Prima e seconda legge di Kirchhoff

Le leggi di Kirchhoff riguardano i circuiti resistivi ohmici: la prima legge di Kirchhoff, detta legge dei nodi, stabilisce che la somma delle correnti entranti in un nodo equivale alla somma delle correnti uscenti da esso; la seconda legge di Kirchhoff, detta legge delle maglie, afferma che la somma algebrica delle differenze di potenziale in ciascuna maglia è nulla.

 

In questa lezione presentiamo le formule che ci mancano per effettuare una risoluzione completa dei circuiti ohmici: le leggi di Kirchhoff, dette anche principi di Kirchhoff e più precisamente legge dei nodi e legge delle maglie.

 

Nel corso della spiegazione presenteremo i concetti di nodo e maglia di un circuito. Oltre agli enunciati e alle formule della prima e della seconda legge, ne commenteremo il significato in dettaglio e spiegheremo come usarle nella risoluzione degli esercizi. ;) 

 

Leggi di Kirchhoff

 

Lo studio dei resistori nei circuiti elettrici culmina nel procedimento di risoluzione dei circuiti ohmici, vale a dire il metodo che permette di determinare le caratteristiche di un qualsiasi circuito costituito da:

 

- un generatore di corrente continua

 

- resistenze che seguono le leggi di Ohm.

 

Prima di studiare la procedura generale di risoluzione dei circuiti ohmici, di cui ci occuperemo nella prossima lezione, dobbiamo ancora affrontare due importanti leggi che ne descrivono il comportamento.

 

Uno dei punti salienti degli esercizi riguarda il calcolo della corrente che attraversa ogni singola resistenza presente nel circuito. Per fare questo, oltre alla prima legge di Ohm e alle regole di calcolo della resistenza equivalente per le eventuali resistenze in serie e in parallelo, possiamo fare uso delle due leggi di Kirchhoff.

 

Attenzione: Kirchhoff (matematico e fisico tedesco, 1824 - 1887) si scrive con due h e con due f. ;)

 

Prima legge di Kirchhoff - Legge dei nodi

 

La prima legge di Kirchhoff viene anche chiamata legge dei nodi. Innanzitutto ricordiamo che in un circuito elettrico un nodo è un punto in cui il filo si dirama in più fili, o in cui più fili si raccordano in un solo filo.

 

I nodi vanno quindi intesi come raccordi o diramazioni del circuito in base al verso della corrente, che per convenzione parte dal polo positivo ed entra nel polo negativo del generatore di tensione.

 

I nodi sono dunque i punti del circuito in cui la corrente è costretta a ripartirsi per seguire strade diverse, oppure a ricongiungersi. In generale non c'è alcun vincolo sul numero di fili che si raccordano in un nodo e che si diramano dallo stesso nodo. Ad esempio può capitare che i fili in ingresso siano due e che quelli in uscita siano tre: il concetto è che un nodo è una sorta di incrocio tra più strade, non importa quante.

 

Dopo aver compreso cosa sono i nodi di un circuito possiamo enunciare la prima legge di Kirchhoff: la somma delle correnti entranti un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti.

 

Per esprimere la formula della prima legge di Kirchhoff in termini generali possiamo servirci del simbolo di sommatoria:

 

\sum_{e = 1}^{n}{i_{e}} = \sum_{u = 1}^{m}{i_{u}}

 

A sinistra abbiamo la somma di tutte le n correnti entranti nel nodo e a destra la somma di tutte le m correnti uscenti. n e m corrispondono rispettivamente al numero di fili entranti nel nodo e uscenti da esso, e in generale i valori di tali indici possono essere diversi perché il numero di fili che entrano nel nodo può essere diverso dal numero di fili che escono.

 

Se ad esempio abbiamo la situazione rappresentata in figura, con due correnti entranti e tre correnti uscenti

 

 

Nodo di un circuito elettrico

Nodo di un circuito elettrico.

