portata costante in due sezioni distinte.

 

vediamo che esso ha due sezioni diverse S_1 e S_2. Se nella sezione S_1 il fluido scorre alla velocità v_1, la portata per definizione è:

 

Q_1=v_1S_1

 

Se si considera la sezione S_2 il fluido avrà una velocità diversa e una nuova portata:

 

Q_2=v_2S_2

 

L'equazione di continuità stabilisce che la portata resta costante, e dunque non abbiamo due diversi valori di Q. È possibile quindi uguagliare le due portate e scrivere così la formula dell'equazione di continuità:

 

v_1S_1=v_2S_2\ \ \ (\mbox{fluido ideale})

 

Nel caso dei fluidi reali l'equazione di continuità assume una forma lievemente più complessa, e stabilisce che la portata massiccia attraverso un condotto di sezione variabile resta costante

 

\rho_1v_1S_1=\rho_2v_2S_2\ \ \ (\mbox{fluido reale})

 

Nell'ipotesi di incomprimibilità, che caratterizza i fluidi ideali nonché i liquidi in generale, la densità è costante (\rho_1=\rho_2) e dunque la conservazione della portata massiccia si riduce alla conservazione della portata volumetrica.

 

Significato e conseguenze dell'equazione di continuità

 

Analizziamo l'equazione di continuità nel caso più semplice. Come vedete l'equazione è molto semplice e ci dice che, laddove la sezione del condotto è più grande la velocità risulta minore, e viceversa. In termini più rigorosi, si può esprimere il significato dell'equazione di continuità asserendo che tra la sezione e la velocità c'è una relazione di proporzionalità inversa.

 

Se ad esempio la sezione S_2 fosse la metà di S_1, allora la velocità v_2 sarebbe doppia rispetto a v_1. Questo tipo di proporzionalità era stata compresa già da Leonardo da Vinci, motivo per il quale l'equazione di continuità è a volte presentata anche come equazione di Leonardo.

  

Gli effetti dell'equazione di continuità sono evidenti a tutti. Quando ad esempio si annaffia il giardino con un tubo di gomma e si vuole far arrivare il getto d'acqua più lontano, si stringe l'apertura del tubo in modo da ridurne la sezione; in questo modo la velocità dell'acqua aumenta e il getto arriva più lontano. È lo stesso effetto che si manifesta quando si cerca di ostacolare con le dita il flusso di acqua che esce da un rubinetto: questa comincia a schizzare via con molta più velocità di quanta non ne abbia quando viene lasciata libera di uscire senza ostacoli.

 

Giustificazione dell'equazione di continuità

 

Nell'ipotesi di incomprimibilità è facile comprendere il motivo per cui la portata debba rimanere costante.

 

Il fluido all'interno del tubo non può modificare la propria densità e la massa può solo entrare e uscire dalle sezioni, e non dalle pareti del tubo. Ciò implica che la massa che attraversa una certa sezione in un secondo non possa cambiare indipendentemente dalla sezione considerata. Se così non fosse, vorrebbe dire che il fluido ha perso o acquisito massa o ha modificato la propria densità. Di conseguenza per ogni secondo trascorso devono passare sempre gli stessi metri cubi di fluido attraverso qualunque sezione.

 

Esempio sull'equazione di continuità

 

Vediamo un piccolo esempio di applicazione dell'equazione di continuità. Calcoliamo con quale velocità l'acqua fuoriesce all'estremità di un tubo con sezione circolare il cui raggio è quattro volte più piccolo di quello della sezione principale del tubo, in cui l'acqua scorre alla velocità di 3 m/s.

 

 

Esempio equazione di continuità

Esempio sull'equazione di continuità.

 

 

Impostiamo l'equazione di continuità e ricaviamo la velocità v_2 sostituendo alla sezione la formula dell'area del cerchio.

 

\\ v_2=\frac{S_1}{S_2}v_1=\\ \\ \\ =\frac{\pi r_1^2}{\pi\left(\frac{r_1}{4}\right)^2}v_1=\frac{r_1^2}{\frac{r_1^2}{16}}v_1=16v_1=48\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

 

Per concludere questa lezione vi proponiamo un'osservazione di carattere generale: mantenendo la portata costante, la natura non crea ingorghi.

 

Inoltre, l'equazione di continuità si applica ai fluidi ma ci permette di ragionare in termini più ampi. Ad esempio, per evitare la formazione delle code all'imbocco delle scale mobili all'uscita della metropolitana nell'ora di punta, dovremmo metterci a correre quando arriviamo alle scale. In questo modo le persone fluirebbero più velocemente nel punto in cui lo spazio disponibile si restringe e la portata rimarrebbe costante, anche se a volte è difficile mettere in pratica la teoria! ;)

 

 


 

Non perdetevi la lezione successiva, in cui parleremo del teorema di Bernoulli. Nel frattempo in caso di dubbi o per consultare degli esercizi svolti vi rimandiamo alla barra di ricerca interna, perché qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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