Resistenze in serie e in parallelo

Il metodo per calcolare la resistenza equivalente di più resistenze in serie e in parallelo in un circuito elettrico è un procedimento iterativo; prevede di sostituire gruppi di resistenze in uno stesso tipo di collegamento con una sola resistenza equivalente, fino a ottenere un circuito con un solo resistore.

 

Dopo aver studiato le resistenze in serie e in parallelo intese come collegamenti a sé stanti, e dopo aver digerito le formule per ridurli a singole resistenze equivalenti, passiamo al livello successivo e vediamo come analizzare i circuiti ohmici in cui sono presenti sia resistenze in serie che resistenze in parallelo.

 

Fin qui lo sviluppo della teoria segue la falsariga di quella dei condensatori. Nel nostro caso però, prima di passare al metodo pratico per la risoluzione dei circuiti ohmici (analogamente alla risoluzione dei circuiti capacitivi), dovremo affrontare due importanti leggi. Niente spoiler e procediamo con ordine. ;)

 

Resistenze in serie e in parallelo nei circuiti ohmici

 

Quando abbiamo a che fare con i circuiti resistivi (ossia composti soltanto da resistenze), e in particolare con i circuiti ohmici (ossia composti soltanto da resistenze che rispettano la legge di Ohm), dobbiamo calcolare la resistenza equivalente dell'intero circuito, ossia quell'unica resistenza in grado di sostituire tutte le altre facendo in modo che la corrente totale che circola nel circuito non cambi.

 

Ai fini del calcolo della resistenza equivalente bisogna tenere a mente che in un circuito le resistenze possono essere collegate in due modi diversi:

 

- resistenze in serie

 

- resistenze in parallelo

 

Per ciascuna di queste due tipologie di collegamenti esiste una regola specifica per il calcolo della resistenza equivalente, che abbiamo trattato in dettaglio nelle rispettive lezioni e che richiamiamo brevemente:

 

(S) per le resistenze in serie la resistenza equivalente è data dalla somma di tutte le resistenze collegate

 

R_{eq} = R_1 + R_2 + ... + R_n\ \ (R\ \mbox{in serie})

 

L'intensità di corrente è la stessa per ciascuna delle resistenze ed equivale a quella che fluisce nel circuito, mentre la differenza di potenziale totale è data dalla somma delle d.d.p. ai capi dei singoli resistori

 

i_1=i_2=...=i_n=i\\ \\ \Delta V=\Delta V_1+\Delta V_2+...+\Delta V_n

 

(P) Per le resistenze in parallelo il reciproco della resistenza equivalente è uguale alla somma dei reciproci delle singole resistenze coinvolte nel collegamento

 

\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}\ \ (R\ \mbox{in parallelo})

 

In questo caso l'intensità di corrente totale è data dalla somma delle singole correnti, mentre la differenza di potenziale è la stessa ai capi di ciascun resistore ed equivale alla d.d.p. totale

 

i=i_1+i_2+...+i_n\\ \\ \Delta V_1=\Delta V_2=...=\Delta V_n=\Delta V

 

Come riconoscere le due tipologie di collegamenti in un circuito, e dunque come scegliere la formula corretta? Per non fare confusione basta ricordare che:

 

(S) due resistenze sono in serie quando sono collegate in sequenza sullo stesso filo, per cui la corrente che passa sulla prima resistenza non può fare altro che proseguire il proprio cammino e attraversare anche la seconda;

 

(P) Due resistenze sono in parallelo quando non sono collegate allo stesso filo, bensì sono disposte su fili che si raccordano al circuito in specifici nodi.

 

Calcolo della resistenza equivalente con resistenze in serie e in parallelo

 

Nella pratica come si calcola la capacità equivalente nei circuiti ohmici? Analogamente al metodo per i condensatori in serie e in parallelo dobbiamo ragionare per iterazioni: individuiamo le resistenze che formano uno specifico tipo di collegamento - in serie o in parallelo - e le riduciamo a un'unica resistenza equivalente. Fatto ciò individuiamo il successivo tipo di collegamento e procediamo a un'ulteriore riduzione. Reiterando il procedimento si giunge a un circuito in cui è presente un unico resistore equivalente.

 

 

Esempio 1 - Capacità equivalente di un circuito ohmico con 4 resistenze

 

Consideriamo il seguente circuito:

 

 

Circuito resistivo e calcolo della resistenza equivalente

Circuito ohmico con 4 resistenze in serie e in parallelo.

 

 

Innanzitutto osserviamo che R_2 e R_3 sono due resistenze in parallelo, che possiamo riconoscere in quanto agganciate entrambe agli stessi nodi del circuito (A,B).

