Circuiti RC

I circuiti RC sono circuiti elettrici costituiti da un generatore di tensione, una resistenza, un condensatore e un interruttore. Quest'ultimo permette di regolare i processi di carica e scarica del condensatore, controllando così la carica sulle armature del condensatore e la corrente che scorre nel circuito.

 

Siamo pronti per studiare i circuiti che coinvolgono sia resistenze che condensatori. In questa lezione studieremo dettagliatamente i circuiti RC, come sempre limitandoci al regime di corrente continua, e analizzeremo le due fasi che ne caratterizzano il funzionamento: il processo di carica e il processo di scarica del condensatore.

 

Nello specifico descriveremo le due fasi per mezzo delle formule per la quantità di carica depositata sulle armature del condensatore e per la corrente elettrica, commentandole e mostrando come si ricavano.

 

Circuiti RC

 

Ormai abbiamo imparato come analizzare i circuiti capacitivi, in cui sono presenti solamente condensatori, e i circuiti ohmici, ai quali sono collegati esclusivamente resistori per cui vale la prima legge di Ohm.

 

In entrambi i casi non può mancare un generatore che eroghi corrente continua.

 

È giunto il momento di passare ai circuiti RC, ossia circuiti elettrici in cui sono presenti una resistenza, un condensatore e (tipicamente) un interruttore elettrico, come ad esempio quello rappresentato in figura:

 

 

Circuito RC

Esempio di circuito RC.

 

 

Lo scopo di un circuito RC è essenzialmente quello di regolare il processo di carica e il processo di scarica del condensatore collegato ad esso. Vediamo come avvengono tali processi analizzandoli separatamente.

 

Processo di carica di un condensatore in un circuito RC

 

Quando le armature di un condensatore accumulano carica elettrica, viene spesa energia che si converte in energia immagazzinata dal condensatore e che potrà poi utilizzarla in un secondo momento.

 

Per caricare un condensatore è necessario collegarlo a un generatore di tensione che possa spostare forzatamente cariche elettriche sulle sue armature. Di norma il processo di carica del condensatore avviene utilizzando un circuito RC, ossia costituito:

 

- da un generatore di tensione, che consideriamo ideale e che nel nostro contesto erogherà corrente continua;

 

- da un condensatore con capacità C;

 

- da un resistore con resistenza R.

 

Quando l'interruttore è aperto, la corrente non circola. Quando l'interruttore viene chiuso, diciamo nell'istante di tempo t=0, la corrente comincia improvvisamente a circolare: le cariche positive abbandonano il polo + del generatore, si muovono verso il condensatore e si accumulano su una sua armatura. Per effetto dell'induzione elettrostatica sull'altra armatura compare una quantità di carica di ugual valore assoluto e di segno negativo.

 

Il processo richiede un certo intervallo di tempo, al termine del quale il condensatore avrà raggiunto un valore massimo di carica elettrica e un conseguente valore di differenza di potenziale, tale per cui la corrente smetterà di circolare e si raggiungerà una situazione di equilibrio. Si capisce allora che la corrente elettrica e la carica accumulata sul condensatore non sono costanti, bensì sono funzioni del tempo t.

 

Si può dimostrare (e lo faremo nel prosieguo della lezione) che il modulo della carica presente sul condensatore cresce nel tempo secondo la legge:

 

q(t)=C\cdot \mbox{fem}\cdot \left( 1 - e^{- \tfrac{t}{\tau}} \right)

 

dove per semplicità indichiamo con q(t) il valore della carica sull'armatura positiva, così da eliminare l'ambiguità sulla scelta dell'armatura e dunque evitare di dover indicare il valore assoluto della carica.

 

Con la lettera greca τ indichiamo la costante di tempo, che è data dal prodotto tra la resistenza R e la capacità C:

 

\tau = RC

 

La costante di tempo è quindi una grandezza tipica del circuito e dipende direttamente dalle sue componenti; una volta scelti i valori di R e di C avremo conferito alla costante di tempo uno specifico valore. Come lascia intendere il nome stesso, \tau ha le dimensioni di un tempo e pertanto si misura in secondi.

