Espressione generale dell’energia potenziale gravitazionale

Dopo aver visto nella precedente lezione che la forza di attrazione gravitazionale è conservativa, vogliamo trovare l'espressione della sua energia potenziale nel caso più generale possibile.

Per chi si fosse perso le puntate precedenti, ricordiamo che la formula dell'energia potenziale gravitazionale che conoscevamo già è valida solo in prossimità della superficie terrestre, dove è possibile considerare l'accelerazione di gravità come una costante.

La formula che abbiamo proposto nelle lezioni di Dinamica è dunque un caso particolare di quello che vogliamo trattare ora.

Formula generale dell'energia potenziale gravitazionale

Consideriamo una massa che genera attorno a sé un campo gravitazionale, all'interno del quale collochiamo una massa di prova . La posizione della massa è individuata dal vettore $\vec{r}$ che ha direzione radiale e verso uscente dalla massa generatrice del campo.

Espressione generale dell'energia potenziale gravitazionale

La forza di attrazione gravitazionale cercherà di spostare la massa verso il centro della massa lungo la direzione radiale. Ragioniamo allora su un raggio e consideriamo i punti A e B; vogliamo calcolare il lavoro che la forza compie per spostare la massa da A a B.

$L_{AB} = \int_{A}^{B}{\vec{F} \cdot d \vec{r}}$

Calcoliamo l'integrale esplicitamente tenendo conto che $\vec{F},\ \vec{r}$ sono paralleli e discordi, dunque il loro prodotto scalare è negativo

$\\ L_{AB} = - \int_{A}^{B}{F \: dr} =$

Esplicitiamo l'espressione della forza

$=- \int_{A}^{B}{G \frac{mM}{r^{2}} \: dr} =$

Applichiamo una ben nota proprietà degli integrali

$= - GmM \int_{A}^{B}{ \frac{1}{r^{2}} \: dr} =$

Ci troviamo così di fronte a un integrale fondamentale. Calcoliamolo:

$\\ =- GmM \left[ - \frac{1}{r} \right]_{A}^{B} = - GmM \left( - \frac{1}{r_{B}} + \frac{1}{r_{A} } \right) = GmM \left( \frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}} \right) =\\ \\ \\ = GmM \cdot\frac{r_A-r_B}{r_Ar_{B}}$

Da tale formula si vede che se allora il lavoro è positivo, perché la forza e lo spostamento sono concordi e la massa si sposta naturalmente là dove viene spinta dalla forza gravitazionale. Al contrario, se , allora il lavoro è negativo.

Grazie alla formula generale dell'energia potenziale

$\Delta U = - L_{AB}$

secondo cui la variazione di energia potenziale è uguale e opposta al lavoro compiuto nello spostamento da A a B, possiamo ricavare $\Delta U$ :

$\Delta U = - GmM \left( \frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}} \right)$

da cui otteniamo la formula per la variazione di energia potenziale gravitazionale

$\Delta U= GmM \left( \frac{1}{r_{A}} - \frac{1}{r_{B}} \right)$

La situazione qui è rovesciata: se , cioè se la massa si avvicina alla massa , allora l'energia potenziale diminuisce; se invece la massa si allontana (e quindi ) allora l'energia potenziale aumenta.

Nell'ottica della conservazione dell'energia meccanica, se la massa si avvicina alla generatrice del campo, la sua energia potenziale diminuisce e dunque cresce la sua energia cinetica della medesima quantità. Questo significa che la velocità della massa aumenta; in questo le cose non sono cambiate rispetto a quanto già sapevamo quanto usavamo come energia potenziale la formula .

Quella che abbiamo appena scritto è la formula per la variazione dell'energia potenziale, ma in termini più generali ci piacerebbe definire l'energia potenziale gravitazionale in funzione della distanza tra le due masse coinvolte nell'interazione gravitazionale. A tal proposito si stabilisce che, quando le due masse si trovano a distanza infinita l'una dall'altra, la loro energia potenziale è nulla.

$U(\infty) = 0$

Di conseguenza, quando le due masse si trovano a una distanza generica , abbiamo:

$U(\infty) - U(r) = GmM \left( \frac{1}{r} - 0 \right)$

e ricaviamo così la formula dell'energia potenziale gravitazionale

$U(r) = - \frac{GmM}{r}$

Definendo un valore di energia nullo a fronte di una distanza infinita, ne consegue che l'energia potenziale gravitazionale è sempre una quantità negativa che si avvicina a zero per valori di che tendono a infinito, mentre assume valori crescenti in modulo quando si avvicina allo zero.

Grafico energia potenziale gravitazionale

Grafico dell'energia potenziale gravitazionale nel caso generale.

Ecco allora che quando le due masse si avvicinano, l'energia potenziale passa da un certo valore negativo a uno "ancor più negativo": la differenza tra il valore finale e quello iniziale $\Delta U$ restituisce un valore negativo, in accordo con quanto visto in precedenza.

Energia potenziale gravitazionale di un corpo o di due corpi?

Proseguiamo l'analisi facendovi notare che, a differenza del campo gravitazionale, l'energia potenziale si può definire per un sistema costituito da una coppia di corpi: nella formula compare infatti il prodotto tra due masse.

Spesso però si parla dell'energia potenziale gravitazionale associandola a un singolo corpo, e ad esempio diciamo che una pietra ha una certa energia. Più correttamente si dovrebbe parlare dell'energia posseduta non dalla sola pietra, ma dal sistema Terra-pietra; ciononostante si suole prediligere una tale semplificazione del linguaggio per una mera questione quantitativa.

