Risoluzione di circuiti ohmici

Il metodo di risoluzione dei circuiti ohmici è una procedura che permette di determinare tutte le caratteristiche di un qualsiasi circuito elettrico ohmico, ossia di un qualsiasi circuito costituito da un generatore di tensione a corrente continua e da resistenze che rispettano la prima legge di Ohm.

 

Ora che sappiamo tutto quel che c'è da sapere sulle leggi che governano le resistenze e la corrente continua possiamo occuparci del metodo per la risoluzione dei circuiti ohmici.

 

Niente di nuovo. ;) Nel corso della spiegazione vedremo semplicemente come usare la teoria esposta fin qui per effettuare l'analisi completa dei circuiti ohmici, dunque circuiti percorsi da una corrente continua e costituiti esclusivamente da resistenze per cui vale la prima legge di Ohm. Cominciamo!

 

Cosa significa risolvere un circuito ohmico

 

Un circuito ohmico è un circuito elettrico che soddisfa le seguenti condizioni:

 

- è collegato a un generatore di tensione che eroga corrente continua;

 

- è costituito da un certo numero di resistori (o, per antonomasia, resistenze) per i quali vale la prima legge di Ohm.

 

Le resistenze possono essere collegate tra di loro in serie o in parallelo: nel primo caso sono percorse dalla stessa corrente elettrica, nel secondo presentano ai loro capi la stessa differenza di potenziale.

 

Risolvere un circuito ohmico significa determinare i valori di tutte le grandezze coinvolte nel circuito, e dunque conoscere tutto quel che riguarda il circuito e i suoi elementi: le resistenze, le intensità delle correnti, le differenze di potenziale e le potenze elettriche dissipate per effetto Joule.

 

Regole per la risoluzione dei circuiti ohmici

 

Prima di procedere con un esempio elenchiamo rapidamente tutte le formule che ci possono essere utili allo scopo. Per i dettagli vi rimandiamo alla lettura delle corrispondenti lezioni. ;)

 

Innanzitutto abbiamo la prima legge di Ohm, che è la legge fondamentale da tenere sempre a mente per la risoluzione di qualunque circuito:

 

\Delta V=Ri \\ \\ \\ R=\frac{\Delta V}{i}\\ \\ \\  i=\frac{\Delta V}{R}

 

A seguire, le regole per il calcolo della resistenza equivalente. Per le resistenze in serie:

 

R_{eq}=R_1 + R_2 + ... + R_n\\ \\ i_1=i_2=...=i_n=i\\ \\ \Delta V=\Delta V_1+\Delta V_2+...+\Delta V_n

 

Per le resistenze in parallelo:

 

\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}\\ \\ \\ i_1+i_2+...+i_n=i\\ \\ \Delta V_1=\Delta V_2=...=\Delta V_n=\Delta V

 

Valgono inoltre le formule per il calcolo della potenza elettrica dissipata dalle resistenze:

 

P=Ri^2\\ \\ P=\Delta V i \\ \\ P=\frac{ \left( \Delta V \right)^2}{R}

 

Da ultimo le leggi di Kirchhoff, rispettivamente la legge dei nodi

 

\sum_{k=1}^{N}{i_k}=0\ \ \ (\mbox{somma algebrica})

 

e la legge delle maglie

 

\sum_{k=1}^{N}{\Delta V_k}=0\ \ \ (\mbox{somma algebrica})

 

Esempio di risoluzione di un circuito ohmico

 

Proviamo a risolvere il seguente circuito:

 

 

Esempio circuito ohmico

Esempio di circuito ohmico.

 

 

Conosciamo i valori di tutte le resistenze e la differenza di potenziale del generatore, che è pari a 120 V. Per cominciare calcoliamo la resistenza equivalente del parallelo tra R_2 e R_3

 

R_{23}=\frac{R_2R_3}{R_2 + R_3}=\\ \\ \\ =\frac{(30 \ \Omega) \cdot (20 \ \Omega)}{30 \ \Omega + 20 \ \Omega}=12 \ \Omega

 

Ci siamo ricondotti al seguente circuito:

 

 

Risoluzione circuito ohmico - Passo 1

Passo 1: prima riduzione alla resistenza equivalente.

 

 

Ora abbiamo tre resistenze in serie, per cui la resistenza equivalente dell'intero circuito è data dalla semplice somma delle singole resistenze:

 

R_{eq}=R_1 + R_{23} + R_4=\\ \\ =40 \ \Omega + 12 \ \Omega + 10 \ \Omega=62 \ \Omega

 

Siamo così giunti a un circuito composto solamente dal generatore e da R_{eq}

 

 

Risoluzione circuito ohmico - Passo 2

Passo 2: seconda (e ultima) riduzione alla resistenza equivalente.

