Legge di Poiseuille

La legge di Poiseuille è una formula della Fluidodinamica che permette di calcolare la portata di un fluido reale che si muove di moto laminare all'interno di un condotto, e che consente di calcolarne anche la velocità media.

 

Proseguiamo nello studio del moto laminare nel caso dei fluidi reali e introduciamo una formula che permette di calcolare la portata in un tubo cilindrico: qui di seguito vi presentiamo la legge di Poiseuille proponendone l'enunciato e analizzandone le conseguenze fisiche nel regime laminare dei fluidi reali.

 

Al termine della lezione ci soffermiamo sulla principale applicazione della legge di Poiseuille, che permette di scrivere una formula operativa per il calcolo della velocità media di scorrimento per fluidi reali in moto laminare.

 
 
 

Enunciato e formula della legge di Poiseuille

 

Per introdurre l'enunciato della legge di Poiseuille facciamo un piccolo riassunto delle puntate precedenti. ;) Abbiamo visto che un fluido viscoso che si muove di moto laminare all'interno di un condotto presenta una variazione di velocità di scorrimento al variare della distanza dello strato di fluido dall'asse del condotto cilindrico. La velocità è massima quando ci si trova sull'asse e decresce fino ad annullarsi quando ci si sposta progressivamente verso le pareti del condotto.

 

Oltre alla legge sulla velocità, ne esiste un'altra che ci dice qual è il valore della portata di un fluido reale che scorre in un condotto cilindrico in regime laminare. Tale legge prende il nome di legge di Poiseuille e viene espressa dalla seguente formula:

 

q=\frac{\pi R^4\Delta p}{8\eta l}

 

La formula della legge di Poiseuille stabilisce che la portata è direttamente proporzionale alla differenza di pressione \Delta p applicata agli estremi del tubo oltre che alla quarta potenza del raggio R del condotto; è invece inversamente proporzionale alla viscosità del fluido \eta e alla lunghezza del condotto l.

 

Esempio di applicazione della legge di Poiseuille

 

Vediamo come applicare la legge di Poiseuille per il calcolo della portata. Supponiamo di avere un tubo cilindrico lungo 2 metri e con raggio di 15 centimetri, in cui scorre acqua (η = 10-2 poise) ai cui estremi è applicata una differenza di pressione di 50 pascal.

 

Calcoliamo la portata con la legge di Poiseuille scritta in precedenza:

 

q=\frac{\pi(0,15\mbox{ m})^4\cdot 50\mbox{ Pa}}{8\cdot (10^{-2}\mbox{ poise})\cdot(2\mbox{ m})}\simeq 0,50\ \frac{\mbox{m}^3}{\mbox{s}}

 

dove ovviamente l'unità di misura del risultato è quella della portata.

 

Dimostrazione della legge di Poiseuille

 

È possibile ricavare la legge di Poiseuille integrando la legge della velocità di scorrimento del fluido in funzione della distanza dall'asse, ossia la formula che abbiamo visto nella lezione dedicata al moto laminare per i fluidi reali.

 

La sezione del condotto è un cerchio e può essere visto come unione di corone circolari infinitesime dS di spessore dr, come in figura.

 

 

Legge di Poiseuille

Sezione di un condotto e legge di Poiseuille.

 

 

Dato che stiamo ragionando con un fluido reale in moto laminare, la velocità non è la stessa nei vari punti della sezione trasversale del condotto. D'altra parte se consideriamo un elemento infinitesimo dS della sezione possiamo considerare la velocità costante, ed esprimere la portata volumetrica infinitesima dq come prodotto tra la velocità v e l'area infinitesima dS, in accordo con la definizione:

 

dq=vdS

 

Esprimiamo la superficie dS in termini della distanza r dall'asse del condotto:

 

dq=v\cdot 2\pi rdr

 

Tale distanza può variare da 0 (quando siamo sull'asse) a R (quando siamo sulle pareti del tubo): abbiamo individuato gli estremi di integrazione per calcolare la portata rispetto a S. L'integrale definito che dobbiamo calcolare è dato da

 

q=\int_0^Rv(r)\cdot 2\pi rdr

 

e al posto di v(r) possiamo sostituire la legge della velocità vista nella lezione precedente.

 

q=\int_0^R\frac{\Delta p}{4\eta l}(R^2-r^2)\cdot 2\pi rdr

 

Ora cerchiamo di risolvere l'integrale tenendo presente che la variabile di integrazione è r.

 

 q = \frac{\Delta p \pi}{2 \eta l} \int_{0}^{R}{ (R^{2} - r^{2})\cdot r dr}=

 

L'integrale è piuttosto semplice da calcolare (ci basta ricordare la formula per l'integrale di una potenza)

 

=\frac{\Delta p \pi}{2 \eta l} \left[ R^{2} \frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{4}}{4} \right]_{0}^{R}=

 

da cui, effettuando le valutazioni agli estremi e con semplici calcoli algebrici

 

\\ =\frac{\Delta p \pi}{2 \eta l} \left[ \frac{R^{4}}{2} - \frac{R^{4}}{4} \right]=\\ \\ \\ = \frac{\Delta p \pi}{2 \eta l} \cdot \frac{R^{4}}{4} = \\ \\ \\ =\frac{\pi R^{4} \Delta p}{8 \eta l}

 

Ed ecco che siamo giunti alla formula della legge di Poiseuille.

 

Legge di Poiseuille e velocità media di scorrimento

 

La legge di Poiseuille trova una prima applicazione teorica nel calcolo della velocità media di scorrimento.

 

Se non siamo interessati alla velocità v(r) del fluido in ogni punto del condotto, possiamo anche parlare di velocità media di scorrimento v_m. Grazie alla definizione della portata come prodotto della velocità per la sezione

 

q=v_mS

 

possiamo scrivere la velocità media con la formula inversa:

 

 v_{m} = \frac{q}{S} = \frac{q}{\pi R^{2}}

 

dove nel secondo passaggio abbiamo riscritto la sezione mediante la formula dell'area del cerchio. A questo punto, possiamo sostituire la legge di Poiseuille al posto della portata q:

 

 v_{m} = \frac{\frac{\pi R^{4} \Delta p}{8 \eta l} }{\pi R^{2}}=\frac{\pi R^4 \Delta p}{8\eta l\cdot \pi R^2}

 

e ricaviamo in questo modo la formula per la velocità media di scorrimento di un fluido reale in moto laminare

 

v_m=\frac{R^{2} \Delta p}{8 \eta l}

 

Ovviamente nel risultato non compare più la variabile r. Il fluido nel tubo scorre con velocità diverse a seconda della lamina considerata, ossia al variare della distanza dall'asse centrale; in media la velocità con cui si muove è quella individuata dalla formula appena scritta.

 

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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