 

Tornando alla formula della carica q(t) notiamo che quando il tempo è uguale a zero, cioè nell'istante in cui viene chiuso l'interruttore, la carica vale:

 

q(0) = C \cdot \mbox{fem}\cdot \left( 1 - e^{- \tfrac{0}{\tau}} \right) = \\ \\ =C\cdot \mbox{fem} \left( 1 - 1 \right) = 0

 

Il risultato è in linea con quanto ci aspettavamo, visto che all'inizio il condensatore è completamente scarico e la carica q(t) è al minimo

 

q_{min}=q(0)=0

 

Se lasciamo chiuso il circuito e consideriamo un tempo infinito, troviamo

 

q(\infty) = \lim_{t\to +\infty}C \cdot \mbox{fem}\cdot \left( 1 - e^{- \tfrac{t}{\tau}} \right) = \\ \\ =C \cdot \mbox{fem} \cdot \left( 1 - 0 \right) = C \cdot \mbox{fem}

 

infatti la funzione esponenziale converge a zero al tendere dell'esponente a -infinito. La carica finale del condensatore tende quindi al prodotto della capacità per la forza elettromotrice del generatore (in accordo con la definizione di capacità):

 

q_{sup}=q(\infty)=C \cdot \mbox{fem}

 

Questo è l'estremo superiore dei valori assunti dalla carica (non massimo in quanto la funzione q(t) converge ad esso senza mai raggiungerlo). Ecco allora come appare il grafico della carica elettrica sull'armatura positiva del condensatore in funzione del tempo

 

 

Processo di carica circuiti RC

Carica elettrica in funzione del tempo
nel processo di carica in un circuito RC.

 

 

La carica parte da zero quando t=0 e cresce sempre meno velocemente, convergendo al valore massimo pari a C\cdot\mbox{fem} che corrisponde a un asintoto orizzontale per la funzione q=q(t). Osserviamo anche che a un tempo pari a circa 4\tau il condensatore è pressoché giunto al massimo valore di carica.

 

Tornando alla costante di tempo, possiamo provare a darne una stima assegnando due valori alla resistenza e alla capacità. Se ad esempio R = 400 Ω e C = 6,5 μF, la costante di tempo diventa:

 

\tau = RC = (400 \ \Omega) \cdot (6,5 \cdot 10^{-6} \mbox{ F}) = 2,6 \cdot 10^{-3} \mbox{ s}

 

Si tratta di qualche millisecondo. Per un tempo pari alla costante di tempo, dunque t=\tau, la carica vale:

 

q(\tau) = C \cdot \mbox{fem}\cdot \left( 1 - e^{- \tfrac{\tau}{\tau}} \right) = \\ \\ =C\cdot \mbox{fem}\cdot \left( 1 - e^{- 1} \right) \simeq 0,63 \cdot C \cdot \mbox{fem}

 

dunque al tempo t=\tau la carica sul condensatore ha già raggiunto il 63% del suo valore massimo

 

q(\tau)=63\%\ q_{sup}

 

Allo stesso modo si ricava che con un tempo t=4\tau si passa al 98%

 

q(4\tau)=98\%\ q_{sup}

 

In assenza di resistenza, ossia in un circuito C, il processo di carica del condensatore avverrebbe in tempi rapidissimi, talmente brevi da poter essere considerato praticamente istantaneo. La presenza della resistenza nel circuito RC invece ostacola e rallenta il processo, che quindi richiede un intervallo di tempo più dilatato affinché venga portato a compimento. La resistenza inoltre fa sì che la quantità di carica accumulata sul condensatore sia inferiore a quella che si avrebbe in sua assenza.

