Generatore reale di tensione

Un generatore reale di tensione è tale se la differenza di potenziale (d.d.p.) che è in grado di mantenere ai capi di un circuito chiuso non coincide con la sua forza elettromotrice (fem). Un generatore reale può essere schematizzato come un generatore ideale dotato di una resistenza interna.

 

Quando abbiamo iniziato a studiare i generatori di tensione abbiamo detto che, nelle applicazioni, avremmo considerato esclusivamente il caso ideale. In altri termini che avremmo lavorato con generatori che per ipotesi mantengono una differenza di potenziale ai capi del circuito equivalente alla loro forza elettromotrice.

 

Nella realtà le cose non stanno così e vale la pena di soffermarsi ad analizzare il comportamento e le caratteristiche dei generatori reali. In questa lezione mostreremo come ricavare le formule che permettono di calcolare la resistenza interna, la d.d.p. e l'intensità di corrente che sono in grado di erogare, effettuando un confronto con i generatori ideali.

 

Caratteristiche e formule per i generatori reali di tensione

 

Fin qui abbiamo sempre considerato solamente generatori di tensione ideali. Un generatore ideale di tensione per ipotesi è in grado di mantenere una differenza di potenziale costante ai suoi estremi pari alla forza elettromotrice (fem), sempre e comunque.

 

Nel caso di un generatore reale di tensione, cioè uno di quelli che possiamo davvero usare nella pratica come una pila o una batteria, accade che il valore della forza elettromotrice è uguale a quello che misuriamo ai capi del generatore soltanto quando:

 

- non è collegato ad alcun circuito, oppure

 

- è collegato a un circuito aperto.

 

In entrambi i casi non circola corrente elettrica, e in tale circostanza la d.d.p. tra i poli del generatore reale equivale alla fem.

 

Se però colleghiamo un generatore reale a una resistenza, o se chiudiamo il circuito, scopriamo che la differenza di potenziale che esso è in grado di mantenere è minore rispetto alla forza elettromotrice

 

\mbox{Generatore reale}:\ \mbox{fem}\geq \Delta V

 

Questo fenomeno si deve al fatto che il generatore deve spendere energia per spostare le cariche elettriche al proprio interno. Alle cariche viene quindi conferita una minore quantità di energia potenziale elettrica, che si traduce in un minore valore della differenza di potenziale misurata tra i poli del generatore.

 

Un generatore reale viene schematicamente rappresentato come un generatore ideale con l'aggiunta di una resistenza interna, vale a dire con un simbolo come quello rappresentato in figura

 

 

Generatore di tensione reale

Simbolo di un generatore di tensione reale.

 

 

È proprio a causa della resistenza interna che si ha una dispersione di energia e un calo nel valore della differenza di potenziale rispetto alla forza elettromotrice. Ricordiamo infatti che ai capi di ogni resistenza c'è sempre una caduta di tensione, ossia una diminuzione della differenza di potenziale.

 

Consideriamo un semplice circuito a corrente continua in cui colleghiamo un generatore reale (generatore ideale + resistenza r) a una sola resistenza R, che come sempre supponiamo ohmica:

 

 

Circuito con generatore di tensione reale

Esempio di circuito con un generatore di tensione reale.

 

 

Se immaginiamo di scomporre il generatore reale in un generatore ideale e nella relativa resistenza interna r, ci troviamo con un circuito con una sola maglia in cui la resistenza R e la resistenza interna r sono in serie. Analizziamo la situazione:

 

- dal punto di vista del generatore reale, ai suoi capi vi è una differenza di potenziale \Delta V;

 

- nell'ottica del generatore ideale la differenza di potenziale è pari alla forza elettromotrice \mbox{fem};

 

Riguardo alla resistenza R, essa avrà ai propri capi una differenza di potenziale uguale a quella del generatore reale

 

\Delta V_R=\Delta V

 

Applichiamo la prima legge di Ohm alle resistenze R e r

 

\Delta V_R=Ri\\ \\ \Delta V_r=ri

 

Per determinare l'intensità della corrente che circola nel circuito possiamo ricorrere alla seconda legge di Kirchhoff, per la quale la somma algebrica di tutte le differenze di potenziale che si trovano percorrendo una maglia è uguale a zero. Applichiamola scomponendo il generatore reale come generatore ideale con resistenza r:

 

\mbox{fem} - \Delta V_r - \Delta V_R=0

 

Sostituiamo le espressioni delle due d.d.p.:

 

\mbox{fem} - ri - Ri=0

 

Ora disponiamo di un'equazione da cui è possibile ricavare l'intensità di corrente elettrica

 

ri + Ri=\mbox{fem}\\ \\ i (r + R)=\mbox{fem}

 

dunque la formula per la corrente erogata dal generatore reale di tensione è

 

i=\frac{\mbox{fem}}{r + R}

 

Non ci resta che sostituirla nell'espressione della resistenza R

 

\Delta V=Ri \ \ \to\ \ \Delta V=R\cdot \frac{\mbox{fem}}{r + R}

 

e abbiamo ricavato la formula per la differenza di potenziale del generatore reale di tensione

 

\Delta V=\frac{R}{r + R}\cdot \mbox{fem}

 

Da qui si vede che la presenza della resistenza interna provoca una riduzione della d.d.p rispetto alla fem. Nel rapporto infatti il denominatore è maggiore del numeratore, e ciò fa sì che esso sia minore di 1. Se la resistenza interna r fosse nulla, avremmo \Delta V=\mbox{fem} che è proprio la condizione di un generatore ideale.

 

 

Esempio sui generatori reali di tensione

 

Quando negli esercizi si parla di generatori reali bisogna sempre tenere conto della resistenza interna, che a volte è proprio la grandezza da trovare. Vediamo un semplice esercizio riferendoci al disegno del precedente circuito.

 

Supponiamo che con il circuito aperto la differenza di potenziale ai capi del generatore sia di 5,6 V, e che a circuito chiuso cominci a circolare corrente a fronte di una differenza di potenziale di 5,1 V. Al generatore è collegata una resistenza di 140 Ω. Vogliamo calcolare la resistenza interna del generatore.

 

Svolgimento: intanto specifichiamo che la differenza di potenziale a circuito aperto coincide con la fem, dunque

 

\mbox{fem}=5,6\mbox{ V}

 

mentre la d.d.p. a circuito chiuso è quella effettivamente mantenuta dal generatore reale

 

\Delta V=5,1\mbox{ V}

 

Usiamo la formula per la resistenza interna trattandola come un'equazione, così da ricavare r

 

\Delta V=\frac{R}{r + R}\cdot \mbox{fem} \\ \\ \\ \Delta V (r + R)=R \cdot \mbox{fem}\\ \\ \\ \Delta V \cdot r + \Delta V \cdot R=R \cdot \mbox{fem}\\ \\ \\ r=\frac {\mbox{fem} - \Delta V}{\Delta V}\cdot R

 

Abbiamo così ricavato la formula per la resistenza interna di un generatore reale

 

r=\frac {\mbox{fem} - \Delta V}{\Delta V}\cdot R

 

Il resto è puro e semplice calcolo:

 

r=\frac{5,6 \mbox{ V} - 5,1 \mbox{ V}}{5,6 \mbox{ V}} \cdot (140 \ \Omega)\simeq 13,7 \ \Omega

 

 


 

Qui abbiamo finito: vi aspettiamo nella prossima lezione, dove tratteremo in dettaglio gli interruttori elettrici. Nel frattempo non dimenticate che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e altrettanti approfondimenti. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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