Numero di Reynolds e moto turbolento

Il numero di Reynolds è una grandezza adimensionale che descrive il passaggio dal moto laminare al moto turbolento per i fluidi in un condotto, e che dipende dalla densità del fluido, dalla velocità, dalla sua viscosità e dal raggio del condotto.

 

In questa lezione concludiamo l'analisi del moto dei fluidi nei condotti e completiamo la teoria iniziata con lo studio del moto laminare. Per farlo descriveremo il secondo tipo di regime nei condotti, vale a dire il moto turbolento, e introdurremo una grandezza che consente di individuare le condizioni sotto cui avviene la transizione dal regime laminare a quello turbolento: il numero di Reynolds.

 

Ci teniamo a precisare che la spiegazione non sarà eccessivamente tecnica e ci limiteremo a trattare il numero di Reynolds in un contesto puramente didattico, limitandoci al caso del moto libero dei fluidi nei condotti e tralasciando moti con configurazioni geometriche più complesse.

 

Definizione e formula del numero di Reynolds

 

Quando abbiamo introdotto il moto laminare abbiamo anche specificato che è uno dei due possibili moti di un fluido in un condotto reale o ideale, e che un fluido può anche muoversi di moto turbolento. Ora è il momento di capire sotto quali condizioni il moto del fluido passa da un regime laminare a un regime turbolento e per farlo dobbiamo introdurre una nuova grandezza adimensionale, il numero di Reynolds.

 

Il moto laminare è un moto molto ordinato: ogni strato di fluido scorre parallelamente a quello adiacente e ciò permette di scrivere delle equazioni per il calcolo della velocità di scorrimento e per la portata (legge di Poiseuille). Le cose però non sono sempre così semplici. Il moto laminare si realizza quando le velocità di scorrimento del fluido non sono particolarmente elevate; inoltre la legge di Poiseuille è sempre verificata quando si hanno tubi dal raggio molto piccolo, i cosiddetti tubi capillari. Se queste condizioni non sono verificate, è facile che il fluido scorrendo formi dei vortici e abbia un moto decisamente meno ordinato e prevedibile di quello laminare. È in questa situazione che si parla di regime turbolento.

 

Se consideriamo, come abbiamo sempre fatto, un tubo cilindrico di raggio r, abbiamo una legge che ci permette di calcolare un parametro adimensionale detto numero di Reynolds, che viene calcolato a partire da determinate caratteristiche del fluido e del suo moto e che fissa un limite per la transizione dal moto laminare al moto turbolento.

 

La formula del numero di Reynolds è la seguente

 

\mbox{R}_e=\frac{\rho vr}{\eta}

 

dove \rho indica la densità del fluido, v la velocità, r il raggio del condotto ed \eta la viscosità del fluido.

 

Come abbiamo già anticipato il numero di Reynolds non ha unità di misura poiché si tratta di una grandezza adimensionale, come si può facilmente verificare mediante l'analisi dimensionale della formula.

 

Si verifica sperimentalmente che un fluido in un condotto cilindrico libero passa da un moto laminare a uno turbolento quando il numero di Reynolds assume il valore di 1200. Per valori prossimi a 1200 il passaggio dal regime laminare a quello turbolento è graduale e si manifesta un moto intermedio che prende il nome di regime di transizione.

 

Proprietà del numero di Reynolds

 

1) Dalla formula del numero di Reynolds si vede che \mbox{R}_e è direttamente proporzionale alla densità del fluido, alla sua velocità e al raggio del condotto, mentre è inversamente proporzionale alla viscosità. 

 

2) C'è un ulteriore aspetto veramente interessante da prendere in considerazione. Se si hanno due situazioni diverse (con diversi raggi e velocità) in cui si ottiene lo stesso numero di Reynolds, allora il fluido si comporterà nello stesso modo in entrambe le situazioni. Questo principio è molto utile nella pratica perché permette di testare, in galleria del vento e in scala ridotta, il comportamento dell'aria su un aereo o attorno a un grattacielo prima che essi vengano effettivamente costruiti.

 

3) Se prendiamo un certo fluido con una specifica densità e una certa viscosità, e lo facciamo scorrere all'interno di un tubo cilindrico di raggio r, abbiamo fissato tre della quattro grandezze che compaiono nella formula del numero di Reynolds. In questa situazione l'unica grandezza che può modificare il valore di \mbox{R}_e è la velocità. Possiamo così ricavare la velocità critica, cioè quel particolare valore di velocità che si ha quando il fluido passa da un moto laminare a uno turbolento. Al posto di \mbox{R}_e dobbiamo in questo caso sostituire il valore di 1200.

 

v_{c}=\frac{\eta \mbox{R}_e}{\rho r}=1200\frac{\eta}{\rho r}

 

Quando si fa scorrere un fluido con velocità inferiori alla velocità critica si ha un flusso stabile in regime laminare. Una volta raggiunta la velocità critica si ha invece un moto instabile: il fluido è in una fase di transizione tra il moto laminare e il moto turbolento. Aumentando ancora la velocità oltre il valore della velocità critica, il flusso torna stabile in regime turbolento.

 

 

Esempio sul numero di Reynolds e sulla velocità critica

 

Proviamo a calcolare la velocità critica dell'acqua che scorre in un tubo di raggio 0,01 metri, tenendo presente che la densità dell'acqua è pari a \rho_{H_{2}O}=1000\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3} e che la viscosità dell'acqua è data da \eta_{H_{2}O}=10^{-2}\mbox{ poise}.

 

v_c=1200\cdot \frac{10^{-2}\ \mbox{ poise}}{\left(1000\ \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}^3}\right)\cdot (0,01\mbox{ m})}=1,2\ \frac{\mbox{ m}}{\mbox{ s}}

 

In questo particolare condotto l'acqua si muove di moto laminare solo se scorre a velocità inferiori a 1,2 m/s, mentre si muoverà di moto turbolento per valori di velocità superiori alla velocità critica. Se conosciamo il valore di velocità e lo confrontiamo con quello della velocità critica, possiamo stabilire se il fluido si muove di moto laminare o turbolento.

 

 


 

Siamo in dirittura di arrivo con le lezioni di Fluidodinamica. Ci restano restano pochi argomenti da trattare e tra questi rientra il concetto di tensione superficiale, di cui ci occupiamo nella lezione successiva. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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