 

 

Intensità di corrente e differenza di potenziale nel processo di carica in un circuito RC

 

L'altra grandezza che cambia al variare del tempo è l'intensità di corrente. La corrente infatti decresce nel tempo secondo la legge:

 

i(t) = \frac{\mbox{fem}}{R} e^{- \tfrac{t}{\tau}}

 

Il grafico della corrente i(t) in funzione del tempo ha il seguente andamento:

 

 

Corrente nel processo di carica in un circuito RC

Intensità di corrente in funzione del tempo
nel processo di carica in un circuito RC.

 

 

Qui accade un po' il contrario di quello che accadeva per la carica. Al tempo t=0, quando viene chiuso l'interruttore, la corrente ha intensità massima ed è pari a

 

i_{max}=i(0)=\frac{\mbox{fem}}{R}

 

Man mano che il condensatore accumula carica l'intensità della corrente diminuisce nel tempo, tendendo ad annullarsi quando il condensatore è completamente carico. Tale valore è estremo inferiore e non minimo perché il tempo di carica completa è infinito:

 

i_{inf}=i(\infty)=0

 

Vale infine la pena di menzionare le formule per la differenza di potenziale \Delta V_R ai capi della resistenza e quella ai capi del condensatore \Delta V_C in funzione del tempo:

 

\Delta V_C(t) = \frac{q(t)}{C} = \mbox{fem}\cdot \left( 1 - e^{- \tfrac{t}{\tau}} \right)\\ \\ \\ \Delta V_R(t) = R i(t) = \mbox{fem} \cdot e^{- \tfrac{t}{\tau}}

 

 

Dimostrazione delle formule per carica e corrente nel processo di carica

 

Vediamo ora come ricavare le formule di q(t) e di i(t) nel processo di carica. A tal proposito premettiamo che la dimostrazione è pienamente comprensibile solo per chi ha (una minima) dimestichezza con le equazioni differenziali.

 

Riferendoci al circuito disegnato in alto applichiamo la seconda legge di Kirchhoff:

 

\mbox{fem} - \Delta V_C - \Delta V_R = 0

 

Sostituiamo alle differenze di potenziale \Delta V_C e \Delta V_R le rispettive espressioni derivanti dalla definizione di capacità e dalla prima legge di Ohm

 

\mbox{fem} - \frac{q}{C} - iR = 0

 

Da qui ricaviamo la corrente:

 

i = \frac{\mbox{fem}}{R} - \frac{q}{RC}

 

La corrente d'altronde si può esprimere come derivata della carica calcolata rispetto al tempo

 

\frac{dq}{dt} = \frac{\mbox{fem}}{R} - \frac{q}{RC}

 

Abbiamo ricavato un'equazione differenziale a variabili separabili, che possiamo risolvere isolando le variabili q e t:

 

\frac{dq}{\mbox{fem} \cdot C - q} = \frac{1}{RC} dt

 

Integriamo entrambi i membri (con un piccolo abuso di notazione tra estremi di integrazione e variabile di integrazione)

 

\int_0^q{\frac{dq}{\mbox{fem}\cdot C - q}} = \int_0^t{\frac{1}{RC}} dt\\ \\ \\ \left[ - \ln \left( \mbox{fem}\cdot C - q \right) \right]_0^q = \frac{1}{RC}t

 

Cerchiamo ora di ricavare la carica applicando opportunamente le proprietà dei logaritmi

 

- \ln \left( \mbox{fem}\cdot C - q \right) + \ln \left( \mbox{fem}\cdot C \right) = \frac{1}{RC} t\\ \\ \ln \left( \frac{\mbox{fem}\cdot C - q}{\mbox{fem}\cdot C} \right) = - \frac{1}{RC} t\\ \\ \\ \frac{\mbox{fem}\cdot C - q}{\mbox{fem}\cdot C} = e^{- \tfrac{t}{RC}}\\ \\ \mbox{fem}\cdot C - q = \mbox{fem}\cdot C \cdot e^{- \tfrac{t}{RC}}

 

Ci siamo quasi: esplicitiamo la dipendenza della carica dalla variabile tempo

 

q(t) = \mbox{fem}\cdot C - \mbox{fem}\cdot C \cdot e^{- \tfrac{t}{RC}}

 