 

La resistenza R_1 ad esempio non è in parallelo né con R_2 né con R_3, infatti è agganciata in punti diversi; non è nemmeno in serie perché la corrente che attraversa R_1 non è la stessa che attraversa R_2 o R_3, infatti una volta giunta al nodo A essa si divide lungo la biforcazione.

 

Procediamo con i calcoli e indichiamo con R_{23} la resistenza equivalente che sostituisce R_2 e R_3. Ricordiamo che nel caso di due sole resistenze in parallelo possiamo usare la formula semplificata

 

R_{23} = \frac{R_2R_3}{R_2 + R_3}

 

Svolgiamo i calcoli:

 

R_{23} = \frac{R_2R_3}{R_2 + R_3} = \\ \\ \\ =\frac{(30 \ \Omega) \cdot (20 \ \Omega)}{30 \ \Omega + 20 \ \Omega} = 12 \ \Omega

 

È buona norma, perlomeno quando si è alle prese con i primi circuiti e non si hanno solide basi pratiche, disegnare il nuovo circuito equivalente a ogni iterazione in modo da capire più facilmente qual è il passo successivo. Ora che abbiamo calcolato la resistenza equivalente R_{23} del parallelo possiamo passare a considerare il circuito della seguente figura:

 

 

Riduzione delle resistenze in parallelo a una resistenza equivalente

Passo 1: riduzione delle resistenze in parallelo.

 

 

Qui è evidente che tutte e tre le resistenze sono collegate allo stesso filo; la corrente che attraversa la prima è la stessa che attraversa anche la seconda e la terza. Queste resistenze sono collegate in serie, pertanto la resistenza equivalente dell'intero il circuito è:

 

R_{eq} = R_1 + R_{23} + R_4 = \\ \\ =40 \ \Omega + 12 \ \Omega + 10 \ \Omega = 62 \ \Omega

 

Abbiamo finito: avendo determinato la resistenza equivalente il nostro circuito si è ridotto alla presenza del solo generatore e della resistenza R_{eq}

 

 

Riduzione delle resistenze in serie a una resistenza equivalente

Passo 2: riduzione delle resistenze in serie.

 

 

Esempio 2 - Capacità equivalente di un circuito ohmico con 6 resistenze

 

Proviamo a calcolare la resistenza equivalente di un circuito un po' più complesso:

 

 

Calcolare la resistenza equivalente in un circuito resistivo

Circuito ohmico con 6 resistenze in serie e in parallelo.

 

 

Notiamo che R_5 e R_6 sono in parallelo, per cui determiniamo la loro resistenza equivalente:

 

R_{56} = \frac{R_5R_6}{R_5 + R_6} = \\ \\ \\ =\frac{(20 \ \Omega) \cdot (50 \ \Omega)}{20 \ \Omega + 50 \ \Omega} \simeq 14,3 \ \Omega

 

Passiamo al circuito equivalente:

 

 

Calcolare la resistenza equivalente in un circuito resistivo - Passo 1

Passo 1: riduzione delle resistenze in parallelo.

 

 

Qui R_4 e R_{56} sono in serie

 

R_{456} = R_4 + R_{56} =\\ \\ \simeq 70 \ \Omega + 14,3 \ \Omega = 84,3 \ \Omega

 

il che ci conduce al circuito dello step successivo:

 

 

Calcolare la resistenza equivalente in un circuito resistivo - Passo 2

Passo 2: riduzione delle resistenze in serie.

 

 

R_3 e R_{456} sono in parallelo:

 

R_{3456} = \frac{R_3R_{456}}{R_3 + R_{456}} = \\ \\ \\ \simeq \frac{(40 \ \Omega) \cdot (84,3 \ \Omega)}{40 \ \Omega + 84,3 \ \Omega} \simeq  27,1 \ \Omega

 

 

Calcolare la resistenza equivalente in un circuito resistivo - Passo 3

Passo 3: riduzione delle resistenze in parallelo.

 

 

Manca un solo passaggio: le tre resistenze dell'ultimo circuito sono in serie, dunque ci basta sommarle per ricavare la resistenza equivalente dell'intero circuito

 

R_{eq} = R_1 + R_2 + R_{3456} = \\ \\ \simeq 10 \ \Omega + 30 \ \Omega + 27,1 \ \Omega = 67,1 \ \Omega

 

Le combinazioni di collegamenti tra resistenze che ci possono essere in un circuito ohmico sono infinite, ma se avete capito quali sono le regole da seguire sarete sempre in grado di arrivare alla resistenza equivalente.

 

 


 

La prossima lezione è dedicata alle leggi di Kirchhoff, un ulteriore importante tassello nello studio e nella risoluzione dei circuiti ohmici. Come sempre vi ricordiamo che qui su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Alessandro Catania (Alex)

 

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