Moto laminare e velocità di scorrimento

Il moto laminare (o regime laminare) è, insieme al moto turbolento, una tipologia di moto dei fluidi nei condotti; un moto laminare è un moto dei fluidi in cui gli strati si muovono per traslazione e senza creare vortici.

 

Quando i fluidi scorrono all'interno di un condotto reale o ideale possono farlo seguendo due tipi di moto distinti: il moto laminare e il moto turbolento. Ciò che distingue i due moti è il comportamento del fluido: in questa lezione ci concentriamo sul moto laminare spiegando in cosa consiste e qual è la formula del moto laminare.

 

Nel seguito avremo modo di trattare il moto turbolento e la formula del numero di Reynolds in una lezione a parte.

 
 
 

Cos'è il moto laminare

 

Partiamo dalla definizione di moto laminare: si parla di moto laminare quando i vari strati di un fluido si muovono di moto traslatorio e senza formare vortici in un condotto reale o ideale. 

 

Analizziamo la definizione: stiamo considerando un condotto, vale a dire tubo cilindrico, che può essere eventualmente ideale e all'interno del quale scorre un fluido. Gli strati di fluido, detti anche lamine, hanno una forma cilindrica: in un moto laminare le lamine si muovono per traslazione e non si vengono a creare vortici. In pratica le lamine scorrono l'una sopra l'altra senza subire alcun rimescolamento.

 

Pensiamo ad esempio all'acqua che scorre in un tubo cilindrico orizzontale: le linee di flusso sono tutte parallele e il flusso d'acqua può essere visto come la sovrapposizione di più strati sottili di liquido, di forma cilindrica, che scorrono l'uno sull'altro. Se le linee di corrente si mantengono parallele anche le lamine d'acqua scorrono l'una sopra l'altra parallelamente e non si mescolano tra loro, per cui in accordo con la definizione ci troviamo di fronte ad un regime laminare.

 

Moto laminare per fluidi ideali e reali

 

Come ben sappiamo in Fluidodinamica bisogna distinguere tra due tipi di fluido e in particolare tra fluidi ideali e fluidi reali. Così dobbiamo fare anche per il regime laminare:

 

- se abbiamo un fluido ideale (viscosità nulla e densità costante), allora esso nel moto laminare scorre con la medesima velocità in tutti i punti del condotto;

 

- se invece abbiamo un fluido reale, allora esso nel moto laminare presenta un profilo di velocità di scorrimento diverso, come in figura.

 

 

Moto laminare

Velocità di scorrimento nel moto laminare di un fluido ideale e di un fluido reale.

 

 

Un fluido reale scorre più velocemente lungo l'asse centrale del condotto. La velocità decresce progressivamente man mano che si considerano strati di fluido più vicini alle pareti del condotto, fino alla situazione estrema in cui la velocità è nulla per il sottile strato di fluido che si trova a contatto con le pareti. La causa di tale disomogeneità nella velocità di scorrimento del fluido è da ricercare nell'azione dell'attrito interno che si esercita tra i vari strati, con le modalità viste nella lezione sulla viscosità.

 

Velocità di scorrimento di un fluido reale nel moto laminare

 

Il caso di moto laminare più interessante e più attinente alla realtà riguarda ovviamente i fluidi reali e in questo contesto possiamo fornire una formula per la velocità di scorrimento in funzione della posizione all'interno di un condotto cilindrico.

 

Per scorrere un fluido ha bisogno di essere spinto da una forza e tale forza può essere creata grazie a una differenza di pressione tra le due estremità del condotto. Consideriamo allora un tubo cilindrico di lunghezza l e di raggio R, alle cui estremità è stata applicata una differenza di pressione che permette al fluido di scorrere.

 

La legge per la velocità di scorrimento di un fluido reale nel moto laminare, in funzione della posizione r all'interno del tubo, è la seguente

 

v(r)=\frac{p_1-p_2}{4\eta l}(R^2-r^2)

 

Con la variabile r si indica la distanza radiale rispetto all'asse di simmetria del condotto e si individua la posizione in cui si vuole calcolare la velocità. Da osservare che il fluido avrà la stessa velocità in qualunque punto della superficie del cilindro di raggio r che condivide lo stesso asse con il tubo. Ricordiamo anche che con \eta si indica la viscosità del fluido, dipendente dal tipo di fluido trattato e dalla sua temperatura.

 

Dall'equazione si vede bene che la velocità massima si ottiene quando ci si trova sull'asse del cilindro (cioè quando r=0), e che la velocità di scorrimento è nulla quando ci si sposta sulle pareti interne del condotti (cioè quando r=R).

 

Esempio sul moto laminare di un fluido reale

 

Vediamo un esempio numerico sul moto laminare di un fluido reale. Abbiamo un condotto cilindrico lungo 5 metri, con raggio pari a 0,12 metri, a cui è stata applicata una differenza di pressione di 40 pascal. La viscosità del fluido e di 2,4·10-3 poise. Vogliamo calcolare la velocità massima e il punto in cui la velocità è pari alla metà di quella massima.

 

Svolgimento: per rispondere alla prima domanda, basta applicare la legge per la velocità di scorrimento ponendo r=0:

 

v_{max}=\frac{p_1-p_2}{4\eta l}R^2=\frac{40\mbox{ Pa}}{4\cdot \left(2,4\cdot 10^{-3}\mbox{ poise}\right)\cdot (5\mbox{ m})}\cdot (0,12\mbox{ m})^2=12\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Per rispondere alla seconda domanda dobbiamo invece riscrivere l'equazione in modo da esplicitare r, ricordando di sostituire al posto della velocità un valore pari alla metà di quello trovato prima \left(v=6\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}\right).

 

\\ v=\frac{p_1-p_2}{4\eta l}R^2-\frac{p_1-p_2}{4\eta l}r^2\\ \\ \\ \frac{p_1-p_2}{4\eta l}r^2=\frac{p_1-p_2}{4\eta l}R^2-v\\ \\ \\ r=\sqrt{R^2-v\frac{4\eta l}{p_1-p_2}}

 

Da cui, sostituendo i dati in nostro possesso, si ricava un valore pari a 0,085 metri. Per avere una velocità di scorrimento dimezzata rispetto a quella massima ci dobbiamo quindi allontanare di 8,5 centimetri dall'asse del tubo cilindrico.

 

Passaggio da moto laminare a moto turbolento

 

Nell'introduzione abbiamo accennato al regime turbolento e abbiamo scritto che un fluido in un condotto può muoversi di moto laminare o di moto turbolento. Ora che abbiamo capito in cosa consiste un regime laminare sorge spontanea la domanda successiva: quali sono le condizioni che permettono ad un fluido di muoversi di moto laminare, e qual è il limite oltre il quale si passa ad un regime turbolento?

 

Oltre ad alcune caratteristiche quali la densità e la temperatura del fluido, il principale fattore che pone un limite netto tra il moto laminare ed il moto turbolento è dato dalla velocità. Nella lezione sul regime turbolento introdurremo una grandezza detta numero di Reynolds che definisce il passaggio tra i due moti per i vari tipi di fluido. 

 

 


 

Nella lezione successiva proseguiamo con lo studio del moto laminare e trattiamo la legge di Poiseuille, spiegandone la formula e mostrando come usarla nella risoluzione degli esercizi. Non perdetevela! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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