Seconda legge di Keplero

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La seconda legge di Keplero, detta legge delle aree e formulata nel 1609 da Johannes Keplero, è una legge relativa al moto dei pianeti intorno al Sole e stabilisce che il raggio vettore che congiunge il Sole e un qualsiasi pianeta del Sistema solare spazza aree uguali in tempi uguali.

Oltre ad enunciare e a spiegare la seconda legge di Keplero, in questa lezione ne proporremo la dimostrazione e ci soffermeremo ad analizzarne le principali conseguenze. Nel caso non l'aveste già fatto, vi raccomandiamo una lettura preliminare dell'articolo introduttivo sulle leggi di Keplero.

Enunciato e spiegazione sulla seconda legge di Keplero

Grazie ai dati a sua disposizione Keplero poté appuntare la posizione di un pianeta lungo la sua orbita ellittica in un certo istante e segnare la nuova posizione dopo un certo intervallo di tempo. Ripetendo il procedimento a partire da una nuova posizione iniziale, e segnando la posizione dopo lo stesso intervallo di tempo, Keplero si rese conto che accade una cosa particolare.

L'analisi di tali dati gli permise di formulare quella che viene detta in suo onore seconda legge di Keplero: l'area del triangolo mistilineo con vertici il Sole e le due posizioni differenti del pianeta lungo la sua orbita è sempre la stessa a parità di tempo trascorso.

Esprimendo questo fatto in una forma più compatta possiamo scrivere l'enunciato della seconda legge di Keplero: il segmento che unisce il pianeta al Sole descrive aree uguali in tempi uguali.

Per completezza precisiamo che talvolta l'enunciato viene espresso in una forma apparentemente diversa, ma del tutto equivalente alla precedente: il raggio vettore congiungente il pianeta al sole spazza aree uguali in tempi uguali. È importante sottolineare però che le aree sono uguali a patto che si considerino tempi uguali di percorrenza dell'orbita.

Seconda legge di Keplero

Seconda legge di Keplero: un esempio.

Conseguenze della seconda legge di Keplero

Ci sono diverse conseguenze della seconda legge di Keplero che si evincono da un'analisi approfondita del suo enunciato.

1) La seconda legge di Keplero stabilisce che la forza gravitazionale è una forza centrale

A ben vedere la spiegazione della seconda legge di Keplero non è affatto complicata. Volendo esprimerne il risultato in termini dinamici, basta ricordare che nella lezione dedicata alle forze centrali abbiamo visto che tali forze hanno la caratteristica di mantenere costante la velocità areolare.

In accordo con la seconda legge di Keplero, la forza gravitazionale definita dalla legge di gravitazione universale è un esempio di forza centrale.

2) Seconda legge di Keplero e velocità dei pianeti

La seconda legge di Keplero ha una conseguenza ancor più immediata rispetto alla precedente. In maniera approssimata, possiamo considerare le superfici come dei triangoli che hanno per base il tratto di orbita percorsa dal pianeta e per altezza la distanza media tra il pianeta e il Sole in quel tratto di orbita.

Vi ricordate come si calcola l'area di un triangolo?

$\mbox{Area}=\frac{\mbox{Base}\times \mbox{Altezza}}{2}$

Quando il pianeta si trova più vicino al Sole, quindi è minore l'altezza del triangolo, deve essere maggiore la sua base per fare in modo che l'area rimanga costante. Questo significa che il pianeta nello stesso tempo deve percorrere un tratto di maggiore lunghezza, ossia deve essere più veloce. Al contrario, quando il pianeta è più lontano dal Sole dovrà percorrere un tratto di minore lunghezza nello stesso tempo, dunque dovrà essere più lento.

Dimostrazione della seconda legge di Keplero

Occupiamoci ora della dimostrazione della seconda legge di Keplero. Di fatto essa non è altro che un'applicazione del principio di conservazione del momento angolare, ma questo Keplero non poteva saperlo perché in quegli anni i tre principi della dinamica di Newton non erano ancora stati formulati.

Consideriamo uno spostamento angolare infinitesimo $d\theta$ del pianeta lungo la sua orbita e indichiamo con la distanza tra il pianeta e il Sole, considerata costante.

Conseguenza della seconda legge di Keplero

Spostamento angolare infinitesimo - Dimostrazione della seconda legge di Keplero.

Approssimando l'area a quella di un triangolo, la base è data dalla lunghezza dell'arco $rd\theta$ e l'altezza è uguale a , per cui:

$dA = \frac{1}{2} r^{2} d \theta$

La variazione nel tempo di tale area è data dalla sua derivata rispetto al tempo

$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^{2} \frac{d \theta}{dt} = \frac{1}{2} r^{2} \omega\ \ \ (\bullet)$

dove nell'ultimo passaggio abbiamo usato la definizione di velocità angolare $\omega$ .

Il momento d'inerzia del pianeta calcolato rispetto all'asse perpendicolare al piano dell'orbita e passante per il Sole è:

mentre il suo momento angolare, che è diretto lungo l'asse z di rotazione, è:

$L_z=I\omega=mr^2\omega$

Possiamo quindi riscrivere la variazione temporale dell'area in funzione del momento angolare, sostituendo $r^2\omega=\frac{L_z}{m}$ in $(\bullet)$

$\frac{dA}{dt} = \frac{L_{z}}{2m}$

Poiché l'unica forza esercitata sul pianeta è la forza di attrazione gravitazionale, che è diretta verso il centro del Sole ed è quindi parallela alla distanza tra pianeta e Sole, ne consegue che il momento della forza $\vec{M}$ è nullo

$\vec{M}=0$

Ricordandoci la relazione che lega il momento della forza al momento angolare

$\vec{M} = \frac{d \vec{L}}{dt}$

deduciamo che il momento angolare è costante

$\vec{M}=0\ \to\ \frac{d\vec{L}}{dt}=0\ \to\ \vec{L}=\mbox{costante}$

In conclusione la variazione nel tempo dell'area spazzata dal pianeta è uguale a un rapporto tra costanti, vale a dire che la velocità areolare è costante

$\frac{dA}{dt}=\mbox{costante}$

Osservazioni finali sulla seconda legge di Keplero

La dinamica newtoniana ha dimostrato dal punto di vista teorico ciò che Keplero aveva dedotto servendosi solamente dei dati sperimentali. Va notato che la dimostrazione della seconda legge di Keplero è stata fatta presupponendo la distanza costante, ossia ragionando nel caso di un'orbita perfettamente circolare; è possibile estendere la dimostrazione anche al caso di orbite ellittiche, che è poi il caso reale in accordo con la prima legge di Keplero.

Per concludere vediamo di giustificare la conseguenza 2) descritta in precedenza da un punto di vista fisico e non più geometrico. La conservazione del momento angolare implica che, ad esempio nel caso della Terra, il nostro pianeta ruoti più velocemente al perielio e più lentamente all'afelio. Vale infatti la seguente relazione:

$L_{pe} = L_{af}$

Scrivendo esplicitamente le espressioni dei momenti angolari

$r_{pe}mv_{pe} = r_{af}mv_{af}$

e semplificando la massa, otteniamo

$r_{pe}v_{pe} = r_{af}v_{af}$

Affinché il prodotto della distanza per la velocità sia costante, se una grandezza aumenta, l'altra deve necessariamente diminuire in proporzione.

Nella lezione successiva tratteremo la terza legge di Keplero, non perdetevela! ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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