 

 

allora la prima legge di Kirchhoff può essere scritta nella seguente forma:

 

i_1+i_2=i_3+i_4+i_5

 

Vediamo un semplice esempio di applicazione delle legge dei nodi. Consideriamo il seguente circuito:

 

 

Prima legge di Kirchhoff

Prima legge di Kirchhoff: legge dei nodi.

 

 

La corrente i_1 che attraversa la prima resistenza vale i_1=8\mbox{ A}; una volta raggiunto il nodo A questa corrente si biforca, e quella che continua il percorso su R_2 vale i_2=5\mbox{ A}. Quanto vale la corrente i_3?

 

Serviamoci della prima legge di Kirchhoff. Osserviamo che la corrente entrante nel nodo A è uguale alla somma delle due correnti uscenti i_2,i_3

 

i_1=i_2+i_3

 

e infine ricaviamo la formula inversa per i_3

 

i_3=i_1-i_2=\\ \\ =8 \mbox{ A} - 5 \mbox{ A} = 3 \mbox{ A}

 

Ovviamente la regola si applica anche al nodo B, dove le due correnti i_2,i_3 si raccordano. La corrente uscente equivale a i_1, la stessa che era entrata nel nodo A.

 

Il principio della prima legge di Kirchhoff stabilisce quindi che la corrente erogata dal generatore entra ed esce dai nodi senza dispersioni, e rimane la stessa ovunque nel circuito indipendentemente che si sia suddivisa e raccordata lungo il proprio percorso. La corrente di ritorno nel generatore è la stessa che ne è scaturita.

 

In effetti un altro modo per esprimere la legge dei nodi, assolutamente equivalente alla precedente, è il seguente: la somma algebrica di tutte le correnti che convergono in un nodo è uguale a zero.

 

\sum_{k = 1}^{N}{i_k} = 0\ \ \ (\mbox{somma algebrica})\\ \\ (+\ \mbox{entrante},\ -\ \mbox{uscente})

 

Immaginiamo di considerare positive le correnti entranti e negative le correnti uscenti: se il valore della somma positiva delle correnti entranti è uguale alla somma negativa delle correnti uscenti, la somma complessiva deve essere pari a zero.

 

La primo principio di Kirchhoff in fondo non è altro che una diretta conseguenza della conservazione della carica elettrica. La corrente elettrica infatti è data dal moto di un gran numero di elettroni che si spostano lungo un conduttore per via di una differenza di potenziale applicata ai suoi capi. Se un certo numero di elettroni entra in un nodo, lo stesso numero di elettroni dovrà proseguire il proprio percorso oltre il nodo; e se una certa frazione di carica prosegue il proprio moto in una certa direzione, la rimanente parte deve necessariamente seguire l'altra strada.

 

Se non valesse la prima legge di Kirchhoff, significherebbe dire che alcuni elettroni attraversando un nodo dovrebbero sparire nel nulla (oppure comparire dal nulla), il che non è possibile.

 

Seconda legge di Kirchhoff - Legge delle maglie

 

La seconda legge di Kirchhoff, detta anche legge delle maglie, è un'ulteriore principio utilissimo nella risoluzione dei circuiti.

 

Prima di fornirne l'enunciato è necessario introdurre la nozione di maglia:

 

 

Maglie circuito elettrico

Maglie di un circuito elettrico.

 

 

Le maglie di un circuito sono tutti i possibili percorsi chiusi che si possono individuare al suo interno. Ad esempio il circuito rappresentato in figura presenta tre possibili maglie:

 

- quella che parte dal generatore e che passa per R_1 e R_2;

 

- quella data dal tratto di circuito che coinvolge esclusivamente R_2 e R_3;

 

- quella data dal perimetro esterno del circuito.

 

Dopo aver compreso questo concetto possiamo enunciare la seconda legge di Kirchhoff: la somma algebrica delle differenze di potenziale che si trovano percorrendo una maglia è uguale a zero.