Effettuiamo un raccoglimento a fattore comune

 

q(t) = \mbox{fem}\cdot C \left( 1 - e^{- \tfrac{t}{RC}} \right)

 

Introduciamo la costante di tempo \tau=RC

 

q(t) = \mbox{fem}\cdot C \left( 1 - e^{- \tfrac{t}{\tau}} \right)

 

Da qui basta derivare rispetto al tempo per determinare la corrente. Applichiamo il teorema di derivazione della funzione composta

 

i(t) = \frac{dq(t)}{dt} = \mbox{fem}\cdot C\cdot \left(-e^{- \tfrac{t}{RC}}\right)\cdot \left(-\frac{1}{RC}\right)

 

e in definitiva

 

i(t)=\frac{\mbox{fem}}{R} e^{- \tfrac{t}{\tau}}

 

Processo di scarica di un condensatore in un circuito RC

 

Passiamo ad analizzare il processo di scarica. Per scaricare il condensatore, e quindi per fare in modo che la carica presente sulle sue armature torni ad annullarsi, è necessario aprire il circuito sollevando l'interruttore. Supponiamo che ciò avvenga nell'istante di tempo t=0.

 

In questo modo nel circuito compare un corrente che inizialmente è al massimo della propria intensità, e che diventa sempre più debole col passare del tempo. La peculiarità di tale corrente è che essa scorre nel verso contrario rispetto al verso di percorrenza che aveva durante il processo di carica.

 

In fase di scarica, infatti, ai capi del condensatore vi è una differenza di potenziale che costringe le cariche ad abbandonare le rispettive armature, facendo sì che la carica del condensatore tenda ad annullarsi.

 

Sulla base della precedente descrizione si vede allora che il modulo dell'intensità di corrente elettrica ha il seguente andamento in funzione del tempo:

 

 

Modulo della corrente nel processo di scarica in un circuito RC

Modulo dell'intensità di corrente in funzione del tempo
nel processo di scarica in un circuito RC.

 

 

Si tratta di un andamento esponenziale decrescente in cui il modulo dell'intensità di corrente i(t):

 

- è massimo nell'istante di tempo iniziale (t=0), ossia nell'istante in cui si apre il circuito;

 

- tende a zero per un tempo infinito.

 

La corrente nel processo di scarica ha quindi lo stesso andamento di quello che manifesta nel processo di carica, e questo aspetto è evidente anche della legge che mostra come l'intensità di corrente varia nel tempo:

 

i(t) = - \frac{\mbox{fem}}{R} e^{- \tfrac{t}{\tau}}

 

La formula è la stessa rispetto al processo di carica, con la sola differenza data dal segno meno che indica che la corrente scorre nel circuito nel verso opposto. Anche in questo caso \tau indica la costante di tempo, ossia il prodotto tra la resistenza R e la capacità C del condensatore

 

\tau=RC

 

Nel grafico precedente abbiamo considerato il valore assoluto dell'intensità di corrente e abbiamo trascurato il segno meno, ma se volessimo tenerne conto otterremmo il seguente grafico:

 

 

Corrente nel processo di scarica in un circuito RC

Intensità di corrente in funzione del tempo
nel processo di scarica in un circuito RC.

 

 

Il grafico si ottiene dal precedente per simmetria rispetto all'asse x. Dalla formula si vede che se al posto del tempo sostituiamo t=0, otteniamo il valore massimo in modulo (minimo di i(t))

 

i_{min}=i(0)=-\frac{\mbox{fem}}{R}

 

Se invece il tempo tende a infinito otteniamo l'estremo inferiore dei valori in modulo (estremo superiore dei valori assunti dalla funzione i(t))

 

i_{sup}=i(\infty)=0

 

 

Carica elettrica del condensatore nel processo di scarica in un circuito RC

 

Vediamo cosa accade alla quantità di carica presente sul condensatore.