 

 

Una volta giunti a questa semplice situazione è possibile calcolare l'intensità di corrente erogata dal generatore. La differenza di potenziale ai capi del generatore è la stessa presente ai capi di R_{eq}, cosicché basta applicare la prima legge di Ohm:

 

i=\frac{\Delta V}{R_{eq}}=\\ \\ \\ =\frac{120 \mbox{ V}}{62 \ \Omega}\simeq 1,94 \mbox{ A}

 

Torniamo al circuito originario. Quella che abbiamo appena determinato è la corrente che attraversa R_1 e R_4 (per quest'ultima, dopo che essa ha superato il parallelo, in accordo con la prima legge di Kirchhoff). Di conseguenza possiamo calcolare la differenza di potenziale ai capi di tali resistenze con la prima legge di Ohm:

 

\Delta V_1=R_1 i\simeq (40 \ \Omega) \cdot (1,94 \mbox{ A})= 77,6 \mbox{ V}\\ \\ \Delta V_4=R_4 i\simeq (10 \ \Omega )\cdot (1,94 \mbox{ A})=19,4 \mbox{ V}

 

A questo punto passiamo al parallelo. Torniamo al circuito della seconda figura, quello in cui il parallelo è stato sostituito dalla resistenza R_{23}. Di tale circuito conosciamo ora tutte le differenze di potenziale tranne quella ai capi di R_{23}, che però possiamo determinare applicando la seconda legge di Kirchhoff.

 

Prima di tutto disegniamo sul filo del circuito le frecce che individuano il verso di percorrenza reale della corrente. Scegliamo quindi come senso di percorrenza quello orario e attribuiamo al generatore e alle resistenze i relativi segni, coerentemente con la scelta effettuata.

 

 

Risoluzione circuito ohmico

Risoluzione del circuito ohmico con la seconda legge di Kirchhoff.

 

 

Impostiamo l'equazione delle maglie e otteniamo

 

\Delta V - \Delta V_1 - \Delta V_{23} - \Delta V_4=0

 

da cui possiamo ricavare \Delta V_{23}

 

\Delta V_{23}=\Delta V - \Delta V_1 - \Delta V_4=\\ \\ \simeq 120 \mbox{ V} - 77,6 \mbox{ V} - 19,4 \mbox{ V}=23 \mbox{ V}

 

Questa è anche la differenza di potenziale che c'è ai capi di ciascuna resistenza che compone il parallelo, ossia R_2 e R_3, quindi

 

\Delta V_{23}=\Delta V_2=\Delta V_3\simeq 23\mbox{ V}

 

Adesso che conosciamo le d.d.p. di queste due resistenze possiamo calcolare le correnti che le attraversano, sempre per mezzo della prima legge di Ohm

 

i_2=\frac{\Delta V_2}{R_2}\simeq \frac{23 \mbox{ V}}{30 \ \Omega}\simeq 0,77 \mbox{ A}\\ \\ \\ i_3=\frac{\Delta V_3}{R_3}\simeq \frac{23 \mbox{ V}}{20 \ \Omega}=1,15 \mbox{ A}

 

Osserviamo in particolare che dopo aver calcolato i_2 avremmo potuto determinare i_3 con la prima legge di Kirchhoff, infatti la somma delle correnti entranti in un nodo deve essere uguale alla somma delle correnti uscenti.

 

Ora che conosciamo tutte le correnti possiamo calcolare le potenze dissipate da ciascuna resistenza:

 

P=R_1i_1^2\simeq (40 \ \Omega) \cdot \left( 1,94 \mbox{ A} \right)^2\simeq 151 \mbox{ W}\\ \\ P=R_2i_2^2\simeq (30 \ \Omega) \cdot \left( 0,77 \mbox{ A} \right)^2\simeq 17,8 \mbox{ W}\\ \\ P=R_3i_3^2\simeq (20 \ \Omega) \cdot \left( 1,15 \mbox{ A} \right)^2\simeq 26,5 \mbox{ W}\\ \\ P=R_4i_4^2\simeq (40 \ \Omega) \cdot \left( 1,94 \mbox{ A} \right)^2\simeq 37,6 \mbox{ W}

 

Un modo per verificare la correttezza dei risultati consiste nel sommare le potenze elettriche di tutte le resistenze del circuito

 

P=P_1 + P_2 + P_3 + P_4\simeq 233 \mbox{ W}

 

e vedere se tale dato coincide con la potenza erogata dal generatore:

 

P=\Delta V i=\\ \\ \simeq (120 \mbox{ V}) \cdot (1,94 \mbox{ A})\simeq 233 \mbox{ W}

 

Tutto ok: i valori coincidono.

 

Come vedete, la risoluzione dei circuiti ohmici richiede di applicare svariate formule e di ragionare passaggio per passaggio. A tal proposito vi raccomandiamo di fare parecchi esercizi, perché solo così potrete interiorizzare il modus operandi; la memorizzazione delle formule verrà da sé. ;)

 

 


 

Nella prossima puntata del corso affronteremo un argomento che avevamo già menzionato di sfuggita: i generatori reali di tensione. Per il resto vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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