Formulario di Gravitazione Universale

In questa pagina riepiloghiamo tutte le principali formule di Gravitazione universale che abbiamo proposto, spiegato e dimostrato nella sezione dedicata alla teoria della Gravitazione Universale presente su YouMath.it.

 
 
 

Formule della teoria della Gravitazione Universale

 

Nota bene: non tutti gli argomenti, le definizioni e le applicazioni della teoria della Gravitazione Universale possono essere riassunti in una formula. ;) Vi consigliamo di utilizzare il formulario con cautela, e di consultarlo non prima di aver acquisito tutte le basi teoriche necessarie. Cliccando sui vari link potete accedere alle lezioni relative a ciascun argomento.

 

Legge di gravitazione universale (in modulo)

 

F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

 

Legge di gravitazione universale (in forma vettoriale)

 

\vec{F}_{12}=-G\frac{m_1m_2}{|\vec{r}_{12}|^2}\cdot \frac{\vec{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|}

 

Costante di gravitazione universale

 

G=6,67\cdot 10^{-11}\ \frac{\mbox{N}\cdot \mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}

 

Accelerazione di gravità (in modulo)

 

 g = G \frac{M_{T}}{r^{2}}

 

g_{superficie}\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\\ \\ \\ g_{Everest}\simeq 9,79\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\\ \\ \\ g_{media}\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\\ \\ \\ g_{equatore}\simeq 9,81\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\\ \\ \\ g_{poli}\simeq 9,83\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\\ \\ \\ g_{Marte}\simeq 3,69\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\\ \\ \\ g_{Luna}\simeq 1,62\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}

 

Accelerazione di gravità effettiva sulla Terra

 

 g-g_e = \omega^{2} R_{T} \simeq  0,034\ \frac{m}{\mbox{s}^2}

 

Primo teorema dei gusci: un guscio sferico di massa uniforme attrae gravitazionalmente un punto materiale esterno come se tutta la massa del guscio fosse concentrata nel suo centro.

 

Secondo teorema dei gusci: una particella collocata in punto qualsiasi all'interno di un guscio sferico di densità uniforme non risente di alcuna forza di attrazione gravitazionale.

 

Prima legge di Keplero (legge delle orbite ellittiche): le orbite dei pianeti sono ellittiche e che il sole occupa uno dei due fuochi.

 

Seconda legge di Keplero (legge delle aree): i pianeti in rivoluzione intorno al Sole spazzano aree uguali in tempi uguali.

 

\frac{dA}{dt}=\mbox{costante}

 

Terza legge di Keplero (legge dei periodi): il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta intorno al Sole è proporzionale al cubo della distanza media del pianeta dal Sole.

 

T^2=\frac{4\pi^2}{GM_{S}}r^3

 

Campo gravitazionale

 

\vec{g}=\frac{\vec{F}}{m}=\\ \\ \\ = - \frac{G \frac{mM}{r^{2}}}{m} \vec{u}_{r} =\\ \\ \\ = - G \frac{M}{r^2} \vec{u}_{r}

 

Variazione di energia potenziale gravitazionale

 

\Delta U= GmM \left( \frac{1}{r_{A}} - \frac{1}{r_{B}}  \right)

 

Energia potenziale gravitazionale

 

 U(r) = - \frac{GmM}{r}\ \ \ \ \ (U(\infty) = 0)

 

Lavoro ed energia potenziale gravitazionale per un sistema di due corpi...

 

L_{\infty}=U(r)= - G \frac{m_{1}m_{2}}{r}

 

... Per un sistema di tre corpi

 

U=- \left(G \frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}} + G \frac{m_{1}m_{3}}{r_{13}} + G \frac{m_{2}m_{3}}{r_{23}}   \right)

 

Energia potenziale gravitazionale ed energia di legame

 

 E_{legame} = G \frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}} + G \frac{m_{1}m_{3}}{r_{13}} + G \frac{m_{2}m_{3}}{r_{23}}

 

Velocità di fuga

 

 v_{fuga} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

 

v_{fuga,\ Terra}\simeq 11,2 \ \frac{\mbox{km}}{\mbox{s}}\\ \\ \\ v_{fuga,\ Luna}\simeq 2,37\ \frac{\mbox{km}}{\mbox{s}}\\ \\ \\ v_{fuga,Buco\ Nero}\geq c=3\cdot 10^8\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}

 

Buchi neri e raggio di Schwarzschild

 

 R_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}

 

Equazione di una conica in forma polare

 

 \frac{1}{r} = \frac{1}{\varepsilon d} - \frac{1}{d} \cos(\theta)

 

Equazione della traiettoria di un corpo m rispetto a un altro corpo M e relativa soluzione

 

\frac{dr^{2}}{d\theta^{2}} \left( \frac{1}{r} \right) + \frac{1}{r} = \frac{G \mu m M}{L^{2}} \\ \\ \\ \frac{1}{r} = \frac{G \mu mM}{L^{2}} + A \cos(\theta)

 

Energia in funzione dei parametri dell'orbita

 

 E = G \frac{mM}{2d \varepsilon} (\varepsilon^{2} - 1)\\ \\ \\ \mbox{con }\varepsilon\to\mbox{ eccentricit}\grave{\mbox{a}}\mbox{ dell}'\mbox{orbita}

 

Flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie e teorema di Gauss per il campo gravitazionale

 

 \Phi := \int_{S}{d \Phi} = \int_{S}{ \vec{g} \cdot \vec{u}_{N}dS } \\ \\ \\ \Phi \overbrace{=}^{Gauss} -4 \pi G \sum_{i = 1}^{n}{m_{i}}\ \ \ (\mbox{caso discreto})\\ \\ \\ \Phi \overbrace{=}^{Gauss} -4 \pi G M\ \ \ (\mbox{caso continuo})

 

 

Alcuni grandezze utili (cfr: Sistema Solare. Per ulteriori spunti, cfr: Astronomia)

 

 

Nome Tipo Massa (kg) Diametro medio (km) Distanza media
dal Sole
(in km | in UA)
Sole Stella 1,9891 x 1030 1,39095 x 106 0 | 0
Mercurio Pianeta terrestre 3,302 x 1023 4,8794 x 103 57,9 x 106 | 0,387 
Venere Pianeta terrestre 4,8685 x 1024 12,1038 x 103 108,2 x 106 | 0,723 
Terra Pianeta terrestre 5,9726 x 1024 12,7456 x 103 149,6 x 106 | 1
Luna Satellite 7,342 x 1022 3,476 x 103 - | -
Marte Pianeta terrestre 6,4185 x 1023 6,786 x 103 227,9 x 106 | 1,523
Giove Pianeta gassoso 1,8986 x 1027 138,346 x 103 778,3 x 106 | 5,203
Saturno Pianeta gassoso 5,6846 x 1026 114,632 x 103 1427 x 106 | 9,539

Urano

Pianeta gassoso 8,6832 x 1025 50,532 x 103 2896,6 x 106 | 19,36 
Nettuno Pianeta gassoso 1,0243 x 1026 49,106 x 103 4496,6 x 106 | 30,058
Plutone Pianeta nano 1,305 x 1022 2,370 x 103 6089 x 106 | 40,702

 

 

Il formulario di Gravitazione universale in versione pdf è disponibile qui - click per il download.

 

 

Lezione precedente


Tags: formule di teoria della gravitazione universale in pdf.