Nel momento in cui la distanza tra la Terra e la pietra si riduce (la pietra sta cadendo da un certa altezza verso la superficie), l'energia potenziale si riduce e quest'energia si trasforma in energia cinetica che va a distribuirsi tra la Terra e la pietra. Se da un lato è la Terra che attira la pietra, è anche vero che la pietra attira la Terra con una forza uguale e contraria. Il punto è che l'enorme disparità di massa tra i due corpi fa sì che sia il corpo più leggero ad acquisire la maggiore quantità di energia cinetica, e quindi di velocità; la Terra rimane praticamente ferma.

Verifica della formula dell'energia potenziale gravitazionale

Vi ricordate la relazione tra una forza conservativa e la sua energia potenziale in funzione di una sola coordinata? Sappiamo che

$F = - \frac{dU}{dx}$

La forza è uguale all'opposto della variazione dell'energia potenziale rispetto alla coordinata spaziale x. Poiché con la gravitazione abbiamo a che fare con corpi a simmetria sferica, la coordinata x va sostituita con quella radiale :

$F = - \frac{dU}{dr}$

Se sostituiamo all'energia potenziale gravitazionale l'espressione scritta in precedenza, ricaviamo

$F = - \frac{dU}{dr}= - \frac{d}{dr} \left(- \frac{GmM}{r} \right) = - G \frac{mM}{r^{2}}$

e ovviamente torniamo ad avere l'espressione della forza di gravitazione universale. Il segno meno indica semplicemente che la forza è attrattiva.

Il caso particolare dell'energia potenziale gravitazionale U=mgh

Per completare il discorso sull'energia potenziale gravitazionale vogliamo dimostrare che, per piccoli spostamenti in prossimità della superficie terrestre, la formula generale dell'energia potenziale si riduce a quella particolare , dipendente dall'altezza rispetto a un livello zero arbitrario che dipende dal sistema di riferimento scelto. Ne avevamo parlato nel dettaglio nella lezione sull'energia potenziale gravitazionale.

Se consideriamo un corpo qualsiasi di massa , la sua energia potenziale dipende dalla massa della Terra e la distanza tra i due corpi è uguale al raggio terrestre . Ricordiamoci che la Terra agisce come un punto materiale con tutta la sua massa concentrata nel suo centro, in forza del primo teorema dei gusci:

$U_{in} = - G \frac{mM_{T}}{R_{T}}$

Ora solleviamo verticalmente il corpo a un’altezza dalla superficie: l'energia potenziale gravitazionale cambia, perché è cambiata la distanza tra il corpo e il centro della Terra

$U_{fin} = - G \frac{mM_{T}}{R_{T} + h}$

Calcoliamo la differenza $\Delta U$ :

$\\ \Delta U = U_{fin}-U_{in}=\\ \\ =- G \frac{mM_{T}}{R_{T} + h} - \left(- G \frac{mM_{T}}{R_{T}} \right) =\\ \\ \\ =- G \frac{mM_{T}}{R_{T} + h} + G \frac{mM_{T}}{R_{T}} = \\ \\ \\ =GmM_{T} \left( \frac{1}{R_{T}} - \frac{1}{R_{T} + h}\right)$

Al denominatore del secondo membro raccogliamo il termine , ottenendo:

$\Delta U = GmM_{T} \left( \frac{1}{R_{T}} - \frac{1}{R_{T} \left( 1 + \frac{h}{R_{T}} \right)} \right) = \\ \\ \\ =G \frac{mM_{T}}{R_{T}} \left( 1 - \frac{1}{1 + \frac{h}{R_{T}}} \right)\ \ \ (\bullet)$

Sostituiamo per un momento il rapporto $\frac{h}{R_T}$ con una variabile ausiliaria . La seconda frazione che compare all'interno delle parentesi tonde diventa:

$\frac{1}{1 + \frac{h}{R_{T}}} = \frac{1}{1 + x} = (1 + x)^{-1}$

Poiché è molto minore rispetto a $R_T\ (h << R_T)$ , la è un numero molto più piccolo di 1 (è molto prossimo allo zero). Possiamo allora ricorrere a uno sviluppo di Taylor notevole e scrivere la seguente approssimazione

$(1 + x)^{n} \simeq 1 + nx$

Nel nostro caso specifico, n = -1 e di conseguenza:

$(1 + x)^{-1} \simeq 1 - x \: \: \longrightarrow \: \: \frac{1}{1 + \frac{h}{R_{T}}} \simeq 1 - \frac{h}{R_{T}}$

Tornando al calcolo di $\Delta U$ in $(\bullet)$ , ricaviamo:

$\\ \Delta U \simeq G \frac{mM_{T}}{R_{T}} \left[ 1 - \left(1 - \frac{h}{R_{T}} \right) \right] =\\ \\ \\ = G \frac{mM_{T}}{R_{T}} \cdot \frac{h}{R_{T}} = m \left( \frac{GM_{T}}{R_{T}^{2}} \right) h$

L'espressione messa in evidenza tra parentesi tonde è proprio l'espressione dell'accelerazione di gravità , quindi:

$\Delta U \simeq mgh$

Ed ecco che la "vecchia" espressione dell'energia potenziale si presenta per quello che è davvero: un caso particolare (piccoli spostamenti dalla superficie terrestre), anche se molto usato nella pratica, dell'energia potenziale gravitazionale trovata a partire dalle legge di gravitazione universale.

Per il momento è tutto. Nella prossima lezione generalizzeremo il discorso trattando l'energia potenziale gravitazionale per sistemi di più corpi; nel frattempo se siete in cerca di esercizi svolti vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna, qui su YM potete consultare migliaia di problemi ed esercizi risolti passo-passo. ;)

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

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