 

All'apertura del circuito la carica abbandona le armature e inizia a diminuire nel tempo, tendendo ad annullarsi. Ecco il grafico che descrive l'andamento della carica presente sull'armatura positiva in funzione del tempo:

 

 

Processo di scarica circuiti RC

Carica elettrica in funzione del tempo
nel processo di scarica in un circuito RC.

 

 

La legge che esprime la carica in funzione del tempo è del tutto analoga a quella vista per la corrente:

 

q(t) = C\cdot \mbox{fem}\cdot e^{- \tfrac{t}{\tau}}

 

Se sostituiamo t=0 otteniamo il valore massimo della carica, ossia quello iniziale:

 

q_{max}=q(0)=C\cdot \mbox{fem}

 

e se consideriamo un tempo infinito otteniamo un valore di carica nullo

 

q_{inf}=q(\infty)=0

 

Analogamente al processo di carica, anche la fase di scarica può considerarsi approssimativamente completa dopo un tempo di circa 4\tau o 5\tau. Considerando che di norma la costante di tempo può essere dell'ordine di qualche millesimo di secondo, si tratta comunque di tempi molto brevi. Tali tempi sarebbero praticamente nulli se nel circuito non ci fosse la resistenza; al contrario la sua presenza comporta una dilatazione dei tempi a causa della sua opposizione al passaggio di corrente.

 

 

Dimostrazione delle formule per carica e corrente nel processo di scarica

 

Vediamo come si ricava la formula della carica elettrica in funzione del tempo. Anche in questo caso è necessario un minimo di dimestichezza con le equazioni differenziali a variabili separabili. ;)

 

Applichiamo la legge delle maglie all'unica maglia presente nel circuito, tenendo conto che il generatore non è attivo. In questo frangente è il condensatore a svolgere il ruolo di erogatore di d.d.p.:

 

\Delta V_C - \Delta V_R=0\ \ \to\ \ \Delta V_C=\Delta V_R

 

Sostituiamo alle differenze di potenziale \Delta V_C e \Delta V_R le loro formule più specifiche, derivanti dalla definizione di capacità e dalla prima legge di Ohm

 

\frac{q}{C} = Ri

 

e ricaviamo la corrente

 

i = \frac{q}{RC}

 

Scriviamo la corrente come derivata della carica rispetto al tempo, e con un segno meno visto che la corrente scorre nel verso opposto rispetto al processo di carica

 

\frac{dq}{dt} = - \frac{q}{RC}

 

Separiamo le variabili e integriamo con un piccolo abuso di notazione tra estremi di integrazione e variabile di integrazione

 

\frac{dq}{q} = - \frac{1}{RC} dt\\ \\ \\ \int_{q_0}^q{\frac{dq}{q}} = - \int_0^t{\frac{1}{RC}} dt\\ \\ \\ \left[ - \ln (q) \right]_{q_0}^q = - \frac{1}{RC} t\\ \\ \\ \ln(q) - \ln(q_0) = - \frac{1}{RC} t\\ \\ \\ \ln \left( \frac{q}{q_0} \right) = - \frac{1}{RC} t

 

Passiamo all'esponenziale e svolgiamo i calcoli:

 

\frac{q}{q_0} = e^{- \tfrac{t}{RC}}\\ \\ \\ q(t) = q_0 e^{- \tfrac{t}{RC}}

 

La carica q_0 è il prodotto tra la capacità e la forza elettromotrice, quindi

 

q(t)= C\cdot \mbox{fem}\cdot e^{- \tfrac{t}{\tau}}

 

Per concludere, la corrente si ricava come derivata della carica rispetto al tempo

 

i(t) = - \frac{dq(t)}{dt} = - \frac{\mbox{fem}}{R} e^{- \tfrac{t}{\tau}}

 

 


 

Siamo agli sgoccioli: l'ultimo argomento che ci resta da trattare per concludere il corso sull'elettricità riguarda l'elettrolisi. Per il resto non dimenticate che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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