Legge di Stokes

La legge di Stokes consiste in una formula per calcolare la resistenza esercitata da un fluido su un corpo sferico in moto al suo interno, e stabilisce che la resistenza è direttamente proporzionale alla viscosità, alla velocità relativa e alle dimensioni del corpo.

 

Proseguiamo nello studio del moto dei fluidi e passiamo a studiare il loro comportamento quando un corpo si muove al loro interno. Come vedremo tra poco i fluidi tendono ad esercitare una resistenza su qualsiasi corpo in moto e tale resistenza dipende dalla viscosità del fluido, dalla forma del corpo e dalla sua velocità relativa.

 

La formula che introdurremo per il calcolo della resistenza si chiama legge di Stokes e si riferisce ad un caso particolare piuttosto significativo: permette infatti di calcolare la forza esercitata da un qualsiasi fluido su una sfera che si muove al suo interno. 

 

Legge di Stokes e resistenza di un fluido

 

Prima di enunciare e scrivere la formula della legge di Stokes vogliamo analizzare il comportamento di un corpo in moto all'interno di un fluido ed in particolare la resistenza esercitata dal fluido sul corpo.

 

Sappiamo bene che non è molto agevole muoversi all'interno di un fluido. Non ci accorgiamo più di tanto della resistenza che l'aria oppone quando camminiamo, ma abbiamo tutti presente la fatica che si fa quando ci si muove in acqua. Il fluido attraversato resiste e la forza che si oppone al moto è tanto maggiore quanto maggiore è la velocità relativa tra il corpo immerso nel fluido e il fluido stesso.

 

Notate che nel riferirci alla velocità stiamo parlando di velocità relativa, infatti siamo abituati a pensare a un fluido fermo (come ad esempio l'aria o l'acqua) e a un corpo in moto con una certa velocità al suo interno. La verità è che può succedere anche il contrario, ossia che il corpo sia fermo e il fluido vi scorra sopra con una certa velocità, come nel caso del vento che soffia contro un edificio.

 

Quest'ultima è ad esempio la situazione che si realizza nelle gallerie del vento. Se si vuole studiare la resistenza che l'aria esercita su un'auto da corsa, non si fa viaggiare l'auto in pista ma la si parcheggia all'interno di una galleria in cui viene soffiata aria ad alta velocità contro l'auto: in questo modo si ottiene il medesimo effetto.

 

Ma a cosa si deve la resistenza del fluido? Pensiamo ad un fluido reale; le sue linee di flusso non sono regolari quando passano attorno ad un corpo, e creano nella parte retrostante dei vortici.

 

 

Legge di Stokes

Resistenza di un fluido e legge di Stokes.

 

 

Il corpo è un ostacolo al passaggio del fluido e tenderebbe a creare il vuoto dietro di sé, lasciando passare il fluido attorno a sé. Ma nei fluidi non si viene mai a formare il vuoto, così si generano dei vortici che vanno immediatamente a riempire lo spazio retrostante il corpo. Come risultato abbiamo un fluido che scorre compatto e regolare davanti al corpo, mentre si comporta in modo turbolento dietro ad esso.

 

Come conseguenza di tale comportamento si viene a creare una differenza di pressione tra la parte antistante e quella retrostante il corpo: la pressione è maggiore davanti ed è minore dietro. Si genera quindi una forza che trascina il corpo nella stessa direzione e nello stesso verso di scorrimento del fluido.

 

Formula della legge di Stokes

 

Non è semplice scrivere una legge che ci permetta di calcolare il valore della resistenza di un fluido in generale. La resistenza esercitata da un fluido su un corpo che si muove al suo interno dipende dalla particolare forma del corpo e come potete facilmente intuire non è possibile inquadrare in modo matematico le forme di tutti gli oggetti che ci circondano.

 

Esiste però una legge piuttosto semplice, la legge di Stokes, che ci permette di calcolare la resistenza di un fluido nel caso in cui il corpo sia una sfera di raggio R:

 

 F = 6 \pi \eta Rv

 

dove F è proprio la resistenza esercitata dal fluido, \eta indica la viscosità del fluido e v la velocità relativa della sfera.

 

La formula della legge di Stokes stabilisce che:

 

- a parità di velocità e di raggio, la resistenza del fluido è direttamente proporzionale alla viscosità: un fluido più viscoso oppone una resistenza maggiore;

 

- inoltre, come già avevamo intuito, a parità di viscosità e di raggio la forza è direttamente proporzionale alla velocità;

 

- vale un discorso del tutto analogo riguardo alle dimensioni sfera. A parità di viscosità e di velocità, tanto più grande è la sfera, tanto maggiore è la resistenza esercitata dal fluido.

 

Se vi state domandando se esistano altre formule relative alle applicazioni didattiche e ai problemi che affronterete, sappiate che la legge di Stokes per la resistenza dei fluidi è la tipica formula che viene richiesta negli esercizi. ;)

 

 

Concludiamo la lezione con una curiosità. Visto che abbiamo accennato al fatto che la forma dei corpi influisce molto sul valore della forza con cui i fluidi si oppongono al loro moto, è utile sapere che la forma della goccia è quella più efficace per ridurre al minimo la resistenza del fluido.

 

Una goccia d'acqua che cade verticalmente in aria assume quella particolare forma perché è quella che le permette di fendere l'aria in modo ottimale e di minimizzare la resistenza. Non a caso la forma della goccia è largamente copiata in diverse applicazioni pratiche: si pensi ad esempio alla forma del caschetto dei ciclisti, o a quella strana protuberanza tondeggiante che si trova nella parte bassa della prua delle grandi navi appena sotto il livello del mare, che permette di ridurre la resistenza dell'acqua e minimizzare così lo sforzo dei motori.

 

 


 

Nella prossima lezione ci ricollegheremo alla resistenza dei fluidi e parleremo della velocità limite. Come di consueto vi suggeriamo di cercare tutto quello che vi serve qui su YM: ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio dallo Staff. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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