 

Ciò significa che percorrendo una maglia di un circuito alcune differenze di potenziale sono positive e altre sono negative, in modo tale che la somma complessiva di tutte le differenze di potenziale sia uguale a zero. Questo principio deve valere per qualsiasi maglia del circuito.

 

La formula della seconda legge di Kirchhoff può essere scritta in forma compatta con l'ausilio del simbolo di sommatoria, ed è data da:

 

\sum_{k=1}^{N}{\Delta V_k}=0\ \ \ (\mbox{somma algebrica})

 

Fermi tutti! :) Se state pensando che in un circuito ci sia solo una differenza di potenziale, e nello specifico quella mantenuta dal generatore, vi facciamo notare che in realtà ci sono anche tutte le differenze di potenziale ai capi di ciascuna resistenza: sono esattamente le d.d.p. \Delta V di cui si occupa la prima legge di Ohm. Queste differenze di potenziale vengono anche chiamate cadute di tensione ai capi delle resistenze, perché tra un punto che precede la resistenza e uno successivo ad essa il potenziale diminuisce.

 

Il problema sta ora nel capire come attribuire il segno alle singole differenze di potenziale all'interno di una maglia. A tal proposito esiste un metodo grafico molto semplice, che ci aiuta tantissimo nel capire i segni corretti delle differenze di potenziale: basta disegnare delle piccole frecce.

 

Il metodo per applicare la seconda legge di Kirchhoff si basa su tre passaggi. Facciamo riferimento al precedente circuito...

 

1) Ricordiamoci che il verso di percorrenza della corrente elettrica è dato dal movimento delle cariche positive, dunque il circuito va percorso partendo dal polo + del generatore per andare verso il polo -. Indichiamo il verso di percorrenza della corrente partendo dal generatore e seguendo ciascuna diramazione, contrassegnando il filo con delle frecce. Fin qui nulla di nuovo.

 

2) Attribuiamo un senso di percorrenza a ciascuna maglia, orario o antiorario, e rappresentiamolo con una freccia circolare.

 

Circuito elettrico e seconda legge di Kirchhoff

Come individuare i segni delle d.d.p.
per la seconda legge di Kirchhoff.

 

3) Per attribuire il segno alle d.d.p. del generatore e delle singole resistenze dobbiamo basarci su due semplici regole:

 

- se il senso di percorrenza è concorde al verso della corrente che attraversa il generatore (da - a +), allora la d.d.p. del generatore è positiva; se invece è opposto, allora la d.d.p. del generatore è negativa;

 

- se il senso di percorrenza è concorde al verso della corrente che attraversa una resistenza, allora la d.d.p. della resistenza è negativa; se invece è opposto, allora la d.d.p. della resistenza è positiva.

 

A una prima lettura le due regole potrebbero apparire ambigue e per certi versi contraddittorie. Il trucco è tenere a mente la differenza tra verso di percorrenza e senso di percorrenza della corrente.

 

Il verso di percorrenza è standard: è individuato dal generatore e contrassegnato dalle frecce sui fili del circuito, parte dal polo positivo e giunge al polo negativo (+ → -). Il senso di percorrenza, individuato dalle frecce circolari, è invece arbitrario.

 

Saremo noi a decidere quale senso di percorrenza attribuire a ciascuna maglia e, in questo senso, non vi sarà a priori alcuna scelta sbagliata. L'importante è prestare attenzione nel confronto tra il verso di percorrenza e il senso che abbiamo scelto, e attribuire coerentemente i segni a ciascuna delle d.d.p. nella maglia considerata.

 

Riprendiamo il precedente circuito:

 

 

Seconda legge di Kirchhoff

Seconda legge di Kirchhoff.

 

 

Complessivamente il verso della corrente in un circuito è sempre quello che va dal polo + al polo - del generatore. Qui non possiamo davvero sbagliare.

 

Riguardo al senso di percorrenza conviene prendere come riferimento il generatore e attribuire un senso orario sulla prima maglia; facciamo lo stesso per la seconda.

