Liquidi in rotazione
Mettendo un liquido in rotazione con una velocità angolare costante si osserva che la superficie libera assume la forma di un paraboloide di rotazione, la cui equazione dipende dalla velocità di rotazione e dalle caratteristiche del contenitore.
Proseguiamo nello studio della fluidodinamica analizzando il comportamento dei liquidi in rotazione all'interno di contenitori cilindrici, e per semplicità facciamo riferimento al caso di rotazioni con velocità angolare costante. Lo scopo di questa lezione prevede di analizzare da un punto di vista dinamico e matematico l'equazione della superficie libera di un liquido in rotazione uniforme.
Nota bene: per una piena comprensione dei passaggi matematici che presenteremo qui di seguito è previsto un livello di studi universitario. Gli studenti delle scuole superiori possono leggere per pura curiosità. ;)
Liquidi in rotazione uniforme
Quando facciamo ruotare dell'acqua all'interno di un bicchiere notiamo che la superficie libera non è più orizzontale, ma comincia a curvarsi formando una conca. Più è alta la velocità di rotazione, più la conca diventa profonda. Si tratta di un'esperienza che ci è molto familiare, ma perché i liquidi in rotazione presentano tale comportamento e qual è la forma che la superficie dell'acqua assume durante la rotazione?
Per rispondere, immaginiamo di avere un liquido in un recipiente cilindrico e di mettere in rotazione il liquido attorno all'asse verticale 
coincidente con l'asse del cilindro, come in figura.
Elemento di fluido in rotazione
con velocità angolare costante.
Ogni singolo elemento di liquido di massa 
descrive una circonferenza attorno all'asse con velocità angolare 
. Per studiarne il moto dobbiamo quindi fare appello alle leggi sul moto circolare uniforme.
In particolare, poniamoci nel sistema di riferimento non inerziale solidale col fluido; se ruotiamo assieme al fluido, ci accorgiamo che l'elemento è soggetto a due forze: la forza peso diretta verso il basso e la forza centrifuga diretta verso l'esterno del recipiente, perpendicolarmente all'asse e lungo la direzione radiale 
, come in figura.
La forza totale cui è soggetto un elemento di liquido di massa è:
Se vogliamo scrivere tale equazione vettoriale rispetto alle componenti dobbiamo osservare che la posizione di data da può essere scritta nel modo seguente:
dove x e y sono le coordinate cartesiane che si ottengono proiettando la posizione di sul piano orizzontale dato dal fondo del recipiente. Se consideriamo poi che la gravità si esercita lungo l'asse ed è diretta verso il basso, possiamo scrivere
Da qui si può ricavare l'espressione dell’energia potenziale dato che abbiamo a che fare con due forze conservative:
Si può verificare che la forza è uguale all'opposto del gradiente dell'energia potenziale:
Infatti:
Quando l'elemento di liquido ruota a velocità angolare costante, il liquido è in equilibrio perché la forza peso e quella centrifuga su sono controbilanciate dalle forze di pressione degli elementi circostanti. Pertanto la superficie libera del liquido è una superficie equipotenziale, e ciò significa che l'espressione scritta in precedenza per l'energia potenziale è costante per qualunque punto della superficie.
Per ricavare il valore di tale costante possiamo pensare al punto che si trova sull'asse , dunque con 
e che ha di conseguenza coordinate 
. Calcolando l'energia in questo punto si ottiene:
Sostituiamo il valore della costante nell'equazione dell'energia potenziale:
Semplifichiamo la massa e ricaviamo la coordinata in funzione delle altre due:
da cui
Questa è l'equazione di un paraboloide di rotazione, una superficie tridimensionale che si ottiene facendo ruotare una parabola attorno al suo asse di simmetria. In matematica l'equazione generale del paraboloide di rotazione é:
e come potete notare la struttura è identica. Se osservate di profilo il liquido che ruota, come rappresentato nella figura in alto, vedete la superficie del liquido disegnare un arco di parabola e non una curva casuale. 
rappresenta l’altezza rispetto al fondo del recipiente che il paraboloide raggiunge nel suo vertice. Si può dimostrare che tale altezza dipende dalla velocità angolare secondo la legge:
dove 
è l'altezza del liquido da fermo, mentre 
è il raggio del recipiente cilindrico. Si vede allora che ad una maggiore velocità angolare corrisponde un'altezza che si riduce rispetto a quella iniziale .
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Buona Fisica a tutti!
Alessandro Catania (Alex)
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