Gocce e bolle

Gocce e bolle sono particolari configurazioni che i liquidi possono formare a seguito dell'azione della tensione superficiale, e grazie alle quali è possibile giungere a formule operative per calcolare la tensione superficiale dei liquidi.

 

Qui di seguito vogliamo analizzare un particolare tipo di forme assunte dai liquidi: le gocce e le bolle. Ricollegandoci a ciò che abbiamo studiato riguardo alla tensione superficiale dei liquidi, studieremo il comportamento delle gocce e delle bolle per ricavare formule utili per il calcolo della tensione superficiale.

 

Da un lato lo studio delle gocce ci permetterà di scrivere una formula per la tensione superficiale dei liquidi; dall'altro, l'analisi delle bolle ci consentirà di usarla per calcolare la pressione agente su di esse.

 

Spiegazione fisica e formule per le gocce

 

Perché si formano le gocce di liquido in determinate condizioni e quali sono le cause fisiche che ne regolano la formazione?

 

Consideriamo un esempio familiare che osserviamo nella vita quotidiana. Quando si guarda un rubinetto che gocciola si vede che le gocce d'acqua assumono una forma leggermente tondeggiante sul fondo del rubinetto. Col passare del tempo la goccia che si sta formando aumenta di volume poiché viene accresciuta con ulteriore acqua fino a quando, raggiunta una certa dimensione, si stacca e precipita.

 

Le cause della formazione delle gocce risiedono nella tensione superficiale dei liquidi e l'analisi del loro comportamento permette di fornirne una misura. A questo proposito esiste uno strumento, detto stalagmometro, che consiste in un semplice tubicino da cui gocciola un liquido.

 

Formule per le gocce

 

La goccia che si forma in uscita dal tubicino viene inizialmente trattenuta dalla tensione superficiale. Quest'ultima sorregge la goccia, tenendola attaccata al tubicino e conferendole una forma tondeggiante (ricordiamo che la tensione superficiale di un liquido tende a minimizzarne la superficie libera). Quando la goccia cresce in volume diventa via via più massiccia e di conseguenza aumenta la forza peso agente su di essa. La goccia si stacca quando la forza esercitata per effetto della tensione superficiale non è più in grado di controbilanciare la forza peso.

 

Al momento del distacco deve allora valere la seguente equazione, che si riferisce al bilancio delle forze agenti sulla goccia. Dalla seconda legge di Newton la risultante delle forze deve essere nulla e quindi le due forze devono equivalersi in modulo

 

F_P=F_{TS}

 

Per scrivere l'espressione della forza esercitata dalla tensione superficiale dobbiamo ricordare che la tensione superficiale è una forza per unità di lunghezza: se la moltiplichiamo per una lunghezza, otteniamo le dimensioni di una forza. Esprimendo la misura della circonferenza del tubicino lungo la quale si esercita la tensione superficiale \tau come 2\pi r possiamo scrivere

 

mg=2\pi r\tau

 

dove m indica la massa della goccia al momento del distacco, g l'accelerazione di gravità e r il raggio del tubicino. Dalla relazione appena scritta è possibile misurare \tau conoscendo le altre grandezze.

 

Ecco svelato perché le gocce sono così importanti nello studio dei liquidi: esse ci permettono di scrivere la formula operativa per la tensione superficiale dei liquidi:

 

\tau=\frac{mg}{2\pi r}

 

L'equazione che abbiamo appena scritto regola una miriade di applicazioni pratiche. Ad esempio essa regola la quantità di erogazione dei colliri dalle boccette, in cui la massa di ogni goccia è data da:

 

m=\frac{2\pi r\tau}{g}

 

ed è una quantità fissa perché il raggio del tubicino e la tensione superficiale del liquido sono costanti.

 

Spiegazione fisica e formule per le bolle

 

Nel caso delle bolle la tensione superficiale è ancora una volta protagonista. Una bolla di liquido mantiene una forma propria a causa dell'azione della tensione superficiale, e non solo: essa conferisce alla bolla una forma sferica, per il principio secondo cui tende a minimizzare la superficie libera dei liquidi. Sappiamo infatti che la sfera è il solido con la minor superficie possibile a parità di volume.

 

Formule per le bolle

 

Consideriamo ad esempio una bolla di sapone e cerchiamo di calcolare la pressione agente sulla bolla in funzione della tensione superficiale.

 

La tensione superficiale tende a far contrarre la lamina sottile di acqua e sapone, comprimendo il volume e aumentando la pressione dell'aria che si trova al suo interno, che assume così un valore maggiore di quella esterna. Si ha quindi che la pressione p_{\tau} esercitata sulla lamina è uguale alla differenza tra la pressione interna p_i e quella esterna p_e:

 

p_{\tau}=p_i-p_e

 

La maggiore pressione interna tende a far aumentare il volume della bolla di una quantità dV, sicché la forza di pressione compie un lavoro dato da:

 

dL_p=(p_i-p_e)dV

 

Indicando con S la superficie sferica ed esprimendo il volume infinitesimo come prodotto tra la superficie sferica ed uno spessore infinitesimo, dV=Sdr

 

dL_P=(p_i-p_e)Sdr=(p_i-p_e)4\pi r^2dr

 

La tensione superficiale, tendendo a contrarre la bolla, compie un lavoro negativo dato da:

 

dL_{\tau}=-2\tau dS=-2\tau d(4\pi r^2)=-2\tau(8\pi rdr)=-16\pi\tau rdr

 

in accordo con la legge vista nella precedente lezione. Si noti che nel calcolo compare un fattore 2 perché la bolla ha due facce, quella interna e quella esterna, e la tensione superficiale agisce su entrambe. Nel penultimo passaggio abbiamo differenziato la formula della superficie di una sfera.

 

Si ha una situazione di equilibrio quando la somma dei due lavori è nulla e dunque è nullo il bilancio energetico:

 

dL_p=dL_{\tau}

 

da cui

 

(p_i-p_e)4\pi r^2dr-16\pi\tau rdr=0

 

Risolvendo l'equazione in favore della differenza di pressione

 

p_i-p_e=\frac{4 \tau}{r}

 

e ricordando che la differenza di pressione equivale alla pressione esercitata sulla lamina, giungiamo a scrivere la formula per la pressione in funzione della tensione superficiale della bolla

 

p_{\tau}=\frac{4\tau}{r}\ \ \ (\mbox{bolla vuota})

 

Da qui si capisce che la pressione esercitata dalla tensione superficiale della bolla è direttamente proporzionale alla tensione superficiale e inversamente proporzionale al raggio della bolla.

 

Se abbiamo una bolla che racchiude un liquido, allora la tensione superficiale si esercita solo sulla faccia esterna e la pressione è data da:

 

 p_{\tau} = \frac{2 \tau}{r}\ \ \ (\mbox{bolla piena})

 

 


 

Con questo è tutto. Nella lezione successiva tratteremo le forze di coesione e di adesione. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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