 

Se consideriamo la maglia a sinistra è tutto immediato: la d.d.p. del generatore è positiva perché c'è concordanza tra verso e senso di percorrenza. Lo stesso vale per le resistenze R_1,R_2,R_5, che avranno quindi delle d.d.p. negative. Stabiliamo infatti che la corrente circola in senso orario e, poiché le resistenze vengono attraversate dalla corrente concordemente al verso nella maglia, le loro d.d.p. saranno negative:

 

\mbox{Maglia SX}:\ \Delta V>0,\ \ \Delta V_1,\Delta V_2,\Delta V_5<0

 

La somma algebrica delle differenze di potenziale nella prima maglia deve essere nulla in accordo con la seconda legge di Kirchhoff, e dunque:

 

\Delta V - \Delta V_1 - \Delta V_2 - \Delta V_5 = 0

 

Per la maglia a destra il discorso è più delicato. Qui non abbiamo alcun generatore. Nell'analisi del circuito abbiamo scelto un senso orario e notiamo che le resistenze R_3,R_4 vengono percorse da una corrente con verso concorde al senso di percorrenza: d.d.p. negative. La resistenza R_2 invece viene percorsa da una corrente che ha un verso opposto rispetto al senso di percorrenza assegnato alla maglia: d.d.p. positiva.

 

\mbox{Maglia DX}:\ \Delta V_3,\Delta V_4<0,\ \Delta V_2>0

 

da cui

 

\Delta V_2 - \Delta V_3 - \Delta V_4 = 0

 

Il punto è che nell'equazione risultante non importa se i segni delle differenze di potenziale corrispondono a quelle reali. Si tratta di un discorso analogo a quello della scelta dei sistemi di riferimento. I segni devono essere semplicemente coerenti con il senso di percorrenza della maglia per far sì che l'analisi sia corretta; la somma algebrica della seconda legge di Kirchhoff si prende cura del resto e, alla fine, ci restituisce i valori esatti. :)

 

 

Esempio sulla seconda legge di Kirchhoff

 

Vediamo un esempio numerico sul circuito che abbiamo già disegnato. Consideriamo la prima maglia e supponiamo che i dati siano i seguenti:

 

\Delta V=240\mbox{ V},\ i=2\mbox{ A}\\ \\ R_1=20\ \Omega,\ R_2=30\ \Omega,\ R_5=60\ \Omega

 

Con i abbiamo indicato la corrente che viene erogata dal generatore, che è anche la corrente che attraversa prima la resistenza R_1 e poi anche R_5 nel percorso di rientro al generatore.

 

Quanto vale la differenza di potenziale \Delta V_2 ai capi della resistenza R_2? Non possiamo calcolarla direttamente con la prima legge di Ohm perché non sappiamo qual è l'intensità della corrente che passa su R_2, visto che prima c'è un nodo in cui la corrente i si divide.

 

Ricorriamo allora alla legge delle maglie e cominciamo a calcolare le d.d.p. ai capi delle altre resistenze della maglia:

 

\Delta V_1 = R_1 i = (20 \ \Omega) \cdot (2 \mbox{ A}) = 40 \mbox{ V}\\ \\ \Delta V_5 = R_5 i = (60 \ \Omega) \cdot (2 \mbox{ A}) = 120 \mbox{ V}

 

A questo punto possiamo impostare l'equazione delle maglie e determinare \Delta V_2

 

\Delta V - \Delta V_1 - \Delta V_2 - \Delta V_5 = 0

 

da cui

 

\Delta V_2 = \Delta V - \Delta V_1 - \Delta V_5 = \\ \\ = 240 \mbox{ V} - 40 \mbox{ V} - 120 \mbox{ V} = 80 \mbox{ V}

 

 


 

Abbiamo finalmente tutti gli elementi necessari per studiare il procedimento di risoluzione dei circuiti ohmici. Ne parliamo nella lezione successiva. ;) Nel